中考数学一轮复习核心考点精讲精练专题10 一元二次方程（2份打包，原卷版+解析版）

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专题10 一元二次方程一、解一元二次方程【核心考点精讲】1．用“配方法”解一元二次方程（1）把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；（5）如果右边是非负数，可以通过直接开平方法求解；如果右边是负数，则判定此方程无实数解。2．用“因式分解法”解一元二次方程（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。3．用“换元法”解一元二次方程（1）把方程中某个含有未知数的式子看成一个整体，用另一个未知数去替换它，从而将原方程转化成关于新未知数的方程，这种方法叫做“换元法”。（2）“换元法”关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题转移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化。【热点题型精练】1．（2022•甘肃中考）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　）A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝62．（2022•聊城中考）用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）A． B． C．2 D．3．（2022•天津中考）方程x2+4x+3＝0的两个根为（　　）A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣34．（2022•包头中考）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则x1•x22的值为（　　）A．3或﹣9 B．﹣3或9 C．3或﹣6 D．﹣3或65．（2022•天津模拟）已知（a2+b2）2﹣8（a2+b2）﹣48＝0，则a2+b2的值为（　　）A．12 B．4 C．﹣4 D．12或﹣46．（2022•荆州中考）一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　   　．7．（2022•梧州中考）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　   　．8．（2022•齐齐哈尔中考）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．9．（2022•凉山州中考）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．10．（2021•浙江中考）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：小敏：两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，则x＝6．小霞：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．二、高次方程和无理方程【核心考点精讲】1．高次方程（1）一般地，最高次项的次数高于2次的方程，叫做高次方程。（2）高次方程的解法通过适当方法把高次方程转化为次数较低的方程求解。所以，解高次方程一般要降次，将高次方程转化成二次方程或一次方程。2．无理方程（1）方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。（2）解无理方程关键是去根号，将其转化为整式方程。（3）常用方法：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法。注意：用乘方法解无理方程，通常会产生增根，应当注意验根。【热点题型精练】11．（2022•随州模拟）对于x3﹣（n2+1）x+n＝0这类特殊的三次方程可以这样来解．先将方程的左边分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1），这样原方程就可变为（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是原方程的解．据此，显然x3﹣5x+2＝0有一个解为x1＝2，设它的另两个解为x2，x3，则式子x2x3﹣x2﹣x3的值为（　　）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．712．（2022•扬州模拟）已知x1、x2、x3为方程x3+3x2﹣9x﹣4＝0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（　　）A．x1x2x3＜0 B．x1+x2﹣x3＞0 C．x1﹣x2﹣x3＞0 D．x1+x2+x3＜013．（2022•金华模拟）用换元法解方程（x2﹣x）6时，设y，那么原方程可化为（　　）A．y2+y﹣6＝0 B．y2+y+6＝0 C．y2﹣y﹣6＝0 D．y2﹣y+6＝014．（2022•临沂模拟）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”．已知：x2+x﹣1＝0，且x＞0．则x4﹣2x3+3x的值为 　   　．15．（2022•郑州模拟）解方程：，x＝　   　．16．（2022•成都模拟）先阅读理解下面的例题，再解答问题：例：解一元三次方程x3﹣x＝0∵x（x2﹣1）＝0即x（x+1）（x﹣1）＝0由“几个数相乘，有一个因数为零，积就为零”，得x＝0或x+1＝0或x﹣1＝0∴x1＝0x2＝﹣1x3＝1根据以上解答过程，请你完成下列两个一元三次方程的解答：（1）解一元三次方程x3﹣2x2﹣x+2＝0；（2）解一元三次方程x3﹣6x2+11x﹣6＝0．17．（2022•衢州模拟）解方程：x﹣3．三、根的判别式及根与次数关系【核心考点精讲】1．根的判别式一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式（△＝b2﹣4ac）有如下关系：（1）当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；反过来，当方程有两个不相等的两个实数根时，△＞0。（2）当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；反过来，当方程有两个相等的两个实数根时，△＝0。（3）当△＜0时，方程无实数根；反过来，当方程无实数根时，△＜0。2．根与系数的关系（1）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，那么x1+x2＝，x1x2＝（2）根与系数的关系可以解决以下问题①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数。②求关于根的式子的值，例如求x12+x22。③判断两根的符号；④由两根满足的条件，确定字母的取值。【热点题型精练】18．（2022•郴州中考）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根19．（2022•淮安中考）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．120．（2022•营口中考）关于x的一元二次方程x2+4x﹣m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围为（　　）A．m＜4 B．m＞﹣4 C．m≤4 D．m≥﹣421．（2022•乐山中考）关于x的一元二次方程3x2﹣2x+m＝0有两根，其中一根为x＝1，则这两根之积为（　　）A． B． C．1 D．22．（2022•呼和浩特中考）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）A．4045 B．4044 C．2022 D．123．（2022•扬州中考）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+　   　＝0有两个不相等的实数根．24．（2022•上海中考）已知x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　   　．25．（2022•日照中考）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22，则m＝　   　．26．（2022•内江中考）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x12+2x2﹣1，则k的值为 　   　．27．（2022•十堰中考）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．28．（2022•南充中考）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．四、由实际问题抽象出一元二次方程【核心考点精讲】在解决实际问题时，要明确已知和未知，找出相等关系，设出未知数，用方程表示已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程。【热点题型精练】29．（2022•重庆中考）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625 C．625x2＝400 D．400x2＝62530．（2022•泉州模拟）小张的书法作品荣获学校书法比赛一等奖．作品尺寸如图所示：书法作品长5尺，宽3尺；将书法作品贴在一张矩形装裱纸的正中央，书法作品四周外露装裱纸的宽度相同；矩形装裱纸的面积为书法作品面积的2倍．设书法作品四周外露装裱纸的宽度为x尺，下面所列方程正确的是（　　）A．（5+2x）（3+2x）＝2×5×3 B．（5+x）（3+x）＝2×5×3 C．2（5+2x）（3+2x）＝5×3 D．（5+2x）（3+2x）＝5×331．（2022•泰安中考）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）A．3（x﹣1）x＝6210 B．3（x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3x＝621032．（2022•青海中考）如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 　   　．33．（2022•通辽模拟）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 　   　．34．（2022•株洲模拟）《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文为：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是多少步？”若设矩形田地的宽是x步，则可列方程为 　   　．五、一元二次方程的应用【核心考点精讲】1．数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a。2．增长率问题：，若原总量为a，增长率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长率）2＝后来数；3．形积问题（1）利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长。（2）利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。（3）利用相似三角形的对应比例关系列比例式，通过两内项之积等于两外项之积得到一元二次方程。【热点题型精练】35．（2022•南通中考）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（　　）A．10.5% B．10% C．20% D．21%36．（2022•黑龙江中考）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　）A．8 B．10 C．7 D．937．（2022•天津模拟）如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）若该无盖盒子的底面积为900cm2，盒子的容积是（　　）A．3600cm3 B．4000cm3 C．4500cm3 D．9000cm338．（2022•铜仁模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价　   　元时，商场日盈利可达到2100元．39．（2022•德州中考）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．（1）若扩充后的矩形绿地面积为800m，求新的矩形绿地的长与宽；（2）扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5：3．求新的矩形绿地面积．40．（2022•宜昌中考）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？