2023-2024学年北京市数学九年级第一学期期末统考模拟试题

这是一份2023-2024学年北京市数学九年级第一学期期末统考模拟试题，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，如果点与点关于原点对称，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知矩形ABCD，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠A+∠C＝180°
3．下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
4．已知⊙O的半径是4，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定
5．已知点P(－1，4)在反比例函数的图象上，则k的值是( )
A．B．C．4D．－4
6．如果点与点关于原点对称，则（ ）
A．8B．2C．D．
7．下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．台灯B．手电筒C．太阳D．路灯
8．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
9．下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是( )
A．B．C．D．
10．如图，双曲线与直线相交于、两点，点坐标为，则点坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A，如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1…、正方形AnBn∁nCn+1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，则点B₃的坐标是_____，点Bn的坐标是_____．
12．如图，圆锥的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm，则该圆锥的侧面积是_____cm1．
13．如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝_____．
14．如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合连接CD，则∠BDC的度数为_____度．
15．，两点都在二次函数的图像上，则的大小关系是____________．
16．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=1．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．
17．如图，抛物线（是常数，），与轴交于两点，顶点的坐标是，给出下列四个结论：①；②若，，在抛物线上，则；③若关于的方程有实数根，则；④，其中正确的结论是__________．（填序号）
18．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是矩形.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在四边形中, , ．点在上, ．
(1)求证: ；
(2)若，，，求的长．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．
21．（6分）己知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,顶点为．
（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）判断的形状．
22．（8分）某校为了了解本校七年级学生课外阅读的喜好，随机抽取该校七年级部分学生进行问卷调查（每人只选一种书籍）．下图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于 度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600名学生，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是 ．
23．（8分）如图，是的直径，过的中点．，垂足为．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，的直径为，求的长及的值．
24．（8分）经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率．
25．（10分）为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2016年的绿色建筑面积约为950万平方米，2018年达到了1862万平方米.若2017年、2018年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米.如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标?
26．（10分）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求水流喷出的最大高度．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为左边是一个圆，右边是一个正方形．
故选：D．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2、C
【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝180°，只有AB＝BC时，AC⊥BD，即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
只有AB＝BC时，AC⊥BD，
∴A、B、D不符合题意，只有C符合题意，
故选：C．
此题主要考查了矩形的性质的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
3、C
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．
故选C．
此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
4、C
【分析】根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答．
【详解】解：∵⊙O的半径是4，OP=5，5>4
即点到圆心的距离大于半径，
∴点P在圆外，
故答案选C．
本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系．
5、D
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征，将P（﹣1，1）代入反比例函数的解析式(k≠0)，然后解关于k的方程，即可求得k=-1．
【详解】解: 将P（﹣1，1）代入反比例函数的解析式(k≠0)，
解得: k=-1．
故选D．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握求解步骤正确计算是本题的解题关键.
6、C
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们横坐标对应的符号、纵坐标对应的符号分别相反，可直接得到m=3，n=-5进而得到答案．
【详解】解：∵点A（3，n）与点B（-m，5）关于原点对称，
∴m=3，n=-5，
∴m+n=-2，
故选：C．
此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7、C
【解析】太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
【详解】台灯、手电筒、路灯发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影；太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
故选C
本题主要考查了中心投影、平行投影的概念.
8、C
【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．
【详解】根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，
∵AD//BC，
∴△EFB∽△EDC，
∴，即，
∴y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．
A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．
故选C．
9、A
【解析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.
【详解】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.
故选：.
本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.
10、B
【解析】反比例函数的图象是中心对称图形,则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.
【详解】解:点A与B关于原点对称,点坐标为
A点的坐标为(2,3).
所以B选项是正确的.
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,要求同学们要熟练掌握.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、 (4，7) (2n﹣1，2n﹣1)
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标．
【详解】解：∵直线l：y＝x﹣1与x轴交于点A，
∴A1（1，0），
观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，
∴An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n为正整数）．
观察图形可知：B1（1，1），B2（2，3），B3（4，7），
点Bn是线段CnAn+1的中点，
∴点Bn的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为：（4，7），（2n﹣1，2n﹣1）（n为正整数）．
此题主要考查一次函数与几何，解题的关键是发现坐标的变化规律．
12、60π
【分析】先利用勾股定理求出BC的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．
∴BC＝＝10（cm），
∴圆锥的侧面积是：（cm1）．
故答案为：60π．
本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键．
13、1
【分析】设点C（），则点D（），然后根据CD的长列出方程，求得x的值，得到D的坐标，解直角三角形求得AD．
【详解】解：设点C（），则点D（），
∴CD＝x﹣（）＝
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∴＝5，解得x＝1，
∴D（﹣3，），
作DE⊥AB于E，则DE＝，
∵∠DAB＝60°，
故答案为：1．
本题考查的是平行四边形的性质、反比例性质、特殊角的三角函数值，利用平行四边形性质和反比例函数的性质列出等式是解题的关键．
14、1
【分析】根据△EBD由△ABC旋转而成，得到△ABC≌△EBD，则BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，则有∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，化简计算即可得出.
【详解】解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC＝BD，∠EBD＝∠ABC＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD，∠DBC＝180﹣30°＝10°，
∴；
故答案为1．
此题考查旋转的性质，即图形旋转后与原图形全等．
15、＞
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2的大小关系，本题得以解决．
【详解】∵二次函数，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵点在二次函数的图象上，
∵-1＞-2，
∴＞，
故答案为：＞．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16、2
【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.
【详解】由题意得，（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=2，
故答案为2．
本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．
17、①②④
【分析】根据二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可.
【详解】①∵
∴ 即，故①正确；
②由图象可知，若，，在抛物线上，则，故②正确；
③∵抛物线与直线有交点时，即有解时，要求
所以若关于的方程有实数根，则，故③错误；
④当 时，
∵
∴，故④正确.
故答案为①②④
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
18、AC=BD或∠ABC=90°
【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题；
【详解】若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC=BD（对角线相等的平行四边形是矩形）；∠ABC=90°（有一个角是直角的平行四边形是矩形）等，任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．
故答案为：AC=BD或∠ABC=90°
本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析；(2)．
【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC；
（2）解：∵△ADE∽△BEC，
∴，
即，
∴BE=.
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的长度．
20、（1）见解析；（2）DF＝2．
【分析】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
21、（1）顶点；（2）是直角三角形．
【分析】（1）根据点A和点B的坐标设函数解析式为两点式，再将点C的坐标代入求出a的值，最后再将两点式化为一般式即可得出答案；
（2）根据BCD三点的坐标分别求出BC、CD和BD边的长度即可得出答案.
【详解】解：（1）设，将代入解析式得：
顶点
（2）

是直角三角形．
本题考查的是二次函数，难度适中，解题关键是根据题目意思灵活设出二次函数的解析式.
22、（1）200；（2）36；（3）补图见解析；（4）180名.
【分析】（1）根据条形图可知喜欢阅读“小说”的有80人，根据在扇形图中所占比例得出调查学生总数；
（2）根据条形图可知阅读“其他”的有20人，根据总人数可求出它在扇形图中所占比例；
（3）求出第3组人数画出图形即可；
（4）根据喜欢阅读“科普常识”的学生所占比例，即可估计该年级喜欢阅读“科普常识”的人数．
【详解】解：（1）80÷40%=200（人），
故这次活动一共调查了200名学生.
（2）20÷200×360°=36°，
故在扇形统计图中，“其他”所在扇形的圆心角等于36°.
（3）200－80－40－20＝60（人），
即喜欢阅读“科普常识”的学生有60人，
补全条形统计图如图所示：
（4）60÷200×100%＝30%，
600×30%＝180（人），
故估计该年级喜欢阅读“科普常识”的人数为180.
23、（1）见解析；（2），
【分析】（1）欲证直线是的切线，需连接OD,证∠EDO=90°，根据题意，利用平行线的性质即可证得；
（2）先构造直角三角形，需要连接AD，利用三角形的面积法来求出DE的长，再在Rt△ADC中来求．
【详解】(1) 证明：如图，连接.
为的中点，为的中点
,
又.
.
是圆的切线
（2）解：连.
是直径，
.
为的中点，
在中
在中
由面积法可知
即
在中
.
本题考查了切线的判定定理及直角三角形直角边与斜边的关系，证明圆的切线的问题常用的思路是根据利用切线的判定定理转化成证垂直的问题；求线段长和三角函数值一般应构造相应的直角三角形．
24、两人之中至少有一人直行的概率为．
【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5，
所以两人之中至少有一人直行的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（1）这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，2019年我市能完成计划目标.
【分析】（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率x，根据2016年的绿色建筑面积约为950万平方米和2018年达到了1862万平方米，列出方程求解即可；
（2）根据（1）求出的增长率问题，先求出预测2019年绿色建筑面积，再与计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）设这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为x，则有
950(1+x)2=1862，
解得,x1=0.4,x2=−2.4(舍去)，
即这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率为40%；
（2）由题意可得，
1862×(1+40%)=2606.8，
∵2606.8>2400，
∴2019年我市能完成计划目标，
即如果2019年仍保持相同的年平均增长率，2019年我市能完成计划目标.
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件和增长率问题的数量关系，列出方程进行求解．
26、（1）（2）水流喷出的最大高度为2米
【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,
（2）求出顶点坐标即可.
【详解】解：（1）由题意可得，
抛物线经过（0，1.5）和（3，0），
解得：a=-0.5,c=1.5,
即函数表达式为y=.
（2）解：
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.
答：水流喷出的最大高度为2米．
本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.