第09讲 一元二次方程的解法及应用-备战2023年中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测（全国通用）

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(全国通用版)
第9讲一元二次方程
题组特训详解
选择题
1．已知是关于x的一元二次方程，那么a的值为（ ）
A．B．2
C．D．以上选项都不对
【详解】∵是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟记定义是解题的关键．
2．用直接开平方法解方程，方程必须满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
【详解】，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，理解直接开平方法的条件是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．－1C．1或－1D．0
【详解】把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
4．方程的根是（ ）
A．B．C．D．没有实数根
【详解】，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法－直接开平方法是解题的关键．
5．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法．
6．已知某一元二次方程的两根分别为，则这个方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】A、，解得：，，符合题意；
B、，解得：，，不符合题意；
C、，解得：，，不符合题意；
D、，解得：，，不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.
7．一元二次方程的解为（ ）
A．B．，C．，D．
【详解】，
∴，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键．
8．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0D．没有实数根
【详解】∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
9．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是( )
A．B．且
C．D．且
【详解】依题意，且，
解得：且，
故选：B．
10．为响应国家“双减政策”，某校2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为350分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为a，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【详解】设每季度平均每周作业时长的下降率为a，
∵2021年第三季度平均每周作业时长为600分钟，
∴2021年第四季度平均每周作业时长为分钟，
2022年第一季度平均每周作业时长为分钟，
∴，
故选：C．
11．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【详解】由函数图象知：当，即在点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即，
，
解得或，
由于，
．
，
∵点为的中点，
．
故选：A．
12．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（ ）
A．B．
C．D．
【详解】设道路的宽为米，依题意得，
故选：C．
二、填空题
13．方程的根是______．
【详解】原方程两边直接开平方可得：或者，
∴，，
故答案为：，．
14．关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，则的取值范围是______．
【详解】由题意得： ，
∴，
∴，
∴，，
∵关于的方程（为常数）有两个不相等的正根，
∴，
解得：
∴的取值范围是：
故答案为：
15．一元二次方程的解为______．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
16．方程的根是__________．
【详解】，
，
解得：，
故答案为：．
17．某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为_________
【详解】设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
18．如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为________．
【详解】如图，过点M作于点D，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：
三、解答题
19．解方程：
(1)；(2)．
【详解】（1）
即
∴，
解得：，
（2）
∵，，
∴，
解得：，
20．解方程
(1)(2)
【详解】（1）∵，
，
∴，
∴，．
（2）∵，
，
，
∴或，
解得：，．
21．2022年5月，教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长米，设矩形的一边长为米．
(1)矩形的另一边长为___________米（用含的代数式表示）；
(2)若矩形的面积为？，求的值；
(3)当为何值时，矩形的面积最大，最大面积为多少平方米？
【详解】（1）∵木栏总长米，两处各留米宽的门，设矩形的一边长为米，
∴长为：（米）．
故答案为：．
（2）根据题意得：，
解得：，，
∵当时，，
当时，，
∴不符合题意，舍去，
∴的值为．
（3）设矩形的面积为，
则，
∵，
∴时，的值最大，最大值为，
∴当为米时，矩形的面积最大，最大面积为平方米．
22．如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题：
(1)当点F运动到中点时，求的长；
(2)连接，当的面积为时，求t的值；
(3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）过点E作于M，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作，交的延长线于G，
∵，，
四边形是矩形，
∴（cm），
∵，
∴，
解得，
∴当时，的面积为；
（3）存在．
分两种情况：
①若时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②当时，
过点E作，过点P作，交的延长线于G，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠EFM+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，
∴∠EFM=∠FPG，
又∵∠EMF=∠PGF，
∴△EMF∽△FGP，
∴，
∴，
∴12−3t52=9+9t5×16−9t5，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，或时，为直角三角形．
过关检测详细解析
一．选择题
1．已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【详解】∵是关于的方程的一个根
∴
∴
∴
故选：B．
2．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
【详解】
即
∴
故答案为：A．
3．无论x取何值，代数式的值（ ）
A．总大于8B．总不小于8C．总不小于11D．总大于11
【详解】，
∵，
∴代数式的值总不小于8，
故选：B．
4．解方程）最适当的方法是（ ）
A．直接开方法B．配方法C．公式法D．分解因式法
【详解】
可化为：
故选：D．
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得：且，
故选：B．
6．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【详解】设有x人参加聚会，
由题意得，．
故选B．
7．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．4 cmB．8 cmC．6 cmD．4 cm或8 cm
【详解】
设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故选D.
8．空地上有一段长为a米的旧墙，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若，则有一种围法
B．若，则有一种围法
C．若，则有两种围法
D．若，则有一种围法
【详解】设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验符合题意，
综上：若，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
若，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为米，
∴
当时，采用图1围法，则此时
当时，

解得： 经检验符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为米，
结合可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
二、填空题
9．用求根公式解方程 ，求得 _________．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
10．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是_________．
【详解】由题意把代入一元二次方程得：
，解得：，
∴原方程为，
解方程得：，
∴方程的另一个根为；
故答案为：．
11．已知是一元二次方程的两根，则 _____．
【详解】∵是一元次方程的两根，
∴，，
∴
．
故答案为：．
12．如图，在一个长为，宽为的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部分为绿化用地，如果绿化用地的面积为，那么道路的宽为______．
【详解】设道路的宽为，
由题意得：，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴道路的宽为
故答案为：2．
13．某次聚会，每两个人握手一次，总共握手次，那么有___________人参加聚会．
【详解】设有x个人参加聚会，由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
故答案为：．
14．如图所示，在一幅长、宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是，则金色纸边的宽为 _____．
【详解】设金色纸边的宽为，
，
整理得：．
解得（舍）．
答：金色纸边的宽度为．
故答案为：8．
三、解答题
15．解方程：
(1)；(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16．解方程：
(1)（公式法）(2)
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
即；
（2）
∴，
∴，
即，
解得：．
17．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．若苗圃园的面积为72平方米，求x的值．
【详解】由题意，得
解得
又
解得
故答案为：12．
18．在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以每秒的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：
(1)如图1，当t为几秒时，的面积等于？
(2)如图2，以Q为圆心，为半径作．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形有三个公共点，请直接写出t的取值范围．
【详解】（1）∵当运动时间为t秒时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∵△PBQ的面积等于，
∴．
∴．
解得：，．
答：当t为1秒或5秒时，的面积等于．
（2）解①由题意可知圆Q与不相切．
如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．
∵，
∴．
∴．
∴为圆Q的切线．
当正好与四边形的边相切时，如图2所示．
由题意可知：．
在中，由勾股定理可知：，即．
解得：，（舍去）；
综上所述可知当或时，与四边形的一边相切．
②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；
如图3所示：当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点．
由题意可知：．
由勾股定理可知：，．
∵，
∴，即．
整理得：．
解得：，（舍去）。
∴当时，与四边形有三个．
19．为了有效预防和控制疫情，及时监测疫情发展态势，实施定期核酸检测．某社区准备搭建一个动态核酸检测点，现有33米可移动的隔离带，围成如图的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙面为）的矩形，内部分成两个区，区为登记区，区为检测区，入口通道在边上，两区通道在边上，出口通道在边上，通道宽均为1米．设，矩形的面积为．
(1)可表示为________；
(2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？
(3)所围成矩形的面积能否达到96平方米？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由．
【详解】（1）根据题意得：，
∴，
∴米，
则可表示为：，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
∵，
∴当时，有最大值，最大值是108；
（3）能
∵，
∴，
∴，
∴或，
答：能围成96平方米的面积，此时的长为4米或8米．
20．如图所示，△ABC中，，，.点从点开始沿AB边向以的速度移动，点从点开始沿BC边向点以的速度移动，当其中一个点先到达终点时，另一个点也随之停止运动，若，分别从A，B同时出发，记运动时间为则：
(1)当t为何值时，使△PBQ的面积等于？
(2)线段___________；（用含t的代数式表示）
(3)求的取值范围.
【详解】（1）∵AB=6，AP=t，BQ=2t，
∴BP=6-t，
∵△ABC中，，
∴，
∵，
∴，，
∵BC=8，
∴t≤4，
∵t≥0，
∴0≤t≤4，
∴t=2或t=4；
（2）；
故答案为：
（3）∵，
∴5＞0，对称轴为直线t=1.2，
∴当t=1.2时，有最小值28.8；
当t＜1.2时，随t的增大而减小，
∵0≤t≤4，
∴当t=0时，有最大值36；
当t＞1.2时，随t的增大而增大，
∴当t=4时，有最大值68；
∵36＜68，
∴．