2023学年二轮复习解答题专题四十二：动点引起的类比探究综合题

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2023学年二轮复习解答题专题四十二：
动点引起的类比探究综合题
方法点睛
解决动点引起的类比探究题的一般思路
通常需要先分析点在线段上运动的情况，运用相关知识，得到相关结论，再将问题进行升华，探究点在线段延长线上或反向延长线上的情况，抓住运动过程中不变的量和探究对象之间的关系，通过研究基本图形，分析运动过程，从特殊再到一般来解决问题．
典例分析
例． （2022鄂尔多斯中考）（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 　AE＝CF　，位置关系是 　AE⊥CF　；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．

【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
（2）①（1）中的结论还成立，
理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F+∠ECF＝90°，
∴∠E+∠ECF＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，

∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠EMD＝∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，
∴∠DMG＝∠GDM，
∴DG＝GM，
又∵DM＝6，
∴DG＝GM＝6，
∵DE＝12，
∴EG＝＝＝6，
∴EM＝GM+EG＝6+6．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
专题过关
1.（2022威海中考） 回顾：用数学的思维思考

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
（2）猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．
（3）探究：用数学的语言表达
如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）添加条件CD=BE，见解析
（3）能，0＜CF＜
【解析】
【分析】（1）①利用ASA证明△ABD≌△ACE．
②利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（2）添加条件CD=BE，证明AC+CD=AB+BE，从而利用SAS证明△ABD≌△ACE．
（3）在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，当BD=BF=BA时，可证△CBF∽△BAF，运用相似性质，求得CF的长即可．
【小问1详解】
①如图1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，

∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE =∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
②如图1，∵AB=AC，点D，E分别是边AC，AB的中点，
∴AE=AD，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
【小问2详解】
添加条件CD=BE，证明如下：
∵AB=AC，CD=BE，

∴AC+CD=AB+BE，
∴AD=AE，
∵AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE．
【小问3详解】
能
在AC上取一点D，使得BD=CE，根据BF=CE，得到BD=BF，

当BD=BF=BA时，E与A重合，
∵∠A＝36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠BFA=36°，
∴∠ABF=∠BCF=108°，∠BFC=∠AFB，
∴△CBF∽△BAF，
∴，
∵AB＝AC＝2=BF， 设CF=x，
∴，
整理，得，
解得x=，x=（舍去），
故CF= x=，
∴0＜CF＜．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定性质是解题的关键．
2. （2022牡丹江中考） 在菱形和正三角形中，，是的中点，连接、．

（1）如图1，当点在边上时，写出与的数量关系 ．（不必证明）
（2）如图2，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图3，当点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）延长交于点，利用，得出，，得到，是的中垂线，在中，，利用正切函数即可求解；
（2）延长交于点，连接，，先证明，再证明，利用在中，，即可求解；
（3）延长到，使，连接，，，作FE∥DC，先证，再证，利用在中，，即可求解．
【小问1详解】
解：如图1，延长交于点，

∵是的中点，
∴PD=PF，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵是正三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，
是的中垂线，
在中，，
．
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图2，延长交于点，连接，，

，正三角形，
∴，
，
在和中，


，，
，，
在和中，


，，
，
，
，
．
【小问3详解】
解：猜想： ．
证明：如图3，延长到，使，连接，，，作FEDC，

是线段的中点，
，
，
，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，点、、又在一条直线上，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
即
，，
，，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形．
3. （2022扬州中考） 如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点．


（1）分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；
①点在线段的延长线上且；
②点在线段上且．
（2）若．
①当时，求的长；
②直接写出运动过程中线段长度的最小值．
【答案】（1）①②
（2）①②4
【解析】
【分析】（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出
②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出
（2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，, ，列等式求解a即可
②当，AE最小，计算思路与（2）的①相同
【小问1详解】
①如图：


∵在中，，
∴
∵
∴

在中：

∴

∴
②如图：


∵
∴，
∴在中，
∴
∴
【小问2详解】
①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H


易知：（一线三垂直）
设，
则，，
在中，，AB=6
则，
在中，，
则
在中，，


由


解得：，（舍）
故
②当，AE最小，最小为4
【点睛】本题考查几何综合，涉及特殊直角三角形，相似，等腰三角形，本题突破点是作辅助线构造一线三垂直的相似.
4. （2022河南西平一模） 如图1，是边长为6cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且cm．点D从O点出发，沿OM方向运动．当点D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．连接BE，DE．

（1）如图1，当点D在线段OA上运动时，线段BD、BE、BC之间的数量关系是______，直线AD和直线BE所夹锐角的度数是______；
（2）如图2，当点D运动到线段AB（不与A点重合）上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
（3）如图3，将改为等腰直角三角形，其中斜边，其它条件不变，以CD为斜边在其右侧作等腰直角三角形CDE，连接BE，请问BE是否存在最小值，若存在，直接写出答案；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）（1）中结论不成立，应为；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立．理由见解析
（3）存在，BE的最小值为
【解析】
【分析】（1）结论为：BD= BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°；根据旋转得出CD=CE，∠DCE=60°，再证．然后证明△DCA≌△ECB（SAS）即可
（2）先根据旋转得出，．再证．然后证明△DCA≌△ECB（SAS）即可；
（3）如图，作于点F，连结EF，根据，∠DFC=90°，得出C，D，E，F四点共圆．CD为直径，根据等腰直角三角形三线合一性质得出AF=BF=CF=3，根据勾股定理AC=BC=，根据△DEC为等腰直角三角形，得出∠CDE=∠CFE=45°进而得出点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分，当点E在BC上时，BE最短，然后求出BE即可．
【小问1详解】
解：结论为：BD= BE+BC；直线AD和直线BE所夹锐角的度数是60°；
∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE．
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠DCA+∠ACE=60°，
∵△ABC等边三角形，
∴AC=BC=AB，∠ACB=∠CAB=60°，
∴∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠DCA=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴DA=EB，∠DAC=∠EBC=180°-∠CAB=120°，
∴BD=DA+AB=BE+BC，
∴BD= BE+BC，
∠DBE=∠EBC-∠ABC=120°-60°=60°，
故答案为BD= BE+BC；60°；
【小问2详解】
解：（1）中结论不成立，
应为；直线AD与直线BE所夹锐角的度数为60°成立．
理由如下：
∵线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，
∴，．
∵在等边三角形中，，
，
∴．
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴，．
∴，
．
【小问3详解】
解：存在，BE的最小值为．
如图，作于点F，连结EF，
∵，∠DFC=90°，
∴C，D，E，F四点共圆．CD为直径，

∵AB=6，CF⊥AB，AC=BC，
∴AF=BF=CF=3，AC=BC=，
∵△DEC为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CFE=45°，
∴点E运动轨迹是∠CFB的平分线所在的直线的一部分，
当点E在BC上时．BE最短，
∵DE平分∠CDB，CF=BF，
∴BE=CE=．

【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，动点问题，掌握图形旋转，三角形全等判定与性质，等边三角形判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，动点问题是解题关键．
5. （2022平顶山二模）（1）如图1，已知△ABC是等边三角形，D，E分别为边AB，AC的中点，连接BE，CD，BE与CD交于点P．试判断：①∠BPD的度数为______；②线段PB，PD，PE之间的数量关系：PB______PD+PE．（填写“>”或“