中考数学二次函数综合专项练习

这是一份中考数学二次函数综合专项练习，共100页。试卷主要包含了其中正确的结论有，函数的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
中考数学二次函数综合
一．选择题（共15小题）
1．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：



0
1

0
4
6
6
下列结论不正确的是　　
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
2．二次函数，，为常数，中，与的部分对应值如表：



0
1
2
4




0.5
1
0.5


有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②；
③若满足，则或；
④若方程有两个不等的实数根则；
其中正确结论的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知二次函数的与的部分对应值如下表：


0
1
3


1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


4．在二次函数，与的部分对应值如下表：



0
2
3



8
0
0
3

则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随的增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是　　
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③关于的方程没有实数根．其中正确的结论有　　

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是　　

A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
7．已知二次函数的与的部分对应值如表：


0
2
3
4

5
0


0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若，，，是抛物线上两点，则，其中正确的个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
8．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为　　
A． B． C． D．
9．已知抛物线与轴交于、两点，下列说法正确的是　　
A．若点、在抛物线上，则
B．
C．函数有最小值
D．若抛物线过四个象限，则
10．函数的图象可能是　　
A．B． C． D．
11．如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是　　
A．B． C． D．
12．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　
A．B．C． D．
13．关于的方程有实数根，则的取值范围是　　
A．且 B．且 C． D．
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　
A．1 B． C．3或 D．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　　
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
二．填空题（共12小题）
16．如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②； ③，其中，正确结论的序号是 　　．（所有正确的序号都填上）

17．如图，二次函数的图象与轴负半轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为；⑤当为任意实数时，．其中正确的结论有 　　．


18．二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5；④，上述结论中正确的是 　　．（只填序号）

19．抛物线，，是常数，的顶点坐标是，与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①；②关于的方程有两个不相等实数根；③．其中，正确结论的序号是 　　．（把所有正确结论的序号都填上）

20．二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表


0
1
3


3
5
3
下列结论：
①；
②当时，的值随值的增大而减小．
③3是方程的一个根；
④当时，．
其中正确的结论是　 　．
21．如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是 　　．

22．已知二次函数的图象如图所示，有5个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．
其中正确的有是 　　．

23．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 　　．
24．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　　．
25．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　　．
26．已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，5．
对于下列结论：
①；
②方程的根是，；
③；
④当时，随着的增大而增大．
其中正确的结论是 　　（填写结论的序号）．


27．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为线段上一动点，将沿翻折，使点落到点处．当，两点之间距离最短时，点的坐标为 　　．

三．解答题（共19小题）
28．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为，直线交轴于点；
①设点为线段上一点（点不与、两点重合），过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
②在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．













29．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方时，求面积的最大值．
（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．

30．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
①若点在线段上，且，求点的坐标；
②以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．




31．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是抛物线的一个动点且在轴的下方，则当点运动至何处时，恰好使的面积等于的面积的两倍．
（3）若点是抛物线上的一个动点，则当点运动至何处时，恰好使？请你求出此时的点坐标．

32．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，连接、．
（1）求出二次函数表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点的坐标，并说明理由；
（4）如图2，若点在线段上运动（不与点、重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标．



33．如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，，，（点在点左侧），且，连接，是上方的抛物线一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）第二象限内抛物线上是否存在一点，垂直于点，使得中有一个锐角等于的两倍？若存在，求点的横坐标，若不存在，请说明理由．


34．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；
（3）点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，求的值．

35．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上方抛物线上的动点，过点作的平行线交线段于点，求的最大值；
（3）已知点是直线上的动点，点是线段上方抛物线上的动点，若，且，求此时点的横坐标．
36．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．


37．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，，点在函数图象上，轴且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图1，连，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图2，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点、与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．



38．如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
（1）试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线的表达式；
（2）过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标；
（3）当点运动到使时，请简要求出的值．




39．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于，、，两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为，直线交轴于点；
①设点为线段上一点（点不与、两点重合），过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
②在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
















40．抛物线与坐标轴分别交于，，三点，，，点是第一象限内抛物线上的一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，，若，求点的坐标；
（3）连接，，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．


41．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为．

（1）直接写出点和点的坐标，求抛物线的解析式．
（2）为直线上方抛物线上一动点．
①连接交于点，记，，求的最大值；
②是否存在点，使得？如果存在，写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

42．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标；
（3）若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．







43．如图，二次函数与直线相交于、两点，点在轴上，当时，二次函数有最大值，最大值为10，点是二次函数图象上一点（点在上方）．过作轴，垂足为点，交于点，过点作轴，垂足为点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）是否有最大值？如有，请求出此时点的坐标及的最大值；
（3）当点在何位置时，线段与线段互相平分？请求出点的坐标．


44．如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，于．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段长度的最大值；
（3）如图2，设的中点为，连接，，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．





45．抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．












46．已知抛物线经过、、三点．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点是在直线上方的抛物线的一点，于点，轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，点为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，与相交于点，求的最大值．

二次函数综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：



0
1

0
4
6
6
下列结论不正确的是　　
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线与轴的一个交点坐标为
D．函数的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
，
该抛物线的开口向下，故选项正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线，故选项正确，不符合题意，
当时，，
当时，，故选项错误，符合题意；
函数的最大值为，故选项正确，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
2．二次函数，，为常数，中，与的部分对应值如表：



0
1
2
4




0.5
1
0.5


有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②；
③若满足，则或；
④若方程有两个不等的实数根则；
其中正确结论的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据表格给出的数据即可判断；②根据表中数据求出，，的值；③先求出函数解析式，在令，解出一元二次方程的根即可判断；④由△即可求出的取值范围．
【解答】解：①由表格给出的数据可知时，函数有最大值，且最大值为1，故此结论正确；
②把，；，；，代入，
得，
解得：，
故此结论正确；
③由②知，抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
，，
若满足，则或，故本结论正确；
④方程两个不等的实数根，
△，
解得：，
故此结论错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用待定系数法得出二次函数的解析式是解题关键，同时利用了二次函数的性质，函数与不等式的关系．
3．已知二次函数的与的部分对应值如下表：


0
1
3


1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为，再由图象中的数据可以得到当取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后跟距时，，时，，可以得到方程的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，
二次函数有最大值，当时，取得最大值，
抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线，故②错误，
当时，随的增大而增大，故③正确，
方程的一个根大于，小于0，则方程的另一个根大于，小于，故④错误，
故选：．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．
4．在二次函数，与的部分对应值如下表：



0
2
3



8
0
0
3

则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③当时，随的增大而增大；④图象经过点；⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的是　　
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【分析】结合图表可以得出当或2时，，时，，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：由图表可以得出当或2时，，时，，
，
解得：，
，
，
图象经过原点，故①正确；
，
抛物线开口向上，故②错误；
抛物线的对称轴是直线，
时，随的增大而增大，故③正确；
把代入得，，
图象经过点，故④正确；
抛物线与轴有两个交点、，
有两个不相等的实数根，故⑤正确；
故选：．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：①；②；③关于的方程没有实数根．其中正确的结论有　　

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据函数的图象和性质逐个求解即可．
【解答】解：①由抛物线与轴交于点，顶点坐标为，故抛物线与轴的另一个交点是当时，，故①正确，符合题意；
②当时，，则，
由，得，
图象的对称轴为，故，得，
故正确，符合题意；

③的顶点为，即当时有最小值．
而和无交点，即方程无解，
关于的方程没有实数根，故③正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
6．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是　　

A．
B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为
D．
【分析】由抛物线开口方向可判断，根据抛物线对称轴可判断，由抛物线的轴对称性可得点的坐标，从而判断，由所在象限可判断．
【解答】解：、由图可知：抛物线开口向下，，故选项错误，不符合题意；
、抛物线对称轴是直线，开口向下，
当时随的增大而减小，时随的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
、由，抛物线对称轴是直线可知，坐标为，故选项错误，不符合题意；
、抛物线过点，由可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，
，故选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，数形结合解决问题．
7．已知二次函数的与的部分对应值如表：


0
2
3
4

5
0


0
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④抛物线与轴的两个交点间的距离是4；⑤若，，，是抛物线上两点，则，其中正确的个数是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据表格可画出函数的图象，由二次函数的图象与性质即可作答．
【解答】解：根据表格可画出函数的图象，如图：

由图可得：抛物线的开口向上，故①正确；抛物线的对称轴为直线，故②正确；由图可得：当时，，故③正确；由图可得：抛物线与轴的两个交点间的距离是，故④正确；由图可得，若，，，是抛物线上两点时，若、在对称轴的右侧，则；若、在对称轴的左侧，则；若、在对称轴的异侧，则或，故⑤不正确；故正确的个数有4个，故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
8．抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为　　
A． B． C． D．
【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：根据题意知，将抛物线向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
9．已知抛物线与轴交于、两点，下列说法正确的是　　
A．若点、在抛物线上，则
B．
C．函数有最小值
D．若抛物线过四个象限，则
【分析】由函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后得到函数的最小值和函数的增减性，令，求得点和点的坐标，然后求得的长．
【解答】解：，
函数图象开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当点、在抛物线上时，，故选项错误，不符合题意；
当时，函数的最小值为，故选项错误，不符合题意；
抛物线与轴交于、两点，
令，得，
解得：或，
点，，
，故选项错误，不符合题意；
，且与轴的交点为点，，
当抛物线过四个象限时，，
，故选项正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象和系数之间的关系．
10．函数的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据各选项中函数的图象可以得到、、的关系，从而可以判断各选项中那个函数图象可能是正确的．
【解答】解：：由图象可知，开口向下，则，又因为顶点在轴左侧，则，则，而图象与轴交点为在轴正半轴，与矛盾，故此选项错误；
：由图象可知，开口向下，则，又因为顶点在轴左侧，则，则，而图象与轴交点为在轴正半轴，可知与矛盾，故此选项错误；
：由图象可知，开口向上，则，顶点在轴右侧，则，，故此选项正确；
：由图象可知，开口向上，则，顶点在轴右侧，则，与轴交于正半轴，则，而图象与轴的交点为，则，即与矛盾，故此选项错误．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断、、的关系．
11．如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是　　
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和轴的正半轴相交，故选项错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
12．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B．
C． D．
【分析】观察二次函数图象得：，，从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
【解答】解：观察二次函数图象得：，
，
一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出，，是解题的关键．
13．关于的方程有实数根，则的取值范围是　　
A．且 B．且 C． D．
【分析】分和两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当，即时，此方程为一元二次方程．
关于的方程有实数根，
△，
解得；
当，即时，方程为，显然有解；
综上，的取值范围是，
故选：．
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△时，方程无实数根．
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　
A．1 B． C．3或 D．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出的值后对各选项进行判断．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且△，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　　
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出，，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系，找出“，”是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
16．如图，已知抛物线与轴相交于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②； ③，其中，正确结论的序号是 　①②③　．（所有正确的序号都填上）

【分析】令可求出点，坐标，由抛物线解析式可得抛物线与轴交点坐标，作轴交于点，根据可判断．
【解答】解：令，
解得，，
，，
．①正确．
将代入得，
点坐标为，即，②正确．
作轴交于点，

设直线解析式为，
将，代入得，
解得，
，
设点坐标为，则点坐标为，
，
最大值为，
，
，③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查二次函数与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法．
17．如图，二次函数的图象与轴负半轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为；⑤当为任意实数时，．其中正确的结论有 　①④⑤　．

【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①②③，由可得点坐标为，将点坐标代入解析式可判断④，由时有取最小值可判断⑤．
【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①正确．
，
，②错误．
由图象可得点在下方，
，③错误．
，
点坐标为，
，
等式两边同时除以可得，
，
，
，
点坐标为，，
抛物线对称轴为直线，
点坐标为，，
方程有一个根为，④正确．
抛物线开口向上，对称轴为直线，
时取最小值，
，即，⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
18．二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5；④，上述结论中正确的是 　③④　．（只填序号）

【分析】根据开口方向，与轴交点的位置，对称轴的位置确定，，，可判断①不正确；根据，确定②不正确；由对称性可知图象经过和，可判断③正确；根据，，代入中可判断④正确．
【解答】解：①由图象可知：，，对称轴为直线，
，故①错误，不符合题意；
②由于图象过点，且对称轴为直线，
图象也过点，
时，，
即，故②错误，不符合题意；
③由于图象过点，
由对称性可知：图象也过，
令，
有两个解，分别是，5，
故③正确，符合题意；
④，
，
图象过点，
，
，
，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：③④．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
19．抛物线，，是常数，的顶点坐标是，与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论：①；②关于的方程有两个不相等实数根；③．其中，正确结论的序号是 　①②　．（把所有正确结论的序号都填上）

【分析】由抛物线开口向下得到，再由抛物线对称轴为直线得到，即可判断①；根据抛物线与直线有两个交点，即可判断②；由当时，，即，即可判断③．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，即，故①正确；
抛物线与轴有两个交点，且顶点为，
抛物线与直线有两个交点，
关于的方程有两个不相等实数根，故②正确；
由二次函数的对称性得：时的函数值与时的函数值相等，
当时，，即，
，
，即，故③错误；
故答案为；①②．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
20．二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表


0
1
3


3
5
3
下列结论：
①；
②当时，的值随值的增大而减小．
③3是方程的一个根；
④当时，．
其中正确的结论是　①③④　．
【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为，然后判断出①正确，②错误，再根据一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系判定③④正确．
【解答】解：时，时，，时，，
，
解得，
，
，故①正确；
对称轴为直线，
所以，当时，的值随值的增大而减小，故②错误；
方程为，
整理得，，
解得，，
所以，3是方程的一个根，正确，故③正确；
时，正确，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．
21．如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，．则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是 　①②④　．

【分析】根据的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出的值；根据两函数的解析式求出、、的坐标，计算出与的长，即可得到的值．
【解答】解：，
，
无论取何值，的值总是正数，①正确；
抛物线与交于点，
，
，②正确；
当时，，，
当时，，③错误；
当时，，解得或1，
当时，，解得或5，
，
即，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
22．已知二次函数的图象如图所示，有5个结论：
①；
②；
③；
④；
⑤．
其中正确的有是 　②④⑤　．

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可判断，，符号及与的关系，根据图象可得时，由抛物线对称性可得时，由图象可得时，为最大值．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
由图象可得，时，，
，②正确．
抛物线对称轴为直线，时，
时，，
③错误．
，，
，
，④正确．
由图象可得时，为函数最大值，
，
，⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
23．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 　且．　．
【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
，
解得：且．
故答案为：且．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
24．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　且　．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后解不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得且△．
解得且．
故答案为且．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
25．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 　　．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：是一元二次方程的根，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
26．已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，5．
对于下列结论：
①；
②方程的根是，；
③；
④当时，随着的增大而增大．
其中正确的结论是 　②③④　（填写结论的序号）．

【分析】由抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点即可判断①；根据抛物线与轴的交点即可判断②；根据图形即可判断③；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴，
，，，
，故①错误；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，5．
方程的根是，，故②正确；
当时，，
，故③正确；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，5，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
27．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，点为线段上一动点，将沿翻折，使点落到点处．当，两点之间距离最短时，点的坐标为 　　．

【分析】如图1，连接，根据勾股定理得到，推出当，，三点共线时，的值最小，即当点在对角线上时，的值最小，如图2，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图1，连接，
点，，的坐标分别为，，，
，，
，
，
当，，三点共线时，的值最小，
即当点在对角线上时，的值最小，
如图2，将沿翻折，使点落到点处，
，，，
，，
，
，
解得：，
，
点的坐标为，
故答案为：．


【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共19小题）
28．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为，直线交轴于点；
①设点为线段上一点（点不与、两点重合），过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
②在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）应用对称轴方程，求，再根据，得点坐标为，代入抛物线解析式，可求；
（2）①设出点坐标，用含的代数式表示面积，利用二次函数求最值的方法，求最大值；
②利用，对应边成比例，得，设出点坐标，由两点之间距离公式建立方程，再解方程，即可求出点坐标．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线，
由对称轴公式得，
，
抛物线解析式为，
点坐标为．
，
点坐标为，代入得，
，
或（舍去），
抛物线解析式为．

（2）抛物线解析式，
当时，有最小值，
顶点坐标为．
在中，令得，，
解得，，
，，
，，
直线解析式为，．
①轴，
设点坐标为，则，
，
的面积，
，
当时，．

②存在，理由如下：
，，，
，，
，
，，
，
，
设线段上的点为则，
，
整理方程得，
或（舍去），
点坐标为，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及相似三角形的相关知识．熟练掌握铅垂法计算三角形的面积，利用相似三角形的比例式，将问题转化，是解此题的关键．
29．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在直线下方时，求面积的最大值．
（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．

【分析】（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分、，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线倾斜角，进而求解．
【解答】解：（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：①；
（2）设点，
①当点在第三象限时，
设直线与轴交于点，设点，

将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：
直线的表达式为：，则，
，
②当点在第四象限时，
设交轴于点，
同理可得：，
综上，，
，故有最大值，当时，其最大值为；
（3），
，
，故与相似时，分为两种情况：
①当时，
，，，
过点作于点，

，解得：，
则，则，
则直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或，
故点，或，，
②时，
，
则点，
则直线的表达式为：③，
联立①③并解得：，
故点，或，；
综上，当与相似时，的坐标为：，或，或，或，．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
30．若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
①若点在线段上，且，求点的坐标；
②以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．


【分析】（1）利用待定系数法求出，，即可；
（2）①求出直线的解析式为，因为，关于直线对称，推出，设，则，，根据，构建方程求解；
②如图2中，连接，交于点．设，则点，利用正方形的性质求出点的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，
，
对称轴为直线，经过，
，
解得，
抛物线的解析式为；

（2）①如图1中，

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
，关于直线对称，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
点，；

②如图2中，连接，交于点．设，则点，

四边形是正方形，
，，，
轴，
，
，
，
，
点在抛物线上，
，
解得，，
点在第四象限，
舍去，
，
点坐标为，．


【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
31．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点是抛物线的一个动点且在轴的下方，则当点运动至何处时，恰好使的面积等于的面积的两倍．
（3）若点是抛物线上的一个动点，则当点运动至何处时，恰好使？请你求出此时的点坐标．

【分析】（1）首先构造全等三角形，求出点的坐标；然后利用点的坐标求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交于点，设直线的解析式为，由待定系数法求出直线的解析式，设，则，表示出，由三角形面积公式求出的值，则可得出答案；
（3）①作关于的对称点为，连接，作的角平分线交于点，交抛物线于点，由等腰直角三角形的性质求出直线的解析式，则可求出答案；②如图，同理可得，当平分时，射线与抛物线交点满足．求出的解析式即可．
【解答】解：（1）如图所示，过点作轴于点，则．

，，
，．
在与中，
，
．
，，
，
．
点在抛物线上，
，解得：．
抛物线的解析式为：．
（2），，，
，
，

过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
整理得，，
，，
当时，，
当时，，
或，，
即当点运动至坐标为或，时，的面积等于的面积的两倍；
（3）①如图，作关于的对称点为，连接，作的角平分线交于点，交抛物线于点，

，
，，
，，
，
，平分，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
解得或（不合题意，舍去），
，；
②如图，同理可得，当平分时，射线与抛物线交点满足．

同理，，
直线的解析式为，
，
解得或（不合题意，舍去），
，．
综合以上可得，点的坐标为，或，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数关系式，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
32．已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，连接、．
（1）求出二次函数表达式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时点的坐标，并说明理由；
（4）如图2，若点在线段上运动（不与点、重合），过点作，交于点，当面积最大时，求此时点的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据抛物线的解析式求得的坐标，然后根据勾股定理分别求得，，，然后根据勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形；
（3）分别以、两点为圆心，长为半径画弧，与轴交于三个点，由的垂直平分线与轴交于一个点，即可求得点的坐标；
（4）设点的坐标为，则，过点作轴于点，根据三角形相似对应边成比例求得，构建二次函数，根据函数解析式求得即可．
【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为，
，
解得：．
抛物线表达式：；
（2）是直角三角形，理由如下：
令，则，
解得，，
点的坐标为，
由已知可得，
在中：，
在中：，
又，
，
在中：，
是直角三角形；
（3），，
，
①以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为，
②以为圆心，以长为半径作圆，交轴于，此时的坐标为，或，，
③作的垂直平分线，交轴于，此时的坐标为，
综上，若点在轴上运动，当以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标分别为：
、，、、，；
（4）如图，
，，，
，
，
，
，
，
设点的坐标为，则，
，
，
，
，
，
，
，


，
当时，面积最大是5，
点坐标为．
当面积最大时，点坐标为．

【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．
33．如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，，，（点在点左侧），且，连接，是上方的抛物线一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）第二象限内抛物线上是否存在一点，垂直于点，使得中有一个锐角等于的两倍？若存在，求点的横坐标，若不存在，请说明理由．


【分析】（1）利用抛物线与轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系，用一元二次方程根与系数的关系定理列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，交直线于点，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，求得线段，的长，利用同高的三角形的面积关系列出关于的等式，利用配方法和二次函数的性质解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，②当时：取的中点，连接，过点作轴于点，延长交于点，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，，设，则，，利用直角三角形的边角关系定理列出关于的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）抛物线的图象交轴于点，，，，
，是方程的两根，
，．
，
．
即：，
．
解得：．
抛物线的解析式为．
（2）存在最大值，此时点的坐标为，理由：
令，则，
解得：或1，
，，
令，则，
．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为．
过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，交直线于点，如图，

则，
，
．
设，则，
．
当时，，
．
．
等高的三角形的面积比等于底的比，
．
，
，
当时，有最大值为，此时点；
（3）第二象限内抛物线上存在一点，垂直于点，使得中有一个锐角等于的两倍，点的横坐标为或，理由：
，，，
，，，
，，．
，
为直角三角形，．
取的中点，连接，
则，，
．
，
．
，
．
过点作轴于点，延长交于点，如图，

①当时，
设，则，，
．
轴，轴，
，
．
，，
．
，
．
，

解得：或0（舍去），
．
点的横坐标为；
②当时，
，
．
，
，
，
，
设，则，
．
，
，
．
．
，
，
，
，
解得：或0（舍去），
，
即点的横坐标为，
综上，第二象限内抛物线上存在一点，垂直于点，使得中有一个锐角等于的两倍，点的横坐标为或．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，一元二次方程的根与系数的关系定理，勾股定理，同高的三角形的面积关系，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
34．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式；
（3）点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，求的值．

【分析】（1）把点和点的坐标代入抛物线的解析式即可；
（2）过点作轴于点，用含的式子分别表示点、点的坐标，由，得，根据相似三角形对应边成比例，列出关系式，整理出关于的函数关系式，由点在第一象限，写出自变量的取值范围；
（3）分别过点，作轴，轴，与交于点，，利用铅垂法分别表示的面积和的面积，再求比值即可．
【解答】解：（1）由题意可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）如图，过点作轴于点，

由（1）得，抛物线的解析式为，
，，；
当时，由，得，，
；
，
，
，
，
整理，得，
，点在第一象限，
．
（3）由（1）知，，，
，
直线过点，
直线，
如图，分别过点，作轴，轴，与交于点，，

，
，
，
，，
，
，，
，
的值是一个定值，这个定值为．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，铅垂法求面积及函数交点问题；掌握铅垂法是解题关键．
35．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点是线段上方抛物线上的动点，过点作的平行线交线段于点，求的最大值；
（3）已知点是直线上的动点，点是线段上方抛物线上的动点，若，且，求此时点的横坐标．
【分析】（1）设抛物线解析式为，将点坐标代入求出即可得到解析式；
（2）过点作轴交于，过点作交轴于，求出直线的解析式，证明，得到则，由求出得到的长，由此求出，是的正比例函数，当最大时，最大，设，则，根据函数的性质得到的最大值；
（3）过点作轴的平行线，与轴交于点，过点作，垂足为，可证，得，设点的坐标为，则，，当时，，求出，，得点的坐标，代入直线上，求出即可．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
该抛物线解析式为：；
（2）如图，过点作轴交于，过点作交轴于．

设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为；
，，
，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
是的正比例函数，当最大时，最大．
设，则，
，
，
，
当时，
，
则；
（3）如图，过点作轴的平行线，与轴交于点，过点作，垂足为．

，
，，
，
又，
，
，
设点的坐标为，则，，
当时，，
，，
，
，，
，
，
点的坐标为，，
点在直线上，
，
解得：（舍去）或，
点的横坐标为．
【点评】此题考查了二次函数知识，利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值，相似三角形的性质，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键
36．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）设，，①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，得出，，将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可，②当点在直线左侧时，由①的方法同理可得点的坐标为，，代入抛物线的解析可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，

，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
（3）存在．符合条件的点的坐标为或．
，
直线的解析式为，
设，，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，

，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
37．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，，点在函数图象上，轴且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．
（1）求、的值；
（2）如图1，连，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；
（3）如图2，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点、与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得的值；由，可用表示出点坐标，代入抛物线解析式可求得的值；
（2）可设，则可表示出的坐标，由、的坐标可求得直线的解析式，把坐标代入直线解析式可得到关于的方程，可求得点的坐标；
（3）设点坐标为，可表示出、、的长，作，垂足为，则可求得的长，用可表示出、、的坐标，在中，由勾股定理可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时的值，则可求得点的坐标，
【解答】解：
（1）轴，，
抛物线对称轴为．
，．
，，
点的坐标为，
，解得或（舍去），
；

（2）设点的坐标为．
对称轴为直线，
点关于直线的对称点的坐标为．
由（1）可知抛物线解析式为，
，
直线经过点，，
利用待定系数法可得直线的表达式为．
点在上，
，即点的坐标为；

（3）存在点满足题意．
设点坐标为，则，，．
作，垂足为，

，
，
．
①点在直线的左侧时，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
在中，，
时，取最小值1．此时点的坐标为，；
②点在直线的右侧时，点的坐标为．
同理，，
时，取最小值1．此时点的坐标为，．
综上可知存在满足题意的点，其坐标为，或，．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用点的坐标表示出的坐标是解题的关键，在（3）中求得的长，用勾股定理得到关于的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
38．如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
（1）试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线的表达式；
（2）过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标；
（3）当点运动到使时，请简要求出的值．

【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为，即知对称轴为直线，由，可得直线表达式为；
（2）设，由，可得，解方程并根据，即得的坐标为；
（3）作的平分线交轴与，过作于，设交轴于，知，，设，根据，有，可解得，从而，而，可得，，由，可得直线的函数表达式为，再联立解析式可解得答案．
【解答】解：（1）把，，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
由，可得直线表达式为；
（2）设，则，，
，，
，
，
解得或，
，
，
的坐标为；
（3）作的平分线交轴与，过作于，设交轴于，如图：

平分，，，
，，
设，则，
，，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
由，可得直线的函数表达式为，
解得或，
，，
点的横坐标的值为．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用放字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
39．如图，对称轴为直线的抛物线与轴交于，、，两点，与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线顶点为，直线交轴于点；
①设点为线段上一点（点不与、两点重合），过点作轴的垂线与抛物线交于点，求面积的最大值；
②在线段上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）应用对称轴方程、根与系数关系求，
（2）①设出点坐标表示面积，求最大值；
②利用勾股定理逆定理，证明，则轴，问题可解．
【解答】解：（1）抛物线对称轴为直线


由一元二次方程根与系数关系：
，


则
抛物线解析式为：
（2）由（1）点坐标为
当时，
解得，
点坐标为
①设点坐标为
的面积
整理的



当时，
②存在
由已知点坐标为，点坐标为
直线解析式为：
则点坐标为
连、，则由勾股定理






当点使得时
连并延长交轴于点，过作轴于点
，
在中，

由已知，，，

设
则，则

中，


则，
则点坐标为，
【点评】本题是二次函数综合题，考查一元二次方程根与系数关系、二次函数图象性质及勾股定理逆定理．在求面积时，合理设出未知数可以简化计算．
40．抛物线与坐标轴分别交于，，三点，，，点是第一象限内抛物线上的一点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，，若，求点的坐标；
（3）连接，，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将，，代入，列方程组并且解该方程组求出、、的值，即可求得抛物线的解析式为；
（2）连接，设点的坐标为，由，得，解方程求出符合题意的值，再求出点的坐标即可；
（3）作平分交轴于点，作于点，则，由勾股定理求得，可求得，于是得，则，当时，，设交轴于点，由，得，则，即可求得直线的解析式为，再将其与联立方程组，即可通过解方程组求出点的坐标．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）如图1，连接，设点的坐标为，，
，，，
，
，
，
，
整理得，解得，（不符合题意，舍去），
点的坐标为．
（3）存在，
如图2，作平分交轴于点，作于点，则，
是的平分线，，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
设交轴于点，则，
，
，
，
设直线的解析式为，则，解昨，
直线的解析式为，
解方程组，得，（不符合题意，舍去），
点的坐标为，．


【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
41．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为．

（1）直接写出点和点的坐标，求抛物线的解析式．
（2）为直线上方抛物线上一动点．
①连接交于点，记，，求的最大值；
②是否存在点，使得？如果存在，写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①过点作直线交轴于点，过点作直线交轴于点，则和同底，则，进而求解；
②在中，，则，则，则，同理可得：，即点，，进而求解．
【解答】解：（1）对于，令，则，令，则，
即点、的坐标分别为、，
将点、坐标代入抛物线的表达式得：
，解得：，
即抛物线的表达式为：；

（2）①令，
解得：或1，则点，
设点，
过点作直线交轴于点，过点作直线交轴于点，

则和同底，
则，
，
设直线的表达式为：，则点，
同理可得，直线的表达式为：，
则点，
则，，
，
，故有最大值，
当时，的最大值为；
②存在，理由：
过点作交于点，过点作轴于点，

，则，
在中，，则，
则，，
则，
则，
同理可得：，即点，，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线表达式得：，
解得：（舍去）或，
即点，．


【点评】本题主要考查二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，解直角三角形，平行线的性质等相关内容，其中（2）①，关键是将三角形的面积比转化为线段比．
42．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与，分别相交于点，，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标；
（3）若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形的周长最小，求出点，的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；
（2）先求出直线的解析式，进而求出四边形的面积的函数关系式，即可求出；
（3）利用对称性找出点，的位置，进而求出，的坐标．
【解答】解：（1）点，在抛物线上，
，
解得，
抛物线的表达式为，

（2）设，
轴，
点的纵坐标为，
在抛物线上，
，
（舍或，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
轴，轴，
，
，
，；

（3）如图2，为抛物线的顶点，
，
关于轴的对称点，
在抛物线上，
，
点关于轴的对称点，
直线的解析式为，
，，．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点，的位置，是一道中等难度的题目．
43．如图，二次函数与直线相交于、两点，点在轴上，当时，二次函数有最大值，最大值为10，点是二次函数图象上一点（点在上方）．过作轴，垂足为点，交于点，过点作轴，垂足为点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）是否有最大值？如有，请求出此时点的坐标及的最大值；
（3）当点在何位置时，线段与线段互相平分？请求出点的坐标．

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）过点作轴于点，依据，联立方程求得点坐标，即可得到；依据平行于轴两点之间的距离是减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据解方程组，可得点坐标，根据平行四边形的判定与性质，可得关于关于的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标．
【解答】解：（1）将代入，得．
点．
当时，二次函数有最大值，最大值为10，
设二次函数的表达式为，
将，代入，得，
．
即；

（2）有最大值．
二次函数与直线相交于、两点，
，
解得：得，．
过点作轴于点，

；
点在抛物线上，点在上，设点坐标为，，
，
时，．
将代入，得．
当点的坐标为时，，
；

（3），
解，得，．
将代入，
．
线段与线段互相平分，
四边形是平行四边形．
．
即．
解，得，．
将，，分别代入．
得，．
当点的坐标为或时，线段与线段互相平分．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于轴两点之间的距离是减较小的纵坐标得出二次函数是解题关键；利用平行四边形的判定与性质得出关于关于的方程是解题关键．
44．如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，于．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，求线段长度的最大值；
（3）如图2，设的中点为，连接，，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）设直线的解析式为，，
解得
，
设，，过点作轴交于点，
如图1，
，
，
，，
，
，
，，
，

，
当时，取最大值，最大值是，
（3）存在．假设存在这样的点，使得中有一个角与相等，
点为的中点，
，，
过点作，交的延长线于点，过点作轴，垂足为，
如图2，
①若，
，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
，
解得，或（舍．
②若，
同理可得，，，
，，
同理可得，直线的解析式为，
，
解得或（舍，
综上所述，存在点，使得中有一个角与相等，点的横坐标为或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标．
45．抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
（3）过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数最值即可求得答案；
（3）①根据题意建立方程求解即可得出答案；②分两种情况：当时，当时，分别求得点的坐标即可．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
则；

（2）在中，令，得，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，，
当时，取得最大值2，此时点的坐标为；

（3）①如图1，，，，，，，

，，，，
，
，
解得：，，
点是线段下方抛物线上的一个动点，
，
，
；

②存在点，使得为直角三角形，设，
，，
，，，
当时，如图2，轴，
；

当时，如图3，

在中，，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题．
46．已知抛物线经过、、三点．

（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点是在直线上方的抛物线的一点，于点，轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，点为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接，与相交于点，求的最大值．
【分析】（1）根据抛物线经过、、三点，法一：代入抛物线解析式即可；
法二利用交点式得，将坐标代入即可计算；
法三根据、利用对称轴方程即可求解；
（2）延长交轴于点，根据题意证明是等腰直角三角形，然后求出直线的解析式为，设，，根据等腰三角形的性质即可得结论；
（3）法一：过轴交于点，由题意，设，，根据平行线分线段成比例定理列式计算即可；
法二：设，，求出直线的解析式，将坐标代入列式计算即可．
【解答】解：（1）法一：依题意，得，
解之，得，
抛物线解析式为．
法二：依题意，得，
将坐标代入得，
，
解得，
抛物线解析式为．
法三：依题意，得，
解之，得，
抛物线解析式为．
（2）如图1，延长交轴于点，

，，轴交于点，
，，
于点，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，
将、两点坐标代入得，
解得，
所以直线的解析式为，
设，
，
，
当时，最大值为4，
此时，
是等腰直角三角形，
周长，
周长的最大值为，
此时．
（3）法一：如图2，过轴交于点，

设，
，
，
，
，
，
，
当时，的最大值为1．
法二：如图2，设，，

．
设直线的解析式为，
将点代入得，
直线的解析式，
将坐标代入得，，
所以，
化简得，
，

当时，的最大值为1．
【点评】本题属于二次函数综合题，解决本题的关键是将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．