新高考数学二轮复习数列培优专题01 等差数列必备知识点与考点突破（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习数列培优专题01 等差数列必备知识点与考点突破（含解析），共35页。
◆知识点1:等差数列
1.定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母 SKIPIF 1 < 0 表示.
2.等差数列的判定
(1) SKIPIF 1 < 0 (定义法); (2) SKIPIF 1 < 0 (中项法);
(3) SKIPIF 1 < 0 (通项法, 一次函数); (4) SKIPIF 1 < 0 (和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
3.等差数列通项公式
SKIPIF 1 < 0 的几何意义是过 SKIPIF 1 < 0 两点的直线的斜率.
例:已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1 = 1， SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 = 1，则an =（ ）
A．2n －1B．nC．2n － 1D．2n-1
【答案】A
【解析】
∵a1 = 1， SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 = 1，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 也适合上式，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
◆知识点2:等差数列的性质
设 SKIPIF 1 < 0 为等差数列,公差为 SKIPIF 1 < 0 ,则
1.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
特别地,(1)若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;
2.若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;
3.若 SKIPIF 1 < 0 是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即 SKIPIF 1 < 0 .
4.数列 SKIPIF 1 < 0 是常数)是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
5.若 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的项数一致,则数列 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为常数)是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
6.下标成等差数列且公差为 SKIPIF 1 < 0 的项 SKIPIF 1 < 0 组成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列.
7.在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中,若 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 .
例:已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．84B．72C．60D．43
【答案】C
【详解】
∵数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故选：C．
例: SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
◆知识点3:等差数列前n项和
1.等差数列前n项和公式
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 (关于前n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)
2.等差数列前n项和公式与二次函数的关系
等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
(1) 当 SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 )时, SKIPIF 1 < 0 是常数函数, SKIPIF 1 < 0 是各项为0的常数列.
(2) 当 SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 )时, SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的一次函数, SKIPIF 1 < 0 是各项为非零的常数列.
(3) 当 SKIPIF 1 < 0 (即 SKIPIF 1 < 0 )时, SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数(常数项为0).
从上面的分析,我们可以看出:
(1)一个数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列的条件是其前 SKIPIF 1 < 0 项和公式 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数或一次函数或常数函数,且 SKIPIF 1 < 0 为常数).
(2)若一个数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和的表达式为 SKIPIF 1 < 0 为常数),则当 SKIPIF 1 < 0 时,数列 SKIPIF 1 < 0 不是等差数列,但从第2项起为等差数列;
(3)由二次函数图象可知,当 SKIPIF 1 < 0 时( SKIPIF 1 < 0 是递增数列), SKIPIF 1 < 0 有最小值;当 SKIPIF 1 < 0 时( SKIPIF 1 < 0 是递减数列), SKIPIF 1 < 0 有最大值.
例:在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 若对一切正整数n，均有 SKIPIF 1 < 0 成立，则正整数 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】12或13
【详解】
等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或13时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，
∴存在正整数k，使任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 恒成立，且k为12或13．
故答案为：12或13．
◆知识点4:等差数列前n项和的性质
1.等差数列中依次 SKIPIF 1 < 0 项之和 SKIPIF 1 < 0 组成公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列
2.若等差数列的项数为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
3.若等差数列的项数为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 是数列的中间项), SKIPIF 1 < 0
4. SKIPIF 1 < 0 为等差数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列
5.若 SKIPIF 1 < 0 都为等差数列, SKIPIF 1 < 0 分别为它们的前 SKIPIF 1 < 0 项和,则 SKIPIF 1 < 0
例:设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
【答案】D
【解析】
等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 构成等差数列，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 构成等差数列，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
故选：D
例:设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【核心考点】
◆考点1:等差中项
1．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前三项依次为x， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则x的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
解：依题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：D
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b的等差中项为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
由等差中项的定义得：
则a，b的的等差中项为：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
3．正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．4B．8C．32D．64
【答案】D
【解析】
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．已知 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A．5B．512
C．1024D．64
【答案】D
【解析】
解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为q，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的等差中项为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
◆考点2:等差数列的证明
1．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则公差 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．－1D．－2
【答案】D
【解析】
数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数，设其公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
则等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差等列B．数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列D．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列
【答案】B
【解析】
解：因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故数列 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故数列 SKIPIF 1 < 0 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B正确；
由A知： SKIPIF 1 < 0 。故数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列，故C错误；
由B知： SKIPIF 1 < 0 ，故数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，故D错误；
故选：B
3．数列{ SKIPIF 1 < 0 }中 SKIPIF 1 < 0 ，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：C
4．设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公差的等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
◆考点3:等差数列的性质
1．已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等差数列．
由等差数列的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．已知数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．84B．72C．75D．56
【答案】C
【解析】
由等差数列的性质，得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
3．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【解析】
由题意，数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，结合等差数列的性质得， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
4．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．在等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．20B．27C．36D．45
【答案】C
【详解】
解：由题意，等差数列 SKIPIF 1 < 0 中，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
根据等差数列的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6．等差数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则其前10项之和为（ ）
A．-9B．-15C．15D．±15
【答案】D
【详解】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
7．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的前13项之和为（ ）
A．26B．39C．104D．52
【答案】A
【详解】
由等差数列的性质可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前13项之和为
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
◆考点4:已知Sn和an的关系求通项公式
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
则数列 SKIPIF 1 < 0 从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
2．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
当n＝1时，3S1＝a1a2，3a1＝a1a2，∴a2＝3.
当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，
两式相减得3an＝an(an＋1－an－1)，
又∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，
∴{a2n}是以3为首项，3为公差的等差数列，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
3．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 是等差数列C． SKIPIF 1 < 0 是等比数列 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列. 所以选项B错误，选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 ,所以选项D错误.
故选：C
4．记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
当n=1时，a1=2a1-1，解得a1=1；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝ SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝(－1)n＋1 SKIPIF 1 < 0 ，数列{bn}的前n项和为Tn，求T2 021.
【答案】
（1）an＝n
（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】
（1）由Sn＝ SKIPIF 1 < 0 ，则当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ，相减求得(n－1)an＝nan－1，验证n=1后，从而求得数列{an}的通项公式；（2）代入后利用裂项求和求得T2 021的值.
（1）
解：由题设，Sn＝ SKIPIF 1 < 0 ①
当n≥2时， SKIPIF 1 < 0 ②
①－②，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则(n－1)an＝nan－1.
∴ SKIPIF 1 < 0 .
所以an＝n.
又a1适合上式，故an＝n.
（2）
解： SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
◆考点5:等差数列前n项和的性质
1．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．45B．32C．47D．54
【答案】A
【详解】
由题可知： SKIPIF 1 < 0 成等差数列
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故选：A
2．设 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．3
【答案】D
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 是等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
3．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即{ SKIPIF 1 < 0 }为等差数列，公差为 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ﹒
故选：A﹒
4．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 与等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若对于任意的正整数n都有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
5．等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．11B．7C．9D．12
【答案】C
【详解】
由题意，根据等差数列的性质， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
6．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 SKIPIF 1 < 0 (n∈N*)，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
由等差数列前n项和的性质，且 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
◆考点6:含绝对值的等差数列前n项和
1．设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）解：设等差数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
（2）解： SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
2．已知在前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】
（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）
设数列 SKIPIF 1 < 0 的的公差为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故有 SKIPIF 1 < 0
◆考点7:数列的奇数项和偶数项性质
1．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
【答案】B
【详解】
奇数项共有 SKIPIF 1 < 0 项，其和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
偶数项共有n项，其和为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
2．(多选)下列结论中正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，它的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 也是等差数列
B．若 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，它的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 也是等差数列
C．若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为 SKIPIF 1 < 0 ，它的偶数项和为 SKIPIF 1 < 0 ，奇数项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若等差数列 SKIPIF 1 < 0 的项数为 SKIPIF 1 < 0 ，它的偶数项和为 SKIPIF 1 < 0 ，奇数项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，故错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
故选：AD.
3．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，则公差d＝________.
【答案】2
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ＝5d即可求解.
【详解】
解:由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
4．已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为377，项数 SKIPIF 1 < 0 为奇数，且前 SKIPIF 1 < 0 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
【答案】29
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 为奇数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故所求的中间项为29．
故答案为：29
5．已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 共有32项，其公比 SKIPIF 1 < 0 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项之和是（ ）
A．30B．60C．90D．120
【答案】D
【详解】
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的所有项之和是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6．已知项数为奇数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【详解】
根据题意，数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，设 SKIPIF 1 < 0 ，
又由数列 SKIPIF 1 < 0 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ；
故选： SKIPIF 1 < 0
7．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【详解】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ,所有偶数项之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
结合等比数列求和公式有： SKIPIF 1 < 0 ，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
◆考点8:等差数列前n项和的函数特征
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是等差数列， SKIPIF 1 < 0 是其前 SKIPIF 1 < 0 项和.则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“对于任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
由等差数列前n项和公式知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴要使对于任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是递增等差数列，
∴“对于任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”必有“ SKIPIF 1 < 0 ”，
而 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，但不能保证“对于任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”成立，
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”是“对于任意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”的必要而不充分条件.
故选：B.
2．(多选)已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A．数列 SKIPIF 1 < 0 是递增数列B． SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大D．当 SKIPIF 1 < 0 时，n的最大值为14
【答案】BCD
【详解】
等差数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 公差 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，A错误
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，B正确.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 是递减数列，
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大,C正确.
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，n的最大值为14,D正确.
故选:BCD.
3．(多选)等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a15>0，a160B．d