广东省江门市培英高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

这是一份广东省江门市培英高级中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的方向向量分别为，若，则（ ）
A．1B．2C．0D．3
3．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
4．已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
5．如图所示，已知空间四边形，连接分别是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（ ）
A．14B．26C．14或26D．16或24
7．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
8．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A、圆的圆心为 B、圆被轴截得的弦长为6
C、圆被轴截得的弦长为8 D、圆的半径为10
10．已知直线，其中，则（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．当时，直线与直线垂直
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（ ）
A．B．
C．D．
12．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．周长的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的准线方程为________．
14．棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，则___________.
15．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．
16．若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．
18．（12分）已知空间向量.
(1)若与互相垂直，求；
(2)记，且，求点的坐标.
19．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，D，E分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面AEB与平面AEB1所成角 QUOTE B-AE-B1 的余弦值．
20．（12分）已知圆O：，直线l：，当时，直线l与圆O恰好相切．
（1）若l被圆O截得弦长为，求l方程；
（2）若直线l上存在两点M、N，满足，在圆O上存在点P使得，求k的取值范围．
21．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，，将△BCD沿对角线BD折起到的位置，使平面平面ABD，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
（1）求证：平面；
（2）在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）已知椭圆C：，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（，是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．
培英高级中学2023-2024学年度第一学期阶段考试
高二年级数学（解析）
本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
1.【答案】B
2．已知直线的方向向量分别为，若，则（ ）
A．1B．2C．0D．3
2.【答案】D
【分析】由线线垂直可知其方向向量垂直，再利用空间向量垂直的坐标表示即可求得答案.
【详解】因为，所以，故，
所以，则.
故选：D.
3．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
3.【答案】A
【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.
【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，
则，即
故选:A.
4．已知条件p：，条件q：表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
4.【答案】A
5．如图所示，已知空间四边形，连接分别是的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.【答案】D
6．双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（ ）
A．14B．26C．14或26D．16或24
6.【答案】C
【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.
【详解】由双曲线的方程可得，故.
因为，故，解得或26.
故选:C.
7．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
7.【答案】C
【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案
【详解】由椭圆可得，
所以，，所以，
所以在中，，
因为，且，
所以，
设的坐标为，且，
所以， 所以点P到y轴的距离为，
故选：C
8．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8.【答案】A
【分析】底边为定值，求出点P到距离的范围即可求出面积的取值范围.
【详解】圆心到直线距离，所以点P到距离即高的范围，又可求得，所以面积的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A、圆的圆心为 B、圆被轴截得的弦长为6
C、圆被轴截得的弦长为8 D、圆的半径为10
9.【答案】ABC
10．已知直线，其中，则（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．当时，直线与直线垂直
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10.【答案】BC
【分析】由两直线平行可求得实数的值，可判断A选项；利用直线垂直与斜率的关系可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；当时，求出直线的截距式方程，可判断D选项.
【详解】直线的斜率为.
对于A选项，若直线与直线平行，且直线的斜率为，
则，解得或，A错；
对于B选项，当时，直线的方程为，直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以，当时，直线与直线垂直，B对；
对于C选项，对于直线，由，可得，则直线过定点，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
所以，当时，直线在两坐标轴上的截距相反，D错.
故选：BC.
11．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（ ）
A．B．
C．D．
11.【答案】BD
【分析】设圆心坐标为，半径为，根据圆与轴相切，得到圆的半径等于圆心横坐标的绝对值，把圆心坐标代入直线得到关于与的方程 , 再由垂径定理得到的一个关系式，三者联立即可求出 及的值，从而确定出圆的方程.
【详解】设所求圆的方程为 ，则圆心到直线的距离为， 所以，即.
因为所求圆与轴相切，所以
又因为所求圆的圆心在直线上，
所以，
所以 或
故所求圆的方程为 或.
故选：BD
12．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D．周长的最小值为
12.【答案】ACD
【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.
【详解】由双曲线方程知：，抛物线，
对于A，设，则，解得：，A正确；
对于B，抛物线准线方程为：，由得：，
准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；
对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，
又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，
该圆的面积，C正确；
对于D，设和在准线上的投影分别为，
由抛物线定义知：，
则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），
又，，
周长的最小值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的准线方程为________．
13、
14．棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，则___________.
14【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，，，
所以；
故答案为：
15．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．
15．【答案】
【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆相内切.
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为.
故答案为：
16．若，则的最小值为______．
16．【答案】
【详解】
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答.
（2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.
【详解】（1）在平行四边形ABCD中，，，，则，则点，----------2分
直线CD的斜率，----------3分
则有，----------4分
即，所以直线CD的方程是.----------5分
（2）依题意，点，则直线DE的斜率，----------7分
因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，----------8分
方程为，----------9分
即，所以所求方程是.----------10分
18．（12分）已知空间向量.
(1)若与互相垂直，求；
(2)记，且，求点的坐标.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算结合运算求解；（2）根据理解可得，结合向量的坐标运算，整理求解.
【详解】（1）由题意可得：，----------2分
因为与互相垂直，所以，----------2分
即，所以.----------6分
（2），----------7分
因为，所以----------9分
又因为，设为坐标原点，所以，----------11分
即.----------12分
19．（12分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，D，E分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面AEB与平面AEB1所成角 QUOTE B-AE-B1 的余弦值．
19.【答案】（1）证明：在三棱柱中，因为底面平面，
所以．----------2分
又为等边三角形，D为的中点，所以．---------4分
因为，所以平面．----------6分
（2）解：取中点F，连结，则因为D，F分别为的中点，
所以．由（1）知，
如图建立空间直角坐标系，----------7分
由题意得，
，
，----------8分
设平面的法向量，
则，令，则．----------10分
平面法向量．----------11分
因为．----------12分
20．（12分）已知圆O：，直线l：，当时，直线l与圆O恰好相切．
（1）若l被圆O截得弦长为，求l方程；
（2）若直线l上存在两点M、N，满足，在圆O上存在点P使得，求k的取值范围．
20．（12分）解：（1）当k＝时，直线l与圆O恰好相切．
O到直线l的距离为，---------1分所以半径为2，---------2分
设圆心O直线的距离为d，则弦长为2，----------3分
解得d＝，即，解得k＝，----------5分
故直线l的方程为y＝（x－4）；----------6分
（2）①当直线l与圆O有公共点时，≤k≤，
当P与点M（或N）重合时，满足，符合题意，----------8分
②当直线l与圆O没有公共点时，k＜或k＞，
因为，所以P在以MN为直径的圆上，
设MN中点Q（x0，y0），则圆Q的方程为（x－x0）2＋（y－y0）2＝1，
圆Q与圆O有公共点，则1≤≤3，
只需O到直线l的距离d＝≤3，----------10分
解得≤k＜−或＜k≤，----------11分
综上所述，k的取值范围是[－，]．----------12分
21．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，，将△BCD沿对角线BD折起到的位置，使平面平面ABD，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
（1）求证：平面；
（2）在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（1）证明：∵BC＝CD，E为BD的中点，∴C′E⊥BD，----------1分
又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD，
∴C′E⊥ABD，----------2分
∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，----------4分
而C′E⊂平面BC'D，FA⊄平面BC'D，∴FA∥平面BC'D；----------5分
（2）解：以DB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，EC′所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），A（0，−，0），D（－1，0，0），F（0，－，2），C′（0，0，），----------7分
线段AD上不存点M，使得C'M⊥平面FBC．
假设在线段AD上存在M（x，y，z），使得C'M⊥平面FBC，
设，则（x，y＋，z）＝λ（－1，，0）＝（－λ，λ，0），
∴x＝－λ，y＝(λ−1)，z＝0．则．----------8分
平面的法向量m=3,1,1---------10分
由，得λ不存在．----------11分
∴线段AD上不存点M，使得C'M⊥平面FBC．----------12分
22．（12分）已知椭圆C：，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足（，是常数）．当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值．若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由．
（12分）． 解：(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为----------2分
由于点P在椭圆C上，得，----------3分
即曲线的轨迹是椭圆，标准方程为----------4分
(2)
①当过点切线的斜率存在时，
设该切线的方程为，即y＝kx＋(y1－kx1)----------5分
联立、椭圆C：
得，----------6分
由△＝0，得得
此时过点A(x1，y1)的切线方程为----------7分
过点P切线的斜率不存在时，切点为(±2，0)，方程为x＝±2，
符合方程为∴过点P的切线方程为----------8分
设AB(x3，y3)
联立结合得4，----------9分
----------10分
原点O到直线AB的距离----------11分
∴△OAB的面积定值)
故△OAB的面积是定值----------12分