广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题

这是一份广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了设集合，且，则，若，则，设为等差数列的前项和，设甲，在中，，且的面积为，则，已知函数的部分图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.设集合，且，则（ ）
A.6 B.4 C.-4 D.-6
2.若，则（ ）
A.-2 B.0 C. D.
3.设为等差数列的前项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
4.在中，是边上一点，且，点是的中点设，则（ ）
A. B.
C. D.
5.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长（）和厚度x（）满足：.一张长边长为26，厚度为0.01的矩形纸最多能对折的次数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
6.在中，，且的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7.设为数列的前n项积，若，，且，当取得最大值时，（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
8.已知正三棱柱的底面边长为，高为3，截去该三棱柱的三个角（如图1所示，D，E，F分别是三边的中点），得到几何体如图2所示，则所得几何体外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个是符合要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示.则（ ）
A.
B.在区间内有两个极值点
C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象
D.A，B，C是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则
11.正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.异面直线与所成的角的最小值为
B.异面直线与所成的角的最大值为
C.对于任意的P，存在点M使得
D.对于任意的M，存在点P使得
12.已知定义在上的函数，满足，为的导函数，且对于任意的，都有，则（ ）
A. B.
C.， D.，
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中，含项的系数是___________（请用数字作答）.
14.已知同一平面内的单位向量，满足，则___________.
15.若直线l：与圆C：相交于A，B两点，，则直线l的斜率的取值范围为___________.
16.已知双曲线的左､右焦点分别为分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为___________，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）在锐角三角形中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，，，求的面积.
18.已知数列的前n项和为，，，设.
（1）证明数列是等比数列并求数列的通项：
（2）数列满足，设，求.
19.如图，已知在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，，.
（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）在线段PB上是否存在点E，使得二面角的余弦值为？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由.
20.抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：
（1）在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.
21.已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.
22.已知函数.
（1）当，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.
参考答案
1.D 2.D 3.A 4.C
5.B 【详解】解：由题意得，
因为，所以，故.
6.D
7.B 【详解】由题易知，，∵，∴，故是公比为的等比数列，
∵，∴，故.∴，
∴，
要使取得最大值，则为偶数，且取最小值，
由二次函数知识知，当或9时，取最小值，只有，使得为偶数符合要求.
8.A 【详解】易知△DEF的外心即为的外心，如图，设△DEF的外心为，△ABC的外心为，
则所得几何体外接球的球心O在直线上，
因为正三棱柱得底面边长为，所以，，
所以由正弦定理可得：，所以，
同理，，设外接球的半径为R，则，
联立解得：，，所以外接球的表面积为.
9.AC 【详解】选项A，由得，∴，故A正确；
选项B，取，，可得，，不满足，故B错误；
选项C，，
∵，所以，故，
∴，故C正确；
选项D，设函数，，则，
当时，，单调递减，
故时，，即，故，故D错误.
10.ABD 【详解】A.由的部分图象可知，，可得，所以，
由五点作图法可得，解得，，又，所以，所以函数的解析式为，故A正确；
B.令得，，所以在区间上有和两个极值点，故B正确；
C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到
的图象，故C错误；
D..
若，不妨设A，B，C的位置如图1所示，
则，，
同理时，如图2，，，所以，故D正确.
11.ABD 【详解】以为坐标原点，建系如图，
设正方体的边长为1，则，
设，，则，
设异面直线与所成的角为，
则，
A.当时，，，故A正确；
B.当时，，，故B正确；
C.设，，则，，
当时，无解，故C错误；
D.，令，得，
即对于任意的M，存在点P使得，故D正确.
12.AC 【详解】由可知的对称轴为，
由可知函数的图象在上单调递增，在上单调递减.
则可知，，时取最大值.
13.-160 14.
15.
【详解】将圆C的方程整理得，
圆心坐标为，半径为，要求，，则圆心到直线的距离应小于等于，
∴，即（），∴，，
设直线l的斜率为k，则，∴，
直线l的斜率的取值范围是.
16.；
【详解】因为，所以，
作于H，如下图所示，则，.
又∵，
∴，∴.∴.
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，如下图所示，
设，因为，所以，
所以.设，点Q到两条渐近线的距离分别为，，
则四边形OMQN的面积为
，
而，
所以，解得：，∴，故双曲线C的方程为.
17.（1），
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，所以，即，
又，所以，所以或，或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意，
所以，，，，此时为等腰三角形，所以，
所以，即的面积为.
18.（1）当时，由①，得②
①-②得，所以，又，所以.
因为，且，所以，所以，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴.
（2）由，则，
∴
∴
∴.
19.（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
，，.
设平面PCD的法向量为，
则有，即，取.
设点B到平面PCD的距离为d，则，
所以点B到平面PCD的距离为.
（2）假设线段PB上存在点E，使得二面角的余弦值为.
设，，则，从而，，.
设平面ACE的法向量为，
则有，即，取
设平面PAC的法向量为，则有，即，取.
，解得或（舍去），
故线段PB上存在点E，使得二面角的余弦值为，此时E为PB上靠近点B的三等分点.
20.（1）设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，
则，，
所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，
第1次取出的是一次性筷子的概率；
（2）记取出的一次性筷子的双数为X，则，
则，，
，则，
则X的分布列为
数学期望.
21.（1）依题意，设椭圆的方程为.
∵椭圆过点两点，解得
∴椭圆的标准方程为.
（2）证明：由题意知直线的方程为，
代入，得，
设，则.
∵点与关于轴对称，，
∴直线的方程为.
令，得
，∴直线过定点.
22.【详解】（1）当时，，令，解得.
列表：
所以，当时，有极小值，没有极大值
（2）①因为.所以，.
当时，，所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意，
当时，由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即为最小值.
1°当时，在上单调递减，在上单调递增，
只有一个零点，不合题意；
2°当时，，故，最多有两个零点.
注意到，令，
取，使得，下面先证明；
设，令，解得.
列表
所以，当，有极小值.所以，故，即.
因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，
又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意
3°当时，，故，最多有两个零点.
注意到，取，则
，因此，根据零点存在性定理知，
在上必存在一个零点，
又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是.X
0
1
2
3
P
0.064
0.366
0.47
0.1
x
1
—
0
+
极小值
x
—
0
+
极小值