2023-2024学年甘肃省张掖一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年甘肃省张掖一中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了细心选一选，用心填一填，认真解一解等内容，欢迎下载使用。
1．方程x（x﹣14）＝0的解（ ）
A．0B．14C．0或14D．无法确定
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
3．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4cm2B．2cm2C．D．
4．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．12或16
5．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正五边形都相似
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
7．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（ ）
A．（x﹣2） 2＝11B．（x+2） 2＝11
C．（x﹣1） 2＝8D．（x+1） 2＝8
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．12C．10D．8
9．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（ ）
A．3s或4.8sB．3s
C．4.5sD．4.5s或4.8s
二、用心填一填（本小题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和5cm，那么它们的相似比是 ．
12．（4分）菱形的两条对角线的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则菱形的面积是 ．
13．（4分）一元二次方程x2﹣3x﹣2a＝0的判别式为1，则a为 ．
14．（4分）今年张掖市体育中考已确定抽测项目为足球绕杆、跳绳，实心球，立定跳远、1000米跑．小明随机从这五项中选择一项作为测试练习项目 ．
15．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝10 cm，则点C到A的距离是 ．
16．（4分）若实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，则＝ ．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），原点O是位似中心，若AB＝2 ．
18．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，点P在AD上，若△PBC为直角三角形 ．
三、认真解一解（19题12分、20题6分、22题、23题、24题、25题、26题、27题每小题12分，28题12分，共88分）
19．（12分）解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）2y2+4y＝y+2；
（3）（2y+1）2﹣25＝0．
20．（6分）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似
（2）计算△A′B′C′的面积．
21．2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．
（1）分数段在 范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．
22．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，连接AE、BE．若△ABE的面积为8，求线段BE的长．
​
23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x＝3．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．
24．（8分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，而成本价又不高于10000元，售价应定为多少？这时应进货多少个？
25．（8分）如图，点P为△ABC的边AB上的一点，连接PC
（1）求证：△ABC∽△ACP；
（2）若PA＝4，PB＝5，求AC的长．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3．
（1）求证：△BDG∽△FEC；
（2）求S△BDG：S△FEC的值．
27．（8分）如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°2﹣13x+36＝0的两个根，且OB＜OA．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）若直线l过点A交线段BC于点D，且S△ABD：S△ADC＝1：2，求D点坐标；
（4）在平面内是否存在一点P，使得以P为直角顶点的△APC与△ABC相似，若存在；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年甘肃省张掖一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、细心选一选（本小题共10小题，每小题3分，共30分）
1．方程x（x﹣14）＝0的解（ ）
A．0B．14C．0或14D．无法确定
【分析】利用因式分解法求解可得．
解：∵x（x﹣14）＝0，
∴x＝0或x﹣14＝8，
解得：x1＝0，x2＝14，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A、∵1×4≠3×3，不符合题意；
B、∵2×3≠3×4，不符合题意；
C、∵4×6＝3×6，符合题意；
D、∵3×9≠2×6，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4cm2B．2cm2C．D．
【分析】由正方形是菱形的特殊情况，根据菱形的面积等于对角线积的一半求解即可求得答案．
解：∵正方形的对角线长为2cm，
∴这个正方形的面积为：×2×2＝8（cm2）．
故选：B．
【点评】此题考查了正方形的性质．注意理解正方形是菱形的特殊情况，结合菱形的性质求解是关键．
4．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．12B．14C．16D．12或16
【分析】求出已知方程的解确定出AB的长，即可求出周长．
解：方程x2﹣7x+12＝3，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝6，
可得x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝3或x＝8，
当AB＝3时，3+2＝6，舍去；
当AB＝4时，菱形周长为16．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及菱形的性质，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
5．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正五边形都相似
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
解：A．所有的正方形都相似，故此选项不符合题意；
B．所有的菱形不一定相似；
C．所有的等腰直角三角形都相似，故此选项不符合题意；
D．所有的正五边形都相似，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣1且k≠0B．k≥﹣1C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k≠0且Δ＝24﹣4k×（﹣1）≥3，
解得k≥﹣1且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
7．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（ ）
A．（x﹣2） 2＝11B．（x+2） 2＝11
C．（x﹣1） 2＝8D．（x+1） 2＝8
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
解：方程x2﹣2x﹣7＝0，
移项得：x2﹣8x＝7，
配方得：x2﹣8x+1＝8，即（x﹣5）2＝8．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则△ABC的面积为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．
解：∵点D、E分别是AB，
∴DE∥BC，DE＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）6＝，
∴＝，
∴△ABC的面积为16，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
9．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
利用中心对称图形的性质可得，△AOB≌△COD，
则图中阴影部分面积＝S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
10．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（ ）
A．3s或4.8sB．3s
C．4.5sD．4.5s或4.8s
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
解：如果两点同时运动，设运动t秒时、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t（cm），CE＝2t（cm），
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC，
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣8t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8，
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
二、用心填一填（本小题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和5cm，那么它们的相似比是 ．
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
解：∵两个相似多边形的一组对应边分别为3cm、5cm．
∴它们的相似比为．
故答案为：．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
12．（4分）菱形的两条对角线的长是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则菱形的面积是 4 ．
【分析】根据根与系数的关系得出菱形的两对角线的积为8，再根据菱形的面积公式求解即可．
解：设方程x2﹣6x+4＝0的两个根为a，b，
则由根与系数的关系得：ab＝8，
∵菱形的两条对角线的长是方程x2﹣6x+8＝5的两根，
∴菱形的对角线的积为8，
∴菱形的面积是，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根和菱形的对角线，解决问题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，菱形的面积等于两对角线乘积的一半．
13．（4分）一元二次方程x2﹣3x﹣2a＝0的判别式为1，则a为 ﹣1 ．
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
解：∵方程x2﹣3x﹣4a＝0的判别式为1，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4×3×（﹣2a）＝9+7a＝1，
解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式Δ＝b2﹣4ac是解题的关键．
14．（4分）今年张掖市体育中考已确定抽测项目为足球绕杆、跳绳，实心球，立定跳远、1000米跑．小明随机从这五项中选择一项作为测试练习项目 ．
【分析】直接根据概率公式计算即可．
解：∵小明随机从这五项中选择一项作为测试练习项目有5种情况，他选中实心球只有一种情况，
∴他选中实心球的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝10 cm，则点C到A的距离是 （5﹣5）cm ．
【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝10cm代入计算即可．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC＝AB，
∵AB＝10cm，
∴AC＝×10＝（5．
故答案为：（2﹣5）cm．
【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
16．（4分）若实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，则＝ 2或﹣3 ．
【分析】由于a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，因此可以把a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根，然后利用根与系数的关系可以得到a+b＝﹣1，ab＝﹣1，再把所求代数式通分即可求解．
解：若a≠b，
∵实数a，b满足a2+a﹣1＝4，b2+b﹣1＝2，
∴a、b看作方程x2+x﹣1＝4的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
则＝＝＝＝﹣3．
若a＝b，则原式＝7．
故答案为：2或﹣3
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，首先把已知等式转化为一元二次方程的问题，然后利用根与系数的关系即可解决问题．
17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），原点O是位似中心，若AB＝2 6 ．
【分析】利用位似的性质得到AB：DE＝OA：OD，然后把OA＝1，OD＝3，AB＝2代入计算即可．
解：∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴AB：DE＝OA：OD，即2：DE＝1：7，
∴DE＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
18．（4分）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，点P在AD上，若△PBC为直角三角形 2或2或2 ．
【分析】分情况讨论 ①当∠PBC＝90°时，P与A重合，由勾股定理得CP＝＝2；
②当∠BPC＝90°时，由勾股定理得出22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，得出AP＝2，DP＝2，由勾股定理得出CP＝＝2；
③当∠BCP＝90°，P与D重合，CP＝CD＝2；即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，分情况讨论：
①当∠PBC＝90°时，P与A重合，
由勾股定理得：CP＝＝2；
②当∠BPC＝90°时，
由勾股定理得：BP7＝AB2+AP2＝22+AP2，CP3＝CD2+DP2＝22+（4﹣AP）8，BC2＝BP2+CP5＝42，
∴22+AP2+72+（4﹣AP）3＝16，
解得：AP＝2，DP＝2，
∴CP＝＝2；
③当∠BCP＝90°，P与D重合；
综上所述，若△PBC为直角三角形或2；
故答案为：2或2．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；熟练掌握勾股定理和分类讨论是解题的关键．
三、认真解一解（19题12分、20题6分、22题、23题、24题、25题、26题、27题每小题12分，28题12分，共88分）
19．（12分）解下列方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）2y2+4y＝y+2；
（3）（2y+1）2﹣25＝0．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为y+2＝0或2y﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（3）先利用因式分解法把方程转化为2y+1+5＝0或2y+1﹣5＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）x2﹣3x＝7，
x（x﹣3）＝0，
x＝2或x﹣3＝0，
所以x3＝0，x2＝2；
（2）2y2+7y＝y+2，
2y（y+6）﹣（y+2）＝0，
（y+7）（2y﹣1）＝8，
y+2＝0或6y﹣1＝0，
所以y3＝﹣2，y2＝；
（3）（2y+5）2﹣25＝0，
（4y+1+5）（2y+1﹣5）＝6，
2y+1+8＝0或2y+6﹣5＝0，
所以y8＝﹣3，y2＝8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20．（6分）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似
（2）计算△A′B′C′的面积．
【分析】（1）根据△A′B′C′和△ABC以O为位似中心，且位似比为1：3，得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用三角形的面积计算公式解答．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求．
（2）S△A′B′C′＝×3×2＝3，
∴△A′B′C′的面积为8．
【点评】此题主要考查了作图﹣位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21．2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．
（1）分数段在 85～90 范围的人数最多；
（2）全校共有多少人参加比赛？
（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．
【分析】（1）由条形图可直接得出人数最多的分数段；
（2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数；
（3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率．
解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人，
故答案为：85～90；
（2）全校参加比赛的人数＝5+10+6+8＝24人；
（3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示，
共有9种搭配方案，其中，
上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为：＝．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．（8分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，连接AE、BE．若△ABE的面积为8，求线段BE的长．
​
【分析】由正方形的性质推出AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC，∠C＝90°，由三角形面积公式得到△ABE的面积＝AB•BC＝BC2＝8，即可求出BC＝4，由勾股定理求出BE＝＝5．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥AB，AD⊥CD，∠C＝90°，
∴△ABE的面积＝AB•BC＝2＝5，
∴BC＝4，
∵∠C＝90°，CE＝3，
∴BE＝＝5．
【点评】本题考查正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形面积公式求出BC的长，由勾股定理即可求出BE的长．
23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x＝3．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程一个根是2，求m的值以及方程的另一个根．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣1）2+12，则Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个根为t，则利用根与系数的关系得2+t＝m﹣1，2t＝﹣3，然后解方程组即可．
【解答】（1）证明：方程化为一般式为x2﹣（m﹣1）x﹣2＝0，
∵Δ＝（m﹣1）6﹣4×（﹣3）
＝（m﹣8）2+12＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得3+t＝m﹣1，2t＝﹣3，
解得t＝﹣，
∴8﹣＝m﹣3，
解得m＝，
即m的值为，方程的另一个根为﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
24．（8分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，而成本价又不高于10000元，售价应定为多少？这时应进货多少个？
【分析】设售价为每个x元，则每个利润为（x﹣40），销售量为500﹣10（x﹣50），根据：每个利润×销售量＝总利润，列方程求解．
解：设售价为每个x元，依题意，得
（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
整理得x2﹣140x+4800＝0
解得：x4＝60，x2＝80，
当x＝60时，成本＝40×[500﹣10（x﹣50）]＝16000＞10000，
当x＝80时，成本＝40×[500﹣10（x﹣50）]＝8000＜10000，
答：售价为80元，应进货200个．
【点评】本题属于销售利润问题，要会结合题意，表示每个的销售利润，销售量，根据销售利润的基本等量关系，列方程求解．
25．（8分）如图，点P为△ABC的边AB上的一点，连接PC
（1）求证：△ABC∽△ACP；
（2）若PA＝4，PB＝5，求AC的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的想知道的，代入数据即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACP；
（2）∵PA＝4，PB＝2，
∴AB＝9，
∵△ABC∽△ACP，
∴，
即：，
∴AC＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，且四个顶点都在△ABC的各边上，CE＝3．
（1）求证：△BDG∽△FEC；
（2）求S△BDG：S△FEC的值．
【分析】（1）根据正方形的性质得DE＝EF＝DG＝6，∠BDG＝∠CEF＝90°，根据直角三角形两个锐角互余得到∠B＝∠CFE，即可证明；
（2）由（1）知△BDG∽△FEC，根据三角形相似的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGD是正方形，
∴DE＝EF＝DG＝6，∠GDE＝∠DEF＝90°，
∴∠BDG＝∠CEF＝90°，
∵∠B+∠C＝90°，∠C+∠CFE＝90°，
∴∠B＝∠CFE，
∴△BDG∽△FEC．
（2）解：∵△BDG∽△FEC，CE＝3，
∴，
∴．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟记三角形相似的判定方法是解题关键．
27．（8分）如图，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．
【分析】此题是实际应用问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题解答；根据在同一时刻物高与影长成正比例．利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
解：如图：
过点D作BC∥DE，
∴CB＝DE＝9.6米，CD＝BE＝5米，
∵在同一时刻物高与影长成正比例，
∴EA：ED＝1：1.2，
∴AE＝8米，
∴AB＝AE+EB＝8+4＝10米，
∴学校旗杆的高度为10米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且∠ACB＝90°2﹣13x+36＝0的两个根，且OB＜OA．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求点C的坐标；
（3）若直线l过点A交线段BC于点D，且S△ABD：S△ADC＝1：2，求D点坐标；
（4）在平面内是否存在一点P，使得以P为直角顶点的△APC与△ABC相似，若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求解一元二次方程，根据点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，即可求解；
（2）设点C的坐标为（0，t）（t＞0），则OC＝t，证明△ACO∽△CBO，则，，即可得到答案；
（3）过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，证明△BDE∽△BOC，△CDF∽△CBO，由S△ABD：S△ADC＝1：2得到BD：DC＝1：2．则；，由OB＝4，OC＝6，得到DE＝2；，解得，即可得到答案；
（4）设P（x，y），由题意可得：AB＝OB+OA＝13，，，，，分△APC∽△ACB和△APC∽△BCA两种情况分别进行求解即可．
解：（1）∵x2﹣13x+36＝0，
∴（x﹣8）（x﹣9）＝0．
∴x3＝4，x2＝6．
∵点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，
∴A点坐标为（9，0），7），
（2）∵A点坐标为（9，0），6），
∴OA＝9，OB＝4，
设点C的坐标为（5，t）（t＞0），
∵∠ACB＝90°，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴∠OCB+∠ACO＝∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠ACO＝∠OBC，
∴△ACO∽△CBO，
∴，
∴，
解得t＝6，
经检验，t＝6是方程的解且符合题意，
∴点C的坐标是（2，6）；
（3）过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于点F，
则DE∥OC，DF∥OB，
∴△BED∽△BOC，△CDF∽△CBO，
∵S△ABD：S△ADC＝1：8，
∴BD：DC＝1：2．
∴；，
∵OB＝4，OC＝6，
∴DE＝4；，
解得．
∴；
（4）解：在平面内存在一点P，使得以P为直角顶点的△APC与△ABC相似．
设P（x，y），，，，，
当△APC∽△ACB时，，
即，，
解得或，
即点P坐标为（0，0）或；
当△APC∽△BCA时，，
即，，
解得或，
即点P坐标为（9，2）或，
综上可知，满足条件的P点为：（0或（9．
【点评】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了相似三角形的判定和性质，勾股定理、解方程等知识，解题的关键是灵活应用相关性质进行求解，学会利用分类讨论的思想求解．