2023届广东省惠州市高三第三次调研考试数学试题

这是一份2023届广东省惠州市高三第三次调研考试数学试题，共23页。试卷主要包含了若函数，已知，且恒成立，则的最小值为，已知复数，则下列选项正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。
1．已知集合，，且，则实数（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
2．数列为等差数列，、是方程的两个根，则的前2022项和为（ ）
A．1011 B．2022 C．4044 D．8088
3．“”是“方程表示双曲线”的（ ）条件
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．b与c是异面直线 B．a与c没有公共点
C． D．
6．若函数（且）在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B． C． D．
7．在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，且恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．已知复数，则下列选项正确的是（ ）
A．z的虚部为1 B．
C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．在全市高三年级举行的一次数学达标测试中，共有20000人参加考试。为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，其中成绩落在区间内的人数为16．
则下列结论正确的是（ ）
A．样本容量 B．频率分布直方图中
C．估计该市全体学生成绩的平均分约为70.6分
D．该市要对成绩由高到低前20%的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数
C．任意， D．函数有且仅有2个零点
12．画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：若椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与蒙日圆相切
B．椭圆C的蒙日圆的方程为
C．记点A到直线l的距离为d，则的最小值为
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH的面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二个空3分。
13．已知平面向量，，若与垂直，则实数__________．
14．在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，则__________．
15．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为__________．
16．用数学的眼光看世界就能发现数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为．则曲线在处的曲率为__________；正弦曲线曲率的平方的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）数列中，，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
条件①， 条件②，
条件③．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且满足________，
（1）求A；
（2）若AD是的角平分线，且，求的最小值．
（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）证明：平面平面PBC；
（2）若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
20．（本小题满分12分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆的右焦点为F，点在椭圆上且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P、Q分别在椭圆C和直线上，，M为AP的中点，若T为直线OM与直线QF的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
惠州市2023届高三第三次调研考试
数学试题参考答案与评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。
1．【解析】由集合元素的互异性及子集的概念知，解得实数．故选A．
2．【解析】所以的前2022项和，，故选C．
3．【解析】因为方程表示双曲线，所以，解得或，即，所以“”是“方程表示双曲线"的充分不必要条件，故选B．
4．【解析】A项中，因为，所以，故A项正确；B项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B项错误：C项中，因为，则，故C项错误；D项中，若，，则，故D项错误．故选A．
5．【解】∵，∴，，
∵，，∴，，，
∵，∴，∴，∴，
如右图所示：故A，B，C错误；故选D．
6．【解析】由函数在上为减函数，可知，函数的定义域为或，故排除A，B，又，可知在单调递减，故排除D．故选C．
7．【解析】由题意得，6个数中任取2个数，共有种可能，2个素数之和仍为素数，则可能为（2和3）、（2和5）、（2和11）共有3种可能，所求概率．故选A．
8．【解法一】数形结合，当时，曲线介于直线PA和PB之间，
即，又因为恒成立，
所以且，即且
∴．故选D．
【解法二】由，得：；
令，∴，
令，则，
∴在上单调递减，∴，则，
∴在上单调递减，∴，∴；
令，则，∵，∴；
当时，，∴在上单调增∴，不合题意；
当时，，∴在上单调减，∴，满足题意；
当时，，使得，又在上单调递减，
∴当时，，∴在上单调递增，则，不合题意；
综上所述．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．【解析】，∴z的虚部为1，，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第四象限，故选AC．
10．【解析】对于A：样本容量，故A不正确；
对于B：因为，解得，故B正确：
对于C：学生成绩平均分为，C正确；
对于D：因为，即按照成绩由高到低前20%的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确，故选BC．
11．【解析】对于A：
因为，所以，，因此，
故，所以在上单调递增，故A正确；
对于B：令，则，令，定义域为，关于原点对称，且，故为奇函数，B正确对于C：时，；时，；
时，；C正确；
对于D：时，，时，，
时，，所以只有1个零点，D错误；故选：ABC
12．【解析】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以，点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
因为，可得．
对于A选项，蒙日圆圆心到直线l的距离为，故l与蒙日圆相切，A对；
对于B选项，C的蒙日圆的方程为，B错；
对于C选项，由椭圆的定义可得，
则，所以，
因为，直线l的方程为，点到直线l的距离为，
所以，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，若矩形MNGH的四条边均与C相切，
则矩形MNGH的四个顶点都在蒙日圆上，所以，
所以矩形MNGH的面积为，D错．故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中16题第一个空2分，第二空3分。
13．2； 14．1； 15．； 16．（2分），1（3分）
13．【解析】因为与垂直，所以，即，解得．
14．【解法一】由三角函数的定义可知，，
所以
【解法二】因为角的终边经过点，所以，
所以．
15．【解析】圆的标准方程为，
则圆心半径，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和E点之间的距离为1，故，所以四边形ABCD的面积为．故答案为：
16．【解析】（1）由，，
则，
（2）由，，则，
，令，则，
故，设，则，
在时，递减，所以，最大值为1．
故答案为：，1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分，其中第一小问4分，第二小问6分）
【解析】（1）因为，
所以，且 1分
得 2分
又 3分
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列 4分【注：无首项和公比的说明，本得分点不得分】
（2）由（1）可知， 1分
所以 2分
又由题知
所以
3分
5分【注：等差等比求和公式各1分】
∴ 6分
18．（本小题满分12分，其中第一小问6分，第二小问6分）
【解析】（1）选②
因为，由正弦定理
所以 1分
即， 2分
由余弦定理 3分
4分
因为， 5分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以 6分
选③
因为，
正弦定理且
所以， 1分
即 3分
而，∴，cs≠0，．分【注：无此步骤，本得分点不得分】
所以 5分
因为，所以，即 6分
选①
因为，由正弦定理
所以， 1分
即， 2分
所以， 3分
而，∴， 4分
故， 5分
因为，所以 6分
【备注：从3个条件的思维量及计算步骤数综合分析，从易到难排序为②