四川省达州外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省达州外国语学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 下面各组函数中是同一函数的是， 下列命题中正确有等内容，欢迎下载使用。
考试时长120分钟，满分为150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列图象中不能作为函数图象的是（ ）
A. B.
C D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
3. 若a>b，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. “函数在区间上不单调”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得的2分，有选错的得0分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确有（ ）
A. 集合的真子集是
B. 是菱形是平行四边形
C. 设，若，则
D.
10. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 函数的最小值是
C. 若，，则
D. 若，则的最小值为3
12. 已知函数，，给出以下结论，其中正确的结论是（ ）
A. 若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B. 若为上的奇函数，且在内是增函数，，则的解集为
C. 若为上的奇函数，则是上的偶函数
D. ，都有函数在上是单调函数
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为_____________．
14. 函数在上的最小值为____.
15. 设关于不等式的解集为，若且，则的取值范围是_______.
16. 设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）求，的值；
（2）若，求实数a的值
18. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
19. （1）已知一次函数满足条件，求函数的解析式；
（2）若，求的解析式.
20. 已知函数.
（1）试用单调性的定义证明函数在上的单调性；
（2）求在上的最大值和最小值.
21. 已知二次函数满足的解集为，且.
（1）求解析式；
（2）当时，若函数的最大值为，求的值.
22. 已知函数对任意实数，恒有，且当时，，又.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数在上的最大值；
（3）若不等式在恒成立，求的取值范围.达州外国语学校高一年级数学试卷
2023-2024学年上学期期中考试
考试时长120分钟，满分为150分
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码粘贴区.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描照.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列图象中不能作为函数图象的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查函数的定义和函数图像的含义.
能作为函数图象,需满足：按照图像得出的对应关系，对于自变量x的取值范围内的每一个值，按照图像得出的对应关系，都有唯一的一个y值和它对应；从图像直观来看，平行与y轴的直线与图像至多有一个交点.则B不能作为函数图象.故选B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【分析】“，”的否定“，”.
故选：C
3. 若a>b，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质以及特殊值确定正确答案.
【详解】A选项，当时，，所以A选项错误.
B选项，当时，，所以B选项错误.
C选项，当时， ，所以C选项错误.
D选项，由于，所以，所以D选项正确
故选：D
4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的奇偶性，即可判断A，B；由的奇偶性以及单调性可判断C；由的单调性可判断D.
【详解】对于A，为偶函数，不符合题意；
对于B，为偶函数，不符合题意；
对于C，设，定义域为R，且，
即为奇函数，且在R上单调递增，故C正确；
对于D，由于在上单调递减，在上单调递增，
则在定义域上不具有单调性，D不符合题意，
故选：C
5. “函数在区间上不单调”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数在区间上不单调，可得，即；
由，得，得函数在区间上不单调，
所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件.
故选：C
6. 下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.
【详解】对A，与定义域值域解析式都相同，是同一函数，A正确；
对B，定义域是，定义域是，不是同一函数，B错误
对C，定义域为，定义域为，不是同一函数，C错误；
对D，值域为，值域为，D错误
故选：A.
7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易得满足；当时，满足可求解.
【详解】当时，在上单调递增，满足题意；
当时，要使在上单调递增，则满足，解得，
综上，实数的取值范围为.
故选：D.
8. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得存在量词命题的否定，然后根据真假性以及对进行分类讨论来求得的取值范围.
【详解】依题意，“，”是假命题，
所以“”是真命题，
当时，不等式化为恒成立；
当时，化为，
当时，取得最大值为，
所以.
当时，化为，
当时，取得最小值为，
所以.
综上所述，的取值范围是.
故选：A
【点睛】全称量词命题或存在量词命题的否定，要点有两点，一个是之间的转换，另一个是否定结论，而不是否定条件.求解不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.
二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得的2分，有选错的得0分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 集合真子集是
B. 是菱形是平行四边形
C. 设，若，则
D
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空集是任何非空集合的真子集可知A不正确；根据菱形一定是平行四边形，可知B正确；根据集合相等的概念求出，可知C正确；根据可知D不正确.
【详解】对于A，集合的真子集是，，故A不正确；
对于B，因为菱形一定是平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故B正确；
对于C，因为，，所以，，故C正确；
对于D，因为是实数，所以无解，所以，故D不正确.
故选：BC
10. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由全称命题为真命题求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若命题“，”是真命题，则，
因为，，，
所以，原命题为真命题的一个充分不必要条件是BC选项.
故选：BC.
11. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 函数的最小值是
C. 若，，则
D. 若，则的最小值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】AC选项，根据作差法可判断选项正误；BD选项，由基本不等式可判断选项正误.
【详解】对于A选项：因为，所以，故A正确;
对于B选项：因为，所以,当且仅当，即时，原式取最大值,故B错误;
对于C选项: ，故C正确;
对于D选项:因为 ，所以，故，
代入，
当且仅当，即时，原式取最小值，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知函数，，给出以下结论，其中正确的结论是（ ）
A. 若定义在上的函数在是增函数，在也是增函数，则在为增函数
B. 若为上的奇函数，且在内是增函数，，则的解集为
C. 若为上的奇函数，则是上的偶函数
D. ，都有函数在上是单调函数
【答案】BD
【解析】
【详解】A选项，可举出反例；B选项，根据题意得到在上为增函数，且，，分，，，，结合函数单调性得到解集；C选项，根据函数奇偶性定义判断出答案；D选项，分，，，结合对称轴和开口方向，由基本不等式得到对称轴的位置，得到函数的单调性，得到答案.
【分析】A选项，例如，满足在是增函数，在也是增函数，
但在不是增函数，A错误；
B选项，若为上的奇函数，且在内是增函数，，
则在上为增函数，且，，
当时，，故，
当时，，故，
当时，，不合题意，舍去，
当时，，故，
此时与取交集为空集，
综上，的解集为，B正确；
C选项，若为上的奇函数，则的定义域为R，
且，故为偶函数，C错误；
D选项，当时，，在上是单调递增函数，
当时，的对称轴为，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递增，
综上，，都有函数在上是单调函数，D正确.
故选：BD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据具体函数的定义域求法即可得解.
【详解】由题可知：，解得且，
故答案为：.
14. 函数在上的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】二次函数在某区间的最值，结合图像的开口方向，对称轴，离对称轴的远近可得.
【详解】函数,其图像开口向下，对称轴为，
，离对称轴较远，则
故答案为：
15. 设关于的不等式的解集为，若且，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围.
【详解】依题意，
解得.
故答案为：
16. 设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【详解】由柯西不等式得，
当且仅当，即,时,等号成立.
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）求，的值；
（2）若，求实数a的值
【答案】（1），
（2）1或
【解析】
【分析】（1）由解析式计算即可；
（2）分类讨论的值，结合解析式得出实数a的值.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
①
②
③
综上，实数a的值为1或．
18. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）当时，求出集合，并求出集合，利用并集合补集的定义可求得集合；
（2）分析可知，由可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为或，
当时，，所以，或，
.
【小问2详解】
解：因为恒成立，由题可知，
由可知：或，解得或，
所以的取值范围是或.
19. （1）已知一次函数满足条件，求函数解析式；
（2）若，求的解析式.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）设，，依题意得到关于、的方程组，解得即可；
（2）利用换元法求出的解析式，即可求出的解析式.
【详解】（1）设，，
，
，即，
，解得，
；
（2）令，则，，
所以，
所以.
20. 已知函数.
（1）试用单调性的定义证明函数在上的单调性；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值为，最小值
【解析】
【分析】（1）任取、且，作差，变形后得出、的大小关系，结合函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）分析出函数在上的单调性，结合单调性可得出在上的最大值和最小值.
【小问1详解】
证明：任取、且，则，，，
所以，，
所以，，故函数在上为减函数.
【小问2详解】
解：由（1）可知，函数在上为减函数，
当时，，，
所以，在上的最大值为，最小值为.
21. 已知二次函数满足的解集为，且.
（1）求的解析式；
（2）当时，若函数的最大值为，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求，结合不等式的解集和根的关系，应用韦达定理进行求解；
（2）结合图像，分类讨论对称轴在区间的左侧，里面，右侧的情形，进而确定在区间内的单调性，进而求出最值.
【小问1详解】
设二次函数，又
的解集为，即的解集为
则方程的两根为1和3，且
所以，解得，所以；
【小问2详解】
由于，又
当时，在上单调递减，所以；
当，即时，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以；
所以
由，得或，解得或
22. 已知函数对任意实数，恒有，且当时，，又.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）求函数在上的最大值；
（3）若不等式在恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）为奇函数，证明见解析；
（2）6； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶函数的定义推理即得.
（2）利用函数单调性定义推导函数的单调性，进而求出最大值.
（3）利用（1）（2）的结论，变形给定不等式，并脱去法则，再分离参数借助恒成立问题求解.
【小问1详解】
函数对任意实数，恒有，
取，则，即有，
，取，则，即对任意恒成立，
所以为奇函数.
【小问2详解】
任取且，则，由时，，得，
因此，
所以在R上是减函数，
当时，，
所以在上的最大值为6.
【小问3详解】
由为奇函数，得，，
由，得
于是，由在R上是减函数，得，即，
依题意，，不等式恒成立，即，恒成立，
当时，恒有，因此，
所以a的取值范围是.