山西省晋中市平遥县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

2023—2024学年度第一学期阶段性练习（一）

九年级数学

（满分120分，练习时间120分钟）

第Ⅰ卷（选择题）30分

一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A．x（x＋3）＝0 B．x2－4y＝0

C． D．ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数）

2．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形是正方形的是（    ）

A． B． C． D．

3．某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛

A．6 B．5 C．4 D．3

4．下列用配方法解方程的四个步骤中，出现错误的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ）

A．6 B．12 C．24 D．48

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BAD＝110°，则∠OBC的度数为（    ）

A．30° B．35° C．55° D．70°

7．一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．无实数根

8．如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度称为矩形的“接近度”，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为，若∠BOC＝60°时，则矩形的“接近度”为（    ）

 B．3

9．如图，某小区计划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的小路，竖直的与AB平行，水平的与AD平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为112m2，设小路宽xm，则x满足的方程为（    ）

A．x2－17x－16＝0 B．x2－17x＋16＝0 C．x2＋17x－16＝0 D．x2＋17x＋16＝0

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分△AFC的面积为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

第Ⅱ卷（非选择题）90分

二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）

11．方程x2－5x＝0的解是______．

12．若把代数式x2－4x－5化成（x－m）2＋k的形式，其中m，k为常数，则m＋k＝______．

13．如图矩形ABCD在平面直角坐标系中，若顶点A、B、D在坐标轴上，AB＝6，∠ABD＝60°，则点D的坐标______．

14．某药品原价每盒100元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒64元，则该药品平均每次降价的百分率是______．

15．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP于点E．连接EC，若CE＝CD，则线段DE的长度是______．

三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（每题4分，共8分）选择适当的方法解方程：

（1）x2＋8x＋4＝0 （2）（2x＋1）2－4x－2＝0

17．（共8分）小敏与小霞两位同学解方程3（x－3）＝（x－3）2的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

18．（共8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，．试判断四边形OCED的形状并证明．

19．（共9分）平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶，设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．

（1）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是______；

（2）若售价为每顶50元，求每周的销售利润；

（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？

20．（共9分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：BD＝CD；

（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；

（3）当△ABC满足______时，四边形AFBD为正方形（直接写出）．

21．（共8分）阅读材料，解答问题：

解方程：（4x－1）2－10（4x－1）＋24＝0．

解：把4x－1视为一个整体，设4x－1＝y，

则原方程可化为y2－10y＋24＝0．

解得y1＝6，y2＝4．

∴4x－1＝6或4x－1＝4．

∴，

以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．

请仿照材料解下列方程：

（1）（3x－5）2＋4（3x－5）＋3＝0．

（2）x⁴－x2－6＝0．

22．（共12分）在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC．

结合小敏的思路作答：

（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决问题；

     图1                     图2

（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．

①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．

23．（本题13分）综合与探究

已知四边形ABCD和AEFG均为正方形．

         图1                           图2

（1）观察猜想：如图1所示，当点A、B、G三点在一条直线上时，连接BE、DG，则线段BE与DG的数量关系是______，位置关系是______．

（2）类比探究：如图2所示，将正方形AEFG在平面内绕点A逆时针旋转到图2时，则（1）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将正方形AEFG在平面内绕点A任意旋转，若AE＝2，AB＝5，则BE的最大值和最小值分别是多少．

九年级数学答案：北师大

一、1、A  2、B  3、A  4、D  5、C  6、B  7、B  8、B  9、B  10、C 

二、11、x1=0，x2=5  12、  13、（9，0）  14、20%  15、

三、16、（1）x2＋8x＋4＝0，x2＋8x＝－4，x2＋8x＋16＝－4＋16，即（x＋4）2＝12，

∴x＋4＝±2，∴x1＝－4＋2，x2＝－4－2

（2）（2x＋1）2－4x－2＝0，（2x＋1）2－2（2x＋1）＝0，（2x＋1）（2x＋1－2）＝0，

∴2x＋1＝0或2x－1＝0，，。

17．解：小敏：× 

小霞：×．

正确的解答方法：移项，得3（x－3）－（x－3）2＝0，

提取公因式，得（x－3）（3－x＋3）＝0．

则x－3＝0或3－x＋3＝0，

解得x1＝3，x2＝6．

18．解：四边形OCED是菱形，证明如下：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

又∵在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形OCED是菱形

19．解：（1）根据题意得：y＝100＋40×＝100＋20x．故答案为：y＝100＋20x；

（2）根据题意得：（50－40）[100＋20×（68－50）]＝10×[100＋20×18]＝10×[100＋360]

＝10×460＝4600（元）．答：每周的销售利润为4600元；

（3）根据题意得：（68－x－40）（100＋20x）＝4000，

整理得：x2－23x＋60＝0，解得：x1＝3，x2＝20，

当x＝3时，68－x＝68－3＝65＞58，不符合题意，舍去；

当x＝20时，68－x＝68－20＝48＜58，符合题意．

答：每顶头盔应降价20元．

20．（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECD．∵E是AD的中点，∴DE＝AE，

在△AEF与△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，

∵AF＝BD，∴BD＝CD；

（2）解：四边形AFBD为矩形，证明如下：∵AF＝BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD为平行四边形，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，

∴∠BDA＝90°，∴四边形AFBD为矩形；

（3）解：AB＝AC，且∠BAC＝90°；理由如下：∵AB＝AC，且∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝45°，∵AD⊥BC，∴∠BAD＝45°，∴AD＝DB，

∴四边形AFBD为正方形．：AB＝AC，且∠BAC＝90°．

21、（1）解：，把看做一个整体，设，

则原方程可化为，解得，，∴或者，∴，。

（2）解：，把x2看做整体，设，则原方程可化为，

解得y1=3，，∴，。

22、（1）是平行四边形．理由如下：如图2，连接AC，

∵E是AB的中点，F是BC的中点，

∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，

∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）①AC=BD．

理由如下：由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，

∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形；

②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．

23、解：如图1，延长BE交DG于H，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，

∴△ABE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG，∠ABE=∠ADG，

∵∠ADG＋∠DGA=90°，

∴∠ABE＋∠DGA=90°，

∴∠GHB=90°，

∴BE⊥DG，

：BE=DG，BE⊥DG；

（2）解：（1）中的结论仍然成立，

理由如下：设BE交AD于O，DG于N，

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG，

在△ABE和△DAG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG；∠ABE=∠ADG，

∵∠ABE＋∠AOB=90°，

∴∠ADG＋∠AOB=∠ADG＋∠DON=90°，

∴∠DNO=90°，

∴BE⊥DG；

（3）7，3．