第09讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题（9类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

2024高考数学一轮复习第09讲 圆锥曲线中的焦点三角形与焦点弦三角形问题（核心考点精讲精练）1. 4年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算 2.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦三角形及其相关计算 【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解椭圆焦点三角形主要结论在ΔPF1F2 中,记 ∠F1PF2=θ, 椭圆定义可知: (1). PF1+PF2=2a,F1F2=2c.(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.(3) PF1∥PF2=2b21+cosθ.(4). 焦点三角形的而积为: S=12PF1∥PF2sinθ=b2tanθ2.双曲线焦点三角形主要结论如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点, 记 ∠F1PF2=θ, 则 △PF1F2的面积S=b2tanθ2椭圆、双曲线焦点三角形离心率记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=θ则椭圆的离心率为:e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ.双曲线的离心率为:e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα−sinβ椭圆焦点弦三角形周长F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，则 △ABF2 的周长为 4a.(2) F1,F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点，则 △ABF1 的周长为 4a.双曲线焦点弦三角形周长如图1， F1,F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F1 的直线交双曲线同支于 A,B 两点，且 AB=m ，则 △ABF2 的周长为 4a+2m.椭圆焦点弦三角形面积公式F1、F2 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点，过 F2 倾斜角为 θ 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△P1AB=2cpsinθ1−e2cos2θ，其中，p=b2a（2） F1、F2 为椭圆的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△F1AB=b2a−mm双曲线焦点弦三角形面积公式（1）设直线 l 过焦点 F2 且交双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，双曲线的半通径为 p=b2a ，则双曲线同支焦点弦三角形的面积S△P1AB=2cpsinθ1−e2cos2θ（2） F1、F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线 C 右支交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△F1AB=b2a+mm（3） F1、F2 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与双曲线 C 右支、左支分别交于 A、B 两点，且 AB=m ，则焦点弦三角形 △F1AB 的面积:S△F1AB=bm−2am抛物线焦点弦三角形面积公式设直线 l 过焦点 F 且与抛物线 y2=2pxp>0 交于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，则焦点弦三角形 △OAB 的面积为S△OAB=p22sinθ考点一、椭圆的焦点三角形周长问题1．（2022·湖南·统考二模）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，点P在椭圆C上，的周长为16，则 .【答案】5【分析】设焦距为2c，根据题意和椭圆的定义可得，结合计算即可得出结果.【详解】设焦距为2c，因为的周长为16，所以，化简得①.又，所以，可得②，由①②，解得.故答案为：52．（2022·内蒙古通辽·统考二模）椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆方程可得，再结合三角形周长，得，进而可得离心率.【详解】因为，所以.因为的周长为，所以，所以，所以椭圆的离心率为，故选：B.3．（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直线的方程，由点到直线的距离可得，再由的周长为16可得，解方程可求出，即可得出答案.【详解】由题意，得，，，则直线的方程为，所以点A到直线的距离①．由的周长为16，得，即a+c=8②，联立①②，解得③．因为，所以④．联立②④，解得a=6，c=2，所以，故椭圆E的标准方程为是.故选：B．1．（2023·陕西西安·校联考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据的周长可得，由的中点坐标求得M坐标，代入椭圆方程可得关系式，解方程可得的值，即可求得答案【详解】因为的周长为，所以，则，又,的中点为 ，所以M的坐标为，故，则，结合，，解得，所以椭圆C的标准方程为，故选：A2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（    ）A．的周长为6 B．的面积为C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的直径为【答案】D【分析】根据焦点三角形的性质即可求解AB，根据等面积法即可求解C，根据面积公式以及正弦定理及可求解D.【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，∴，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.  3．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点为，，点关于直线的对称点P仍在椭圆上，则的周长为 ．【答案】/【分析】利用椭圆的定义、几何性质即可求解.【详解】椭圆的左焦点关于直线的对称点仍在椭圆上，则，，则三角形的周长为.故答案为：.考点二、椭圆的焦点三角形面积问题1．（2023·全国·统考高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B.方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故选：B.2．（上海·高考真题）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则= .【答案】3【详解】设椭圆的焦距为，则.由椭圆定义知，由题意知，，则，则，即，所以.3．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设，所以，由，解得：，由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B．方法二：因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即．故选：B．方法三：因为①，，即②，联立①②，解得：，由中线定理可知，，易知，解得：．故选：B．【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．4．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）（多选）已知为椭圆的左、右焦点,为平面上一点,若,则（    ）A．当为上一点时,的面积为9B．当为上一点时,的值可以为C．当满足条件的点均在内部时,则的离心率小于D．当点在的外部时,在上必存在点,使得【答案】ACD【分析】设,根据椭圆定义得,根据得,两式联立可得,根据直角三角形的面积公式即可得选项A的正误;将以上结论代入中可求得与矛盾,由于,所以点在以为直径的圆上,半径为,若点均在内部,只需,解出离心率范围即可,若点在外部,只需,此时该圆与椭圆一定有交点,在交点处满足,可得选项D正误.【详解】解:由题知,所以,因为为上一点,且,所以为直角三角形,设,在中,由勾股定理可得①,由椭圆定义可知:②,②式的平方减①式可得:,所以,故选项A正确;若,因为,所以,解得(舍),故不存在,即选项B错误;因为,则点在以为直径的圆上,所以该圆的圆心为原点,半径为,若均在内部时,则只需即可,即,即,化简可得,解得,故选项C正确;由于点在以为直径的圆上,且半径,当在的外部时有,所以该圆与椭圆一定有交点,记交点为,则该点既在圆上又在椭圆上,所以有成立,故选项D正确.故选:ACD1．（2023·河南开封·统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.  设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.2．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（    ）A．6 B．12 C． D．【答案】D【分析】设，先得到的值，再代入的余弦定理计算可得，再利用三角形的面积公式计算即可.【详解】对于椭圆有，设，则根据椭圆的定义得，又，解得，.故选：D.3．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设、为椭圆的两个焦点，M为C上一点．若为等腰三角形，则的内切圆半径为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】讨论M点的位置，结合椭圆的几何性质求出的面积，利用（r为三角形内切圆半径，l为三角形周长），即可求得答案.【详解】由题意知椭圆，则其长半轴，短半轴，焦距，当M点位于椭圆的短轴端点时，不妨设为A点， 此时的面积为 ，设内切圆半径为r,则,即；(三角形内切圆半径公式的推导：)当M点不在椭圆短轴端点时，根据椭圆的对称性，不妨假设在第一象限内，此时,此时，由为等腰三角形，可知,则，的面积为，则,即，综合可得的内切圆半径为或，故选：D4．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．【答案】/【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案.【详解】因为，，所以，若，因为，则可得，由余弦定理可得，所以，则.故答案为：.  考点三、双曲线的焦点三角形面积问题1．（全国·高考真题）设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】D【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，即得.【详解】设，，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，，，，，，的面积为.故选：D【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.2．（全国·高考真题）已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【详解】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．3．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ）A．24 B． C． D．30【答案】A【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积【详解】由，可得又是是双曲线上的一点，则，则，，又则，则则的面积等于故选：A1．（2023·全国·高三专题练习）设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.【详解】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.故选：B.2．（辽宁·高考真题）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由已知可得又是直角三角形,故选B．考点：双曲线标准方程及其性质．3．（全国·高考真题）双曲线的两个焦点为、，点在该双曲线上，且，则点到轴的距离为 ．【答案】/3.2【分析】根据双曲线的定义和勾股定理以及面积公式求解.【详解】由双曲线的定义得，平方得，又因为，所以由勾股定理得，代入解得，因为,所以，所以点到轴的距离为，故答案为: .考点四、椭圆、双曲线的焦点三角形离心率问题1．（全国·高考真题）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.2．（安徽·高考真题）已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率.【详解】由已知，得，则,又在椭圆中通径的长度为，，故,即,解得故选：C3．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.4．（河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先设，由题意知△是直角三角形，利用且恰好为正三角形，求出、，根据双曲线的定义求得，之间的关系，则双曲线的离心率可得．【详解】解：连接， 设，则由题意可得是直角三角形，由恰好为正三角形得，，∴，∴，，．故选：C．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质．考查数形结合的思想的运用，属于基础题．1．（全国·高考真题）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为A． B．C． D．2【答案】A【详解】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.2．（福建·高考真题）设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，则曲线r的离心率等于A． B．或2 C．2 D．【答案】A【详解】试题分析：根据题意可设出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况，分别利用定义表示出a和c，则离心率可得．解：依题意设|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲线为椭圆则2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t则e==，若曲线为双曲线则，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故选A点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．关键是利用圆锥曲线的定义来解决．3．（福建·高考真题）设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】设，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出的值，再利用离心率公式可得结果.【详解】因为，所以可设，若曲线为椭圆则，则；若曲线为双曲线则，，∴，故选.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．4．（湖北·高考真题）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A． B． C．3 D．2【答案】A【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆和双曲线的定义可知，设，椭圆和双曲线的离心率分别为由余弦定理可得，①在椭圆中，①化简为即即在双曲线中，①化简为即即③联立②③得，由柯西不等式得即（即，当且仅当时取等号，故选A考点：椭圆，双曲线的简单性质，余弦定理考点五、椭圆的焦点弦三角形周长问题1．（2023·全国·高三专题练习）已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义得，结合椭圆方程，即可知△的周长.【详解】由椭圆方程知：，又，，∴△的周长为，故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.【详解】由.因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，所以，因此的周长为，故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则 .【答案】10【分析】根据椭圆的定义可得，结合题意即可求解.【详解】因为，，，两式相加得.又，所以.故答案为：10.1．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点作倾斜角为直线l交椭圆C于A､B两点，是左焦点，则的周长为（    ）A．10 B．16 C．20 D．与有关【答案】C【分析】结合椭圆第一定义直接求解.【详解】由题知，的周长为.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满足P，Q，三点共线，则的周长为（    ）A．2a B．2b C．4a D．4b【答案】C【分析】根据给定条件，利用椭圆定义直接求解作答.【详解】椭圆的两个焦点为，，显然椭圆的弦PQ经过点，由椭圆的定义得，的周长.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（    ）A．12 B． C．16 D．10【答案】C【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，  则的周长为，故选：C.考点六、椭圆的焦点弦三角形面积问题1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，则的面积等于（    ）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【分析】四边形是矩形，设，，由椭圆的定义及勾股定理可求得，则的面积是，又的面积与的面积相等，即可得出答案.【详解】据题意，四边形是矩形，设，，则有，，由此可得，所以的面积是，又的面积与的面积相等，所以的面积等于9.故选：C．2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（    ）A．椭圆的离心率 B．的周长为12C．的面积为 D．为等边三角形【答案】ABD【分析】根据椭圆方程，求得a，b，c，再逐项求解判断.【详解】因为椭圆：，所以，则，故A正确； 的周长为，故B正确；的面积为，故C错误；，所以为等边三角形，故D正确；故选ABD1．（2023·全国·高三专题练习）设P为椭圆C：上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为（    ）A．24 B．12 C．8 D．6【答案】C【分析】根据条件计算出，可以判断△PF1F2是直角三角形，即可计算出△PF1F2的面积，由△PF1F2的重心为点G可知△PF1F2的面积是△GPF1的面积的3倍，即可求解.【详解】∵P为椭圆C：上一点，，，，又，∴易知△PF1F2是直角三角形，，∵△PF1F2的重心为点G，∴，∴△GPF1的面积为8.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积问题，属于基础题.考点七、双曲线的焦点弦三角形周长问题1．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .【答案】24【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.【详解】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为.故答案为：242．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】利用双曲线的定义求解.【详解】解：因为双曲线，所以a=1，由双曲线的定义得：，两式相加得 ，又因为的周长为8，即 ，两式相减得 ，故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，的周长为10，则双曲线C的焦距为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的定义和三角形的周长解得m的值，再由余弦定理列式可得结果.【详解】设，，， 由双曲线的定义知：，∴，a=m，∴有，解得，∵在和中，，∴由余弦定理得，解得，可得双曲线的焦距为．故选：C.4．（2023秋·云南曲靖·高三宣威市第三中学校考开学考试）过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P､Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .【答案】12【分析】根据双曲线的定义，求得，即可求得的周长.【详解】根据题意，作图如下：由双曲线定义可知：，，故，故的周长为.故答案为：12.1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义求|AF2|＋|BF2|，由此可求△ABF2的周长.【详解】解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴ |AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴ |AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴ △ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）如果分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上过点的弦，且，则的周长是 【答案】28【分析】本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，可用定义处理，由定义知①，②，两式相加再结合已知即可求解.【详解】解：由题意知：，故.由双曲线的定义知①，②，①＋②得：，所以，所以的周长是.故答案为：28.【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题，一般用定义处理.3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若的周长为20，则线段AB的长为 ．【答案】6【分析】利用双曲线的定义，即可求解.【详解】,，,易得双曲线的实轴长焦距.因为都在右支上，则，的周长,.故答案为：6考点八、双曲线的焦点弦三角形面积问题1．（2023·全国·高三专题练习）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则C的离心率为 ，的面积为 【答案】 【分析】设，根据双曲线的定义及条件可得，，进而即得.【详解】∵为正三角形，设，则，，又双曲线，∴，，离心率，∴， 故的面积为.故答案为：；.1．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】由题意，结合图形的对称性可得四边形为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定理求解即可.【详解】如图，若在第一象限，因为，所以，由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以，又因为，所以，，在中，，解得．  故选：B考点九、抛物线的焦点弦三角形面积问题1．（全国·高考真题）设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得： ，设A、B ，则所求三角形的面积为= ，故选D. 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.2．（2023·河南商丘·阶段练习）设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线与该抛物线交于两点，且为坐标原点，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得直线方程，设，将直线与曲线联立，根据韦达定理，求得 ，，的表达式，根据，根据数量积的坐标公式，化简计算，可求得p值，进而可得线段，根据点到直线距离公式，可求得原点O到直线的距离d，代入面积公式，即可求得答案.【详解】由题意得焦点坐标为，则直线的方程为，设， 直线与曲线联立，可得，，，又，解得，又，所以，所以，直线方程为，即，所以原点O到直线的距离，所以的面积.故选：A.【点睛】解题的关键是将直线与曲线联立，根据韦达定理，求得 ，表达式，再结合数量积公式，即可求得p值，进而可求得弦长、面积等问题，考查计算求值的能力，属中档题.3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知过抛物线的焦点的直线交于，两点，为坐标原点，若的面积为4，则下列说法正确的是（    ）A．弦的中点坐标为B．直线的倾斜角为30°或150°C．D．【答案】BCD【分析】设直线的方程为，联立，消去并整理得,利用中点坐标公式判断A；利用面积公式以及斜率与倾斜角的关系判断B；利用焦半径公式判断C；转化为求解【详解】斜率为零时不合题意，所以可设直线的方程为，联立，消去并整理得，则，，又， 所以，解得，所以直线的倾斜角为30°或150°，正确；，C正确弦的中点坐标为，即，A错误；，D正确故选:BCD1．（2023·黑龙江校考期末）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为（    ）A． B． C． D．4【答案】C【解析】先求得过F的直线方程为：，与抛物线联立，利用韦达定理，求得，的值，代入面积公式，即可求得答案.【详解】因为抛物线C：y2＝4x，所以焦点，所以过F的直线方程为：，设，联立方程得：，所以，所以，故选：C【点睛】在处理抛物线问题时，常设直线的形式，与抛物线联立时，可大大简化计算，提高正确率，属基础题.2．（2023·全国·高三专题练习）设为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为 【答案】【解析】先由抛物线方程，得到，得出直线的方程，由抛物线的焦点弦公式求出弦长，再由点到直线距离公式，即可得出结果.【详解】因为为抛物线：的焦点，所以，又直线过点且倾斜角为，则直线的方程为：，即，设，，由消去可得，整理得，所以，因此又点到直线的距离为，所以的面积为.故答案为：.【点睛】思路点睛：求抛物线中三角形面积的一般步骤：（1）设直线与抛物线交点坐标，联立直线与抛物线方程；（2）根据抛物线的弦长公式求弦长，根据点到直线距离公式求距离；（3）根据三角形面积公式，即可得出结果.3．（2022·山西·高三校联考期末）设F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理及由得到的，求出直线的斜率，即可求解三角形的面积.【详解】由已知得焦点坐标为，由题意可知直线的斜率存在且不为0，因此设直线的方程为，，与抛物线的方程联立，化简得，设，则因为，故，则，解得，因此.故选：D.【能力提升】一、单选题1．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知，分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，则内切圆半径的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由椭圆定义得到，从而利用面积列出方程，得到，求出的内切圆半径的最大值.【详解】设内切圆的半径为，由题意得：，，，故，因为为椭圆上的一点，故，所以，又，则，所以．故选：C2．（2023·全国·模拟预测）已知点，椭圆的右焦点为，点为椭圆上的动点，若周长的最大值为14，则的标准方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的定义，结合两点间距离公式、两点间线段最短进行求解即可.【详解】设椭圆的左焦点为，则，的周长为，所以，则，所以椭圆的标准方程为，故选：D3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过与交于，两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆定义以及焦点三角形即可中中由求解.【详解】由为直角三角形，且，，成等差数列，可知不是最长的边，故为直角边，结合椭圆的对称性，不妨设,由椭圆的定义可知的周长为，又，所以，进而可得，由，故，，在中，，所以，故选：B4．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）设为双曲线的焦点，过作倾斜角为的直线与该抛物线交于，两点，且，为坐标原点，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线AB的方程为，与抛物线方程y2＝2px联立，得，设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2，0），利用韦达定理以及向量的数量积求解p，求出直线方程以及抛物线方程，求出|AB|，结合点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积．|【详解】由题得，直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，，则，，由，得，解得，此时直线的方程为，抛物线的方程为，联立解得，，因此，因此原点到直线的距离等于，所以.故选：A.5．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】可设，求得，运用勾股定理，可得的周长，结合，，的关系，可得，可得最大值，即可求得双曲线的离心率．【详解】设，由代入双曲线的方程可得，则有，，，，，由题意可得，结合，上式化简可得，当时，取得最大值4，，，，双曲线离心率．故选：A．6．（2023春·河南·高三阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（    ）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】根据离心率求解，即可由焦点三角形求解周长.【详解】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.故选：C  7．（2023·山西吕梁·统考二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，，且的面积为，则的离心率是（    ）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】由题意，结合图形的对称性可得四边形为矩形，再根据双曲线的定义利用勾股定理求解即可.【详解】如图，若在第一象限，因为，所以，由图形的对称性知四边形为矩形，因为的面积为，所以，又因为，所以，，在中，，解得．  故选：B8．（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（    ）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出，再求出等腰三角形的面积作答.【详解】椭圆中，，由及椭圆定义得，  因此为等腰三角形，底边上的高，所以的面积为.故选：D9．（2023春·海南海口·高三统考期中）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（    ）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为，故选：B10．（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（    ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的方程可得的关系，结合的周长，列方程求解，即得答案.【详解】设椭圆的焦距为，则，的周长为，解得，故选：D11．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）已知抛物线，过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，且A在x轴上方，D是抛物线准线上的一点，AD平行于x轴，O为坐标原点，若，则直线l的倾斜角为（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】设直线的方程为，设点，则点，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算直线和的斜率得知，三点共线，再由已知条件得出，代入韦达定理可得出的值，从而求出直线的斜率.【详解】解：设点，则点，抛物线的焦点为，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，得，由韦达定理得，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，三点共线，，则，所以，，则，得，，结合图形可知，直线的斜率为正数，所以，，因此，直线的斜率为,倾斜角为.故选：B.12．（2022秋·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）已知抛物线的准线为：，为坐标原点，过焦点的直线交抛物线于、两点，过作的垂线，垂足分别为，若，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件写出抛物线方程，借助抛物线定义及已知求出直线AB方程，联立直线AB与抛物线方程，求出A，B的纵坐标即可作答.【详解】依题意，，即，抛物线方程为：，焦点,如图，过点B作直线BM//l交AC于M，由抛物线定义知：，显然四边形BMCD是矩形，则，而，则，于是得直线AB的斜率，直线AB方程，由消去x得：，解得，，于是得点A，B纵坐标分别为，，则，从而得，而点O到直线l的距离为h=1，所以的面积为.故选：D13．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】  如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则设△内切圆的半径为，则，∴不妨设，则，∴，因为椭圆的离心率为，∴，故选：A.二、多选题14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（    ）A．的周长与点的位置无关B．当时，的面积取到最大值C．的外接圆半径最小为D．的内切圆半径最大为【答案】ACD【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.【详解】由椭圆定义知，的周长为，故A正确；显然当位于短轴端点时的面积最大，由知此时，故B错误；由正弦定理知外接圆直径，由知最大为钝角，故时取最小值，故的最小值为，故C正确；设内切圆半径为，由知，越大则越大，，故，故选：ACD15．（2023·全国·模拟预测）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的动点，则（    ）A．的离心率为 B．C．的周长为12 D．的面积的最大值为【答案】ABC【分析】对A，直接求出离心率即可，对B利用的大小关系及直径所对圆周角为直角的结论即可判断，对C，根据椭圆的定义即可判断，对D，根据面积最大时，为椭圆的短轴端点，代入计算即可.【详解】A选项：依题意，，，，所以的离心率，A正确.B选项：因为，所以以为直径的圆在的内部，故，B正确.C选项：根据椭圆的定义得的周长为，C正确.D选项：设为坐标原点，连接，易知当时，的面积最大，最大值为，D错误.故选：ABC.16．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（    ）A． B．的面积等于C．直线的斜率为 D．的离心率等于【答案】ABD【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知，且满足，即可得A正确；易知可得B正确；在等腰直角三角形中，可知直线的斜率为，计算可得的离心率等于.【详解】由可知，不妨设，又，可得；利用椭圆定义可知，所以可得；即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：  由，可知满足，所以；即A正确；所以为等腰直角三角形，且，因此的面积为，即B正确；此时可得直线的斜率，所以C错误；在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确；故选：ABD三、填空题17．（2023·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为 ．【答案】【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，即可判断直线过左焦点，再根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：椭圆，所以，即、，直线过左焦点，所以，，，所以；故答案为：18．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）焦点在x轴上的椭圆焦距为8，两个焦点为，，弦AB过点，则的周长为 ．【答案】【分析】根据焦距和椭圆方程得到，然后利用椭圆定义求周长即可.【详解】因为焦距为8，所以，又焦点在轴的椭圆方程为，所以，则，根据椭圆定义得，所以的周长为.故答案为：.19．（2023秋·江西宜春·高三统考开学考试）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为 .【答案】【分析】设双曲线的左焦点为，连，可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义，三角形的面积和勾股定理列方程组可求出的关系，从而可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连，因为所以四边形为矩形.    不妨设点在双曲线的右支上，设，则由①得：所以，即，所以，所以离心率.故答案为：20．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为 【答案】/【分析】根据双曲线的定义以及直角三角形的性质求解即可；【详解】  依题意有所以，设又所以、在中，所以，故有：即解得：即在中，有即，所以故答案为：.21．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．【答案】/【分析】根据双曲线的定义，解得，然后根据的周长为10，解得各边长，最后根据余弦定理求解即可；【详解】  设，，，根据双曲线的定义可知：，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．故答案为：.22．（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线右支上一点，且满足，则的周长为 .【答案】/【分析】由离心率求出、，再由双曲线定义结合已知可得，从而求出的周长.【详解】由题意可得，，，，，为双曲线右支上一点，，又 ，，则的周长为．故答案为：．  23．（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为，则的离心率为 ．【答案】【分析】根据椭圆的对称性和推出，再根据面积以及椭圆的定义推出的关系式，可得离心率.【详解】因为点为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，即，  所以，由椭圆定义与勾股定理知：，所以，所以，所以，即C的离心率为．故答案为：24．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为 .【答案】【分析】由双曲线定义可以首先求出，然后由可以求出，最终由直角三角形内切圆半径公式即可求解.【详解】如图所示：  设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：熟练双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式，并合理转换已知条件是解题的关键.25．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，则当最大时，的面积为 .【答案】/【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出，结合余弦定理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，，连接PM，PN，则，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大此时又因，可得在中，由余弦定理可得，，即，解得，故答案为：.  【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2022年全国甲卷（理科），第12题,5分椭圆定义及辨析椭圆中焦点三角形的面积问题无2022年全国甲卷（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题无2022年新I卷，第16题,5分椭圆中焦点三角形的周长问题求椭圆的标准方程