广东省深圳市宝安中学初中部2023—2024学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安中学初中部2023—2024学年上学期九年级10月月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列一元二次方程无解的是，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
宝安中学初中部2023-2024学年第一学期九年级10月月考数学试卷

一．选择题（每题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段a，b，c，d成比例的是（　　）
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
2．下列一元二次方程无解的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．2x2+x+3＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．20 B．18 C．16 D．15
4．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，则的值是（　　）

A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等实根，则k的取值范围k＜4且k≠0
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴
D．三角形的一个中位线将三角形分为面积相等的两部分
6．一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（　　）

A．x＝80 B．x（26﹣2x）＝80
C．x＝80 D．x（27﹣2x）＝80
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为64，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．
9．如图，已知边长为6的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的三等分点，则△BDP的面积是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
10．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（每题3分，共15分）
11．设3x﹣4y＝0（y≠0），则＝　 　．
12．若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解，则代数式1﹣8a+4b的值是　 　．
13．如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝　 　度．

14．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，EF：EG＝1：4，则ED的长度为　 　．

15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连接CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是　 　．

三．解答题（共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣8＝0； （2）x（x﹣2）＝2﹣x．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣7x＝0．
18．（6分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

19．（8分）据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长．

21．（9分）【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
（1）如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点B在格点上；
（2）如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，求CD 的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC＝4，OA＝6，D是OA的中点．在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（10分）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上，且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是　 　．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为　 　．


宝安中学10月月考数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列各组中的四条线段a，b，c，d成比例的是（　　）
A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1
【解答】解：A、×3≠×2，故错误；
B、4×10≠5×6，故错误；
C、2×＝×，故正确；
D、2×3≠1×4，故错误．
故选：C．
2．下列一元二次方程无解的是（　　）
A．x2﹣2x+1＝0 B．2x2+x+3＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
【解答】解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
B、∵Δ＝12﹣4×2×3＝﹣23＜0，
∴该方程无解；
C、∵Δ＝32﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
D、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．20 B．18 C．16 D．15
【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠BAD＝120°，
∴∠B＝60°，
∴AB＝AC＝4，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×4＝16．
故选：C．
4．如图，直线AB∥CD∥EF，若AC＝3，CE＝4，则的值是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵直线AB∥CD∥EF，AC＝3，CE＝4，
∴＝，
故选：A．
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形
B．关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等实根，则k的取值范围k＜4且k≠0
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴
D．三角形的一个中位线将三角形分为面积相等的两部分
【解答】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，不一定是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵关于x的方程kx2﹣4x+1＝0有两个不相等实根，∴，
解得：k＜4且k≠0，故选项B符合题意；
C、正方形有4条对称轴，分别是2条对角线所在的直线和2条两边的垂直平分线，故选项C不符合题意；
D、三角形的一个中位线将三角形分为面积不相等的两部分，故选项D不符合题意；故选：B．
6．一花户，有26m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为80m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门（如图），设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（　　）

A．x＝80 B．x（26﹣2x）＝80
C．x＝80 D．x（27﹣2x）＝80
【解答】解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（27﹣2x）m，
根据题意得：x（27﹣2x）＝80．
故答案为：D．
7．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B时，△ACD∽△CBD，
∵∠ACB＝90°，
即∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB．
故选：C．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为64，则CD的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝AC
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD，
∴OD＝OH＝4，
∴BD＝8，
∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝64，
∴AC＝16，
∴OC＝8，
∴CD＝＝4．
故选：A．
9．如图，已知边长为6的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的三等分点，则△BDP的面积是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
【解答】解：如图，连接BE，

∵边长为6的正方形ABCD，
∴正方形ABCD＝6×6＝36，
∵E为AD的中点，
∴S△ABD＝S正方形ABCD＝18，S△BCE＝S正方形ABCD＝18，DE＝3，
∵P为CE的三等分点，
∴S△BCP＝S△BCE＝6，S△CDP＝S△CDE，
∵S△CDE＝CD•DE＝9，
∴S△CDP＝3，
∴△BDP的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABD﹣S△BCP﹣S△CDP＝36﹣18﹣6﹣3＝9，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连结HF交DE于点M．若，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，延长CB，DE，交于点N，设AH＝1，AE＝2，
∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，
∴BE＝1，DH＝BF＝2，
∵AD∥BN，
∴△ADE∽△BNE，
∴＝，即＝，
∴BN＝1.5，
∵DH∥NF，
∴△DHM∽△NFM，
∴＝＝＝，
故选：C．
二．填空题
11．设3x﹣4y＝0（y≠0），则＝　　．
【解答】解：∵3x﹣4y＝0（y≠0），
∴3x＝4y，
∴，
∴，
故答案为：．
12．若x＝﹣2是方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个解，则代数式1﹣8a+4b的值是　7　．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程ax2+bx+3＝0（a≠0），得4a﹣2b+3＝0，
所以4a﹣2b＝﹣3，
则1﹣8a+4b＝1﹣2（4a﹣2b）＝1﹣2×（﹣3）＝7．
故答案为：7．
13．如图，在4×3的正方形网格中，△ABC与△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则∠BAC+∠CDE＝　45　度．

【解答】解：∵BF＝CF，CK＝EK，
∴∠FBC＝∠CEK＝45°，
∴∠1+∠BAC＝45°，∠2+∠CDE＝45°，
连接AD、BE，
∵BC2＝22+22＝8，CE2＝12+12＝2，BE2＝32+12＝10，
∴BC2+CE2＝BE2，
∴∠BCE＝90°，
∵AD2＝32+12＝10，CD2＝32+12＝10，AC2＝42+22＝20，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∴∠BAC+∠CDE＝45°，
故答案为：45．

14．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，若AB＝10，EF：EG＝1：4，则ED的长度为　 　．

【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
在△BAE和△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴EB＝ED，
∵EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，
∴∠AFE＝∠BFE＝∠BGE＝90°，
∴∠FEA＝∠FAE＝45°，四边形BFEG是矩形，
∴EF＝AF，EG＝BF，
∵EF：EG＝1：4，
∴AF：BF＝1：4，
∴EF＝AF＝AB＝×10＝2，BF＝AB＝×10＝8，
∴EB＝＝＝2，
∴ED＝2，
故选：A．

15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连接CD交BE于点O．若AC＝8，BC＝6，则OE的长是　　．

【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝10，
过E作EF⊥AB于F，

∵BE平分∠CBA，∠ACB＝90°，
∴CE＝EF，
∵CB2＝BE2﹣CE2，BF2＝BE2﹣EF2，
∴BC＝BF＝6，
设CE＝EF＝x，则AF＝10﹣x，AE＝8﹣x，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2，
（8﹣x）2＝（10﹣6）2+x2，
解得：x＝3，
即CE＝EF＝3，
在Rt△ECB中，由勾股定理得：BE＝＝3，
过D作DM∥AC，交BC于M，交BE于N，

∵D为AB的中点，DM∥AC，
∴M为BC的中点，N为BE的中点，
∴DN＝AE＝＝2.5，BN＝NE＝BE＝，
∵DM∥AC，∴△DNO∽△CEO，∴＝，
∴＝，解得：OE＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题）
16．解方程：
（1）x2+2x﹣8＝0； （2）x（x﹣2）＝2﹣x．
【解答】解：（1）x1＝2，x2＝﹣4；
（2）x（x﹣2）＝2﹣x，
x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0，
x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1．
17．先化简，再求值： ，其中x满足x2﹣7x＝0．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝﹣，
∵x满足x2﹣7x＝0，
∴x＝0或x＝7，
当x＝0时，分式没有意义；
当x＝7时，原式＝﹣．
18．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
在Rt△DEF中，
∵DF＝0.5m，EF＝0.3m，
由勾股定理得DE＝＝0.4（m），
∵CD＝10m，
∴＝，
∴BC＝7.5（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
19．2022年受新型冠状病毒疫情的影响，水果电商有了意想不到的机遇，据统计某水果电商平台1月份的销售额是225万元，第一季度的销售额是819万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在电商平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，则：225+225（1+x）+225（1+x）2＝819，
解得：x1＝0.2，x2＝﹣3.2（舍去），
∴月平均增长率是20%．
（2），
解得：y1＝4，y2＝2（舍去）
∴若使销售该水果每天获利4000元，则售价应降低4元．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CB到点E，使得BE＝BC．连接AE．过点B作BF∥AC，交AE于点F，连接OF．
（1）求证：四边形AFBO是矩形；
（2）若∠E＝30°，BF＝1，求OF的长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE∥BD．
∵BF∥AC，
∴四边形AFBO是平行四边形．
∵AC⊥BD，AE∥BD
∴AE⊥AC，
∴∠OAF＝90°，
∴平行四边形AFBO是矩形．
（2）解：由（1）知四边形AFBO是矩形，
∴∠AFB＝90°，OF＝AB，
∴∠BFE＝90°．
又∵∠E＝30°，BF＝1，
∴BE＝2BF＝2．
在Rt△AEC中，BE＝BC，
∴AB＝BE＝2，
∴OF＝2．
21．【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
（1）如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点B在格点上；
（2）如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，求CD 的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC＝4，OA＝6，D是OA的中点．在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，若AD＝AB，则等邻边四边形ABCD为：

如图，若CD＝BC，则等邻边四边形ABCD为：

（2）如图，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，

∵AB＝AD＝4，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝30°，
∵DE⊥BC，
∴DE＝BD＝2，
∴BE＝＝＝2，
∵BC＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝，
∴CD＝＝＝；
（3）在矩形OABC边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，如图3，当CE取得最大值时，四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，

∵四边形OABC是矩形，OC＝4，OA＝6，D是OA的中点，
∴BC∥OA，C（0，4），A（6，0）D（3，0），
设E点的坐标为（m，4），则CE＝m，
∵CE＝DE，
∴CE2＝DE2，
∴m2＝（m﹣3）2+（4﹣0）2，
∴m＝，
∴CE＝，点E的坐标为（，4），
∴四边形OCED的面积＝（CE+OD）•OC＝×（+3）×4＝，
∴在矩形OABC边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形OCED的面积最大值为，点E的坐标为（，4）．
22．（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上，且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是　CG⊥BD　．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）
（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为　或　．

【解答】解：（1）结论：CG⊥BD．
理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．

∵FA＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，
∴△AMF≌△ECF（SAS），
∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，
∴AM∥CE，
∴∠MAC＝∠DCB＝90°，
∵＝＝，
∴△MAC∽△DCB，
∴∠DBC＝∠ACM，
∵∠ACM+∠GCB＝90°，
∴∠DBC+∠GCB＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴CG⊥BD．
故答案为：CG⊥BD．

（2）结论仍然成立．
理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．

∵FA＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，
∴△AMF≌△ECF（SAS），
∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，
∴AM∥CE，
∴∠MAC+∠ACE＝180°，
∴∠MAC＝180°﹣∠ACE，
∵∠DCB＝∠DCE+∠ACB﹣∠ACE＝90°+90°﹣∠ACE＝180°﹣∠ACE，
∴∠MAC＝∠DCB，
∵＝＝，
∴△MAC∽△DCB，
∴∠DBC＝∠ACM，
∵∠ACM+∠GCB＝90°，
∴∠DBC+∠GCB＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴CG⊥BD．

（3）如图3中，当点E在线段BD上时，

∵△AMC∽△CDB，∴＝＝，
在Rt△DCE中，CD＝3，CE＝4，
∴DE＝＝＝5，
∵CG⊥DE，∴CG＝＝，
在Rt△CGB中，CB＝6，CG＝中，
∴BG＝＝＝，
在Rt△DCG中，DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，
∴CM＝BD＝，∴CF＝CM＝
如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，同法可得CF＝CM＝．

综上所述，满足条件的CF的值为或．