广东省广州市番禺区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（原卷版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如果2是关于x的一元二次方程x2﹣k＝0的一个根，则k的值是（ ）
A. 2B. 4C. ﹣2D. ±2
【答案】B
【解析】
【分析】把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合；由此问题可求解．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
3. 如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位，
抛物线的解析式为，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握向下平移个单位长度纵坐标要减．
4. 用配方法转化方程时，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．
【详解】解：
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．
5. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 购买1张体育彩票中奖
B. 从地面发射1枚导弹，未击中空中目标
C. 汽车累积行驶10000km，从未出现故障
D. 从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的定义判断即可．
【详解】解：A．购买1张体育彩票中奖，这随机事件，故不符合题意；
B．从地面发射1枚导弹，未击中空中目标，这是随机事件，故不符合题意；
C．汽车累积行驶，从未出现故障，这是随机事件，故不符合题意；
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，这是不可能事件，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解题的关键是熟练掌握必然事件，随机事件，不可能事件的定义．
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝110°，则∠A的度数为（ ）
A. 65°B. 55°C. 70°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】由是的外接圆，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数．
【详解】解：是的外接圆，，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
7. 一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元设两次降价的百分率都为x，则x满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可．
【详解】第一次降价后的价格为：25×(1-x)；
第二次降价后的价格为：25×(1-x)2；
∵两次降价后的价格为16元，
∴25(1-x)2=16．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8. 一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能结果与两次摸出的小球标号和为5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次摸出的小球标号和为5的有2种情况，
∴两次摸出的小球标号和为5的概率是：．
故选C．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（ ）
A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，由外角的性质可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到的△，
，，，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
10. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，点B在⊙D内，那么r的取值范围是（ ）
A. 4＜r＜5B. 3＜r＜4C. 3＜r＜5D. 1＜r＜7
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．
【详解】解：在中，°，，，
．
，，
．
以点为圆心作，其半径长为，要使点恰在外，点在内，
的范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 一元二次方程的解是__．
【答案】x1＝3，x2＝﹣3．
【解析】
【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．
【详解】∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.
12. 抛物线y＝2（x﹣3）2＋7的顶点坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的顶点式．
13. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，则∠P的度数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理得等腰，运用内角和定理求解即可．
【详解】解：根据切线的性质定理得，
．
根据切线长定理得，
所以，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题综合运用了切线的性质定理和切线长定理的应用，解题的关键是主要考查学生的推理和计算能力．
14. 已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于原点对称，则a+b =________．
【答案】-6
【解析】
【详解】解：点A（a，1）与点A′（5，b）是关于原点对称，
所以a＝－5，b＝－1，
所以a＋b＝(－5)＋(－1)=－6，
故答案为－6．
15. 圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据底面半径和圆锥的高利用勾股定理求母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【详解】解：圆锥的高为4，底面圆的半径为3
母线长为5
圆锥侧面积为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握侧面积公式：及求出母线长．
16. 如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 .

【答案】-1＜a≤1
【解析】
【详解】试题解析：二次函数的对称轴为直线x=-=1，
∵-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，
∴a≤1．
∵-1＜x＜a
∴-1＜a≤1
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．
【答案】8
【解析】
【分析】连接，由垂径定理知，再由勾股定理得出，从而得出的长．
【详解】解：连接，如图所示：
为的直径，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】首先根据判别式判断方程实数根的个数，然后用求根公式求解即可．
【详解】由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练记忆求根公式是本题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A，B，C坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并求出点A1经过的路径长．
【答案】（1）画图见解析，B1(4,-1)
（2）
【解析】
【分析】（1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据弧长公式列式计算即可得解．
【小问1详解】
解：如图，；
【小问2详解】
解：如上图，走过的路径长：．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用旋转变换作图，以及弧长的计算，解题的关键是熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置．
20 已知二次函数y＝x2﹣4x＋3
（1）在坐标系中画出函数图象，并求它与x轴的交点坐标；
（2）自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？
【答案】（1）图象见解析，与轴的交点的坐标为，
（2）当时，随的增大而增大
【解析】
【分析】（1）顶点坐标为，与轴的交点的坐标为，以及抛物线与轴的交点和其关于对称轴的对称点，然后用五点法画出函数图象；
（2）由图象可得当时，随的增大而增大．
【小问1详解】
解：由，
顶点坐标为，
令，则，
解得，，
与轴的交点的坐标为，，
令，则，
二次函数的图象与轴的交点为，
抛物线对称轴为直线，
关于对称的点也在抛物线上，
用五点法画出函数的图象，
【小问2详解】
解：由（1）中的函数图象知，当时，随的增大而增大．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是找到顶点及对称轴，根据对称轴取点是解题的关键一步．
21. 关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）m＞-；（2）x1=0，x2=-3．
【解析】
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ==4m+5＞0，
解得：m＞；
（2）m=1，此时原方程为+3x=0，
即x（x+3）=0，
解得：=0，=﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算．
22. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．
（1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式；
（2）当水面下降1米时，水面宽度增加了多少米？
【答案】（1）
（2）当水面下降1米时，水面宽度增加了米
【解析】
【分析】（1）根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式；
（2）再根据通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【小问1详解】
解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意可得：顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
把点坐标代入得出：，
所以抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：当水面下降1米，
即当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
，
解得：，
所以水面宽度增加到米，
答：当水面下降1米时，水面宽度增加了米．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式．
23. 在“阳光体育”活动时间，小英、小丽、小敏、小洁四位同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中小丽同学的概率；
（2）用画树状图或列表的方法，求恰好选中小敏、小洁两位同学进行比赛的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中小敏、小洁两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：（1）若已确定小英打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，共有3种情况，而选中小丽的情况只有一种，所以P（恰好选中小丽）=；
（2）列表如下：
所有可能出现的情况有12种，其中恰好选中小敏、小洁两位同学组合的情况有两种，所以P（小敏，小洁）==．
【点睛】本题考查列表法与树状图法．
24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠DBC；
（2）证明：点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上；
（3）若AB＝5，BC＝8，求△ABC内心与外心之间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，可得，再由平分，得，从而证明结论；
（2）由，得，再根据，，得，从而有，即可证明；
（3）由题意知为内心，为外心，设，，则，可求出的长，再根据勾股定理求出的长，而，从而得出答案．
【小问1详解】
解：证明：平分，
，
又，
；
【小问2详解】
解：证明：，平分，
，
连接，
，
平分，
，
，，
，
，
，
点、、在以点为圆心的同一个圆上；
【小问3详解】
解：如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，设，，
则，
即，
解得：，
即，
为直径，
，
在中，
，
，
，
为角平分线的交点，
为内心，
为内心与外心之间的距离，
内心与外心之间的距离为．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，三角形的内心和外心的性质，圆的定义，勾股定理等知识，解题的关键是利用（2）中证明结论是解决问题（3）的关键．
25. 在平面直角坐标系xy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且经过点A（0，）．
（1）求的值；
（2）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E（x1，0），F（x2，0）．
①求b的值（用含a的代数式表示）；
②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；
（3）若a＝，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值．
【答案】（1）
（2）①，②
（3）的值为1或
【解析】
【分析】（1）把代入解析式即可求出；
（2）①已得由点坐标可求得，再把点坐标代入可求得与的关系式，可求得答案；②用可表示出抛物线解析式，令可得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可用表示出2的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时的值，可求得抛物线解析式；
（3）可用表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为，由题意可得出当、或时，抛物线上的点可能离轴最远，可分别求得其函数值，得到关于的方程，可求得的值．
【小问1详解】
解：抛物线的开口向上，且经过点，
，
【小问2详解】
解：①，
抛物线经过点，
，
，
故答案为：；
②由①可得抛物线解析式为，
令可得，
△，
方程有两个不相等的实数根，设为、，
，，
，
当时，有最小值．
抛物线解析式为；
【小问3详解】
解：当时，抛物线解析式为，
抛物线对称轴为，
只有当、或时，抛物线上的点才有可能离轴最远，
当时，，当时，，当时，，
①当时，或，且顶点不在范围内，满足条件；
②当时，，对称轴为直线，不在范围内，故不符合题意，
综上可知：的值为1或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值、分类讨论思想等知识．在（1）中注意利用待定系数法的应用，在（2）②中用表示出是解题的关键，注意一元二次方程根与系数的关系的应用，在（3）中确定出抛物线上离轴距离可能最远的点是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．