黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（含解析），共28页。

2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3.请按照题号的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草纸、试题纸上答题无效．
4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．，C．，D．，
3．已知函数y=是二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．±
4．已知⊙O的半径是5，OP的长为7，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
5．在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，A，B，C在上，，则的度数是（ ）
A．11.5°B．112.5°C．122.5°D．135°
7．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点. 若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为（ ）

A．B．C．D．2
9．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1 cmB．7cmC．3 cm或4 cmD．1cm 或7cm
10．如图，二次函数（）的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．个B．个C．个D．个
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝ ．
12．在直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．如图，P是的直径延长线上一点，点D在上，交于点C，且，如果，则 ．
14．如果二次函数y＝x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m＝ ．
15．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是 cm．
16．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程 ．
17．如图，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动；当与x轴相切时；圆心P的坐标为 .
18．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接．则面积的最大值与最小值的差为 ．

三、解答题（19~24题每题6分，25~27题每题10分，共66分）
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
(1)请画出ABC关于原点对称的A1B1C1；
(2)请画出ABC绕点B逆时针旋转90°后的A2B2C2，并写出A2的坐标．
21．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
(1)将化成的形式；
(2)求点A、B、C的坐标；
(3)观察图象直接写出不等式的解集．
22．如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．

(1)求B处离岛C的距离；
(2)求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．
23．先阅读材料，再解答问题：
小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图1，点A，B，C，D均为上的点，则有．小明还发现，若点E在外，且与点D在直线同侧，则有．
请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

问题：如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)在图2中作出的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法），并求出此圆与x轴的另一个交点的坐标；
(2)点P为x轴正半轴上的一个动点，连接、，当达到最大时，直接写出此时点P的坐标．
24．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．
25．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
26．如图，在中，点O是的中点，以O为圆心，为半径作，交于点D，交于点E，弧与弧相等，点F在线段上，．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并加以证明；
(3)若的半径为5，，求的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴、轴分别交于点、点，抛物线经过点，与直线交于点，点的横坐标为，抛物线的对称轴为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点在直线上方的抛物线上，点的横坐标为，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交于点，当时，求值；
(3)点是坐标平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点、、的对应点分别是点、、．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出此时点的横坐标．
含答案与解析
1．B
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图，解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；
根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可；
【详解】A是中心对称图形，C轴对称图形，B既是轴对称图形，又是中心对称图形，D既不是中心对称又不是轴对称图形，
故选：B．
2．B
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
∴或
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
3．A
【分析】根据二次函数的定义结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值．
【详解】∵函数y=（m﹣3）是二次函数，∴，解得：m=﹣3．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
4．C
【分析】根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答．
【详解】解：∵⊙O的半径是5，OP=7，7>5,
即点到圆心的距离大于半径，
∴点P在圆外，
故选:C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系．
5．C
【分析】依题意，即将抛物线向下、向左平移2个单位，再根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】依题意，即将抛物线向下、向左平移2个单位，得到的新的解析式为：
故选C
【点睛】本题考查了抛物线的平移问题，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
6．B
【分析】根据等腰三角形性质求出，再根据圆周角定理求.
【详解】因为OA=OB
所以
所以
所以=
故选：B
【点睛】考核知识点：圆周角定理.理解圆周角定理是关键.
7．A
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1，y2，y3的值，比较大小即可．
【详解】解：∵，，是抛物线上的三点，
∴，，，
∵1＞-2＞-7，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
8．B
【分析】由题意可得OP⊥AB，AP=BP，根据勾股定理可得AP的长，即可求AB的长．
【详解】解：如图：连接OP，AO
∵AB是⊙O切线
∴OP⊥AB，
∴AP=PB= AB，
在Rt△APO中，AP==，
∴AB=2，
故选：B．

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，熟练运用垂径定理是本题是关键．
9．D
【分析】分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况求得AB与CD的距离．构造直角三角形利用勾股定理求出即可．
【详解】当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF-OE=1cm；
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，
过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AE=4cm，CF=3cm，
∵OA=OC=5cm，
∴EO=3cm，OF=4cm，
∴EF=OF+OE=7cm．
故选D．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．
10．C
【分析】根据B点的坐标与二次函数的对称轴即可求出A点坐标，即能求出AB的值，可判断①；由二次函数的图象与x轴有两个交点，即可确定，可判断②；由图象开口向上，可确定．由二次函数对称轴为，即可知，从而得到b的符号，即求出的符号，可判断③；根据图象可知，再由，即可判断出的符号．可判断④；
【详解】∵A、B两点是二次函数与x轴的交点，且二次函数对称轴为
∴A、B两点关于直线对称．
∵B(1，0)，
∴A(-3，0)，
∴．
故①正确；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点A点和B点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即．
故②正确；
根据图象开口向上可知，
∵二次函数对称轴为，即，
∴．
∴．
故③错误；
根据图象可知对于该二次函数，当时有最小值，且最小值小于0，
即，
∵，且，
∴，即．
故④正确；
综上，正确的结论有①②④，共3个．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
11．
【分析】把﹣1代入方程进行求解即可得到结果．
【详解】由题可得方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，
把﹣1代入方程得：，
得到：，
解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的知识点，根据代入值求解是关键．
12．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点即可得出答案．
【详解】点，
关于原点对称的点的坐标为．
故答案为．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标的特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．
13．##度
【分析】连接，根据圆的基本性质和已知可求得，则，再结合三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．熟练掌握三角形外角的性质、等边对等角、圆的基础知识是解题的关键．
【详解】连接，
∵，
∴，
∴
∴
∴.
故答案为：
14．17
【详解】试题解析：二次函数的顶点在x轴上，

解得：
故答案为
点睛：二次函数的顶点在x轴上，说明二次函数的图象与x轴只有一个交点.
15．40cm
【分析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可．
【详解】∵圆锥的底面直径为60cm，
∴圆锥的底面周长为60πcm，
∴扇形的弧长为60πcm，
设扇形的半径为r，
则=60π，
解得：r=40cm，
故答案为:40cm．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解．
16．25(1－x)²＝16
【详解】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量×=增长后的数量，降低前数量×=降低后的数量，故本题的答案为：
17．（,2）或（-，2）或（0，-2）
【分析】根据⊙P的半径为2，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=±2，求出x的值即可得出答案.
【详解】∵⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即,或=-2
解得x=或x=0，
∴P点的坐标为：（，2）或（-，2）或（0，-2）
【点睛】本题考查切线，解题关键在于熟练掌握计算法则.
18．5
【分析】此题考查的是求一次函数图象与坐标轴的交点坐标、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过作于，的延长线交于，连接，根据一次函数求出点A、B的坐标，然后利用等面积即可求出CM的值，根据圆上距离直线AB最近的点为CM与的交点，从而求出面积的最小值，根据圆上距离直线AB最远的点为，即可求得最大值，进而求得答案．
【详解】解：过作于，连接，

将，代入中，得，
将代入中，得
∴点B的坐标为点A的坐标为
∴
根据勾股定理可得
则由三角形面积公式得，，
∴，
∴，
的半径
∴圆上点到直线的最小距离是，即点P为与的交点时
∴面积的最小值是，
当圆上点到直线的最大距离是，即点P为CM与的交点时
∴面积的最小值是，
故答案是：5．
19．(1)，
(2)，
【分析】该题主要考查了一元二次方程的解法，解答的关键是熟悉一元二次方程的几种解法：“直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法”；
（1）运用因式分解法解答即可；
（2）运用配方法解答即可；
【详解】（1）
，
；
（2）
，
，
，
，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析，A2(﹣2，2)
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
【详解】（1）解：如图，△；即为所求；
（2）解：如上图，△即为所求，的坐标．
【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
21．(1)
(2)；；
(3)或
【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，求二次函数与坐标轴交点，以及根据图象写出不等式解集．
（1）根据完全平方公式进行配方即可；
（2）求出时的函数值，即可得出点C的坐标，求出时自变量的值，即可得出点A和点B的坐标；
（3）根据图象，找出函数图形在x轴上方时，自变量x的取值范围即可．
【详解】（1）解：，
即；
（2）解：令，则，
即该抛物线与轴的交点坐标是，
令，则，
，
，，
所以该抛物线与轴的交点坐标是、．
（3）解：不等式，即，
由图可知或．
22．(1)B处离岛C的距离为12海里
(2)该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为
【分析】（1）如图1，作的延长线于，由题意知，，，，由，可得；
（2）如图2，在找点，连接，使， 则， ，由勾股定理得，由勾股定理得，，即，然后求时间即可．
【详解】（1）解：如图1，作的延长线于，

由题意知，，，，
∵，
∴，
∴B处离岛C的距离为12海里；
（2）解：如图2，在找点，连接，使，

∴，
由题意知，，，
∴ ，
由勾股定理得，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
∴该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为．
【点睛】本题考查了方向角，三角形外角的性质，含的直角三角形，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)此圆与x轴的另一个交点的坐标为
(2)
【分析】（1）作线段，的垂直平分线，交点即为圆心，再作圆即可；过圆心作轴于点，易证四边形为矩形，根据勾股定理、矩形的性质，设法求出的长度，根据垂直径定理求出，即可求出另一个交点的坐标；
（2）经过两点，与轴相切于点，由阅读材料可知，点在切点时取等号．
【详解】（1）解：的外接圆如下图所示，过圆心作轴于点，连接、，
由作图可知垂直平分，
，
四边形为矩形，
点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，
，，，
垂直平分，
，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
在中，，
，
，
设长为，则，
解得，
，
，
，
，
即此圆与x轴的另一个交点的坐标为；
（2）解：当达到最大时，点P的坐标为，
如图所示：经过两点，与轴相切于点，由阅读材料可知，因此当点P与点Q重合时，取最大值．过点D作于点M，连接，
与轴相切于点，
，
，
四边形是矩形，
同（1）可得，，
，
，
在中，，
，
，
点Q的坐标为，
当达到最大时，点P的坐标为．
【点睛】本题考查三角形外接圆的作法，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，切线的性质等，综合应用上述知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24．（1）见解析
（2）四边形ABPF为菱形
【分析】（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可.
（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠B=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案.
【详解】（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），
∴AB=AF，∠BAM=∠FAN.
∵在△ABM和△AFN中，，
∴△ABM≌△AFN（ASA）.
∴AM=AN.
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形.理由如下：
连接AP，
∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°.
∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°.
∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP.
∴四边形ABPF是平行四边形.
∵AB=AF，
∴平行四边形ABPF是菱形.
【点睛】本题考查旋转的性质和菱形的判定.熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
25．（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a
【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，
解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a2．
【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点．
26．(1)见解析
(2)与相切，证明见解析
(3)
【分析】该题主要考查了圆周角定理，切线的性质“切线垂直于过圆心的直经或（半径）”和判定，三角形中位线的性质“三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半”和判定，解题的关键是做出对应辅助线；
（1）连接，根据弧与弧相等，得出，根据是的直径，得出，证出，即可求证；
（2）连接，根据，得出，证出是的中位线，得出，根据，证出，由等量代换得出，根据平行线性质得出，即可证明与相切；
（3）连接，根据弧与弧相等证出，根据，得出，结合（2）得出，证出是的中位线，得出，
设长为x，则，表示出，，，根据是的直径，得出，在中，运用勾股定理解出x，得出，，在中，运用勾股定理解出；
【详解】（1）证明：连接，
∵弧与弧相等；
∴，
∵是的直径；
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）与相切，
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点O是的中点，
是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴与相切；
（3）
解：连接，
∵弧与弧相等，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
是的中位线，
∴，
设长为x，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴在中，，
即，
解得或（舍），
，，
在中，，
解得．
27．(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)点的横坐标或
【分析】本题考查了二次函数图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，直角三角形旋转的性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）利用待定系数法，分别求出点、，点，再由对称轴和点，求出抛物线的解析式．
（2）由已知条件，得到，，，故而，所以，由此得到的值．
（3）将绕点沿逆时针方向旋转90°，点，在抛物线上时，设点的横坐标为，点的横坐标为，纵坐标相等，得到关系式求出；点，在抛物线上时，点的横坐标为，纵坐标比大，得到关系式，再求出一个，得到答案．
【详解】（1）解：由已知得：
抛物线与轴交于点令，，
，
直线经过点，
，
直线的解析式为直线交于点，点的横坐标为4，
令，，
，
抛物线经过点，对称轴为，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）由已知得：
如图，，
，
轴，轴，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
解得．
（3）由已知得：
将绕点沿逆时针方向旋转90°，
直线与轴、轴分别交于点、点，
轴，轴，设点的横坐标为，
如图，点，在抛物线上时，点的横坐标为，
，
解得；
如图，点，在抛物线上时，点的横坐标为，纵坐标比大，
，
解得．
故点的横坐标或．