新高考数学考前冲刺卷14（A3版，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学考前冲刺卷14（A3版，原卷版+解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
新高考数学考前冲刺卷
数 学（十四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，设，，则
（ ）
A． B． C． D．
2．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的既不充分也不必要条件 B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件
3．已知，，，若，则向量，夹角的正切值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．若，满足条件，则的最大值（ ）
A．22 B．2 C．4 D．20
5．设为直线上的动点，，为圆的两条切线，为切点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这个科目中任选门作为选考科目，甲和乙分别从科中任选科，若他俩所选科目都有物理．其余科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为（ ）米．

A． B． C． D．
8．如图所示的三棱锥，平面，，若，，，，当取最大值时，点到平面的距离为（ ）

A． B． C． D．5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下图是2010-2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（ ）

A．2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过260万人
C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低
10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若该数列的前三项依次为，，，则
D．数列为递减的等差数列
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则
B．当时，在区间上的最小值为
C．当时，在区间上单调递增
D．当时，将图象向右平移个单位长度得到的图象
12．已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C． D．若，则

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在的展开式中，含项的系数为_________．
14．已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为___________．
15．过抛物线焦点的直线交于，两点，点在第一象限，若，则直线的倾斜角为__________．
16．设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前项和满足，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．














18．（12分）如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，，．
（1）求边的长度；
（2）求的面积．











19．（12分）学校食品安全问题关系着师生的身心健康，一直受到社会各界的高度关注．为进一步加强学校食堂安全管理，某市卫生监督部门决定对本市所有学校进行一次食品安全抽查．某中学按照要求，将卫生监督部门当天检查的所售菜品取样分成甲、乙两组，甲组菜品有不同的荤菜份和不同的素菜份，乙组菜品有荤菜份和不同的素菜份，已知从甲组菜品中随机任取两份菜样，在第一次抽到素菜的条件下，第二次抽到荤菜的概率是．
（1）求的值；
（2）若卫生监督部门第一次从甲组中随机抽取一份菜样，从第二次抽样开始，若前一次抽到荤菜，则再从甲组中抽取一份；若前一次抽到素菜，则再从乙组中抽取一份，第三次抽样后结束，每次抽取菜样都不放回．已知荤菜检测费用为元/份，素菜检测费用为元/份，求本次抽查检测费用的分布列和数学期望．













20．（12分）已知正方体和平面，直线平面，直线平面．
（1）证明：平面平面；
（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值．










21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，其中．设点，关于轴的对称点分别为，，当四边形的面积为时，求直线的方程．



















22．（12分）已知函数．
（1）当时，求证：函数没有零点；
（2）若存在两个不相等正实数，，满足，且，求实数a的取值范围．








新高考数学考前冲刺卷
数 学（十四）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∴，∴，
∵，
∴，∴，∴，
∴，故选C．
2．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的既不充分也不必要条件 B．是的必要条件
C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件
【答案】D
【解析】由题意得，
所以，
所以，所以是的充分条件，故A错误；
是的充分条件，故B错误；
是的充要条件，故C错误；
是的充要条件，故D正确，
故选D．
3．已知，，，若，则向量，夹角的正切值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，
又，∴，可得，
由，，∴，
则向量，夹角的正切值为1，故选B．
4．若，满足条件，则的最大值（ ）
A．22 B．2 C．4 D．20
【答案】A
【解析】如图所示：

，所以点，
目标函数，即，
令，所以目标函数的一条等值线为，
将该等值线移到点，目标函数取最大值，即，故选A．
5．设为直线上的动点，，为圆的两条切线，为切点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】如图，

，
要使四边形的面积最小，只需最小，
当PC垂直直线时，取最小值为，
四边形的面积最小值为，
即四边形的面积的最小值为1，故选D．
6．某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这个科目中任选门作为选考科目，甲和乙分别从科中任选科，若他俩所选科目都有物理．其余科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从科中任选科共种不同的方案，两人分别从科中任选科，
共有种不同的方案．
因为他们都选了物理，其余科又不同，所以对甲是否选化学分成两类讨论：
第类甲选化学，甲只需再从生物、地理、政治门中选门，有种方法，乙从剩余门中选门，有种方法，所以一共有种选法；
第类甲不选化学，甲又不选历史，所以他只能从生物、政治、地理门中选门，有种方法，乙只能选剩下的门，有种方法，此时一共有种选法，
综上所知，满足要求的选法共有种，所以所求事件的概率，
故选B．
7．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC=60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC=15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO=30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为（ ）米．

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
在中，，，，
由正弦定理得，即，解得，
故选B．
8．如图所示的三棱锥，平面，，若，，，，当取最大值时，点到平面的距离为（ ）

A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】平面，，
又，，，
，（当且仅当时等号成立），
所以当取最大值时，，
平面，，
又，且，平面，，
设点到平面的距离为，由，即，
即，所以，
即是点到平面的距离为5，故选D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下图是2010-2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（ ）

A．2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过260万人
C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低
【答案】ABC
【解析】由统计图表，2015年比2014年考研报名人数少，A错；
考研人数最大是330万，最小是145万左右，极差估计是185万，B错；
报考人数最少的是2010年，C错；
从报录比图看2015年报录比最低，D正确，
故选ABC．
10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若该数列的前三项依次为，，，则
D．数列为递减的等差数列
【答案】AC
【解析】令，则，
因为，所以为等差数列且公差，故A正确；
由，所以，故B错误；
根据等差数列的性质，可得，所以，，
故，故C正确；
由，
因为，所以是递增的等差数列，故D错误，
故选AC．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则
B．当时，在区间上的最小值为
C．当时，在区间上单调递增
D．当时，将图象向右平移个单位长度得到的图象
【答案】BD
【解析】
，
A．的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则，，，A错；
B．当时，，时，，
的最小值为，B正确；
C．当时，，时，，，
即时，取得最小值，因此在此区间上，函数不单调，C错；
D．时，，将图象向右平移个单位长度得到图象的解析式为，D正确，
故选BD．
12．已知函数有两个零点，，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C． D．若，则
【答案】ABD
【解析】令，得，记，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
且时，，，时，，
据题意知的图象与的图象有两个交点，且交点的横坐标为，，
所以，故A选项正确；
因为，
所以当时，，递增，
因为，所以，故B选项正确；
当时，，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以C选项错误；
因为在递增，在递减，且，
所以，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，故D选项正确，
故选ABD．

第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在的展开式中，含项的系数为_________．
【答案】100
【解析】展开式中通项为，
在的展开式中，
含项的系数为，
故答案为．
14．已知，则复数在复平面内所对应点的轨迹方程为___________．
【答案】
【解析】∵复数在复平面内所对应点，
又，∴，
即点到点，和的距离之和为6，且两定点的距离为，
故点的运动轨迹是以点为焦点的椭圆，且，
故，
∴复数在复平面内所对应点的轨迹方程为，
故答案为．
15．过抛物线焦点的直线交于，两点，点在第一象限，
若，则直线的倾斜角为__________．
【答案】
【解析】过作，垂直准线，垂足为，，
过作垂线，垂足为，
由抛物线定义知，，．
所以，
又因为，所以，即直线的倾斜角为，
故答案为．

16．设函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________；若函数恰有5个的零点，则的取值范围为__________．
【答案】或，
【解析】①，
当时，，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，
若函数在区间上单调递增，则或，
解得或．
②若函数恰有5个的零点，令，
由图象可知：，有可能有1个，2个，3个解，
若有五个解，则有两根，且，或．
当，时，不存在，
当，时，．

故答案为或，．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列的前项和满足，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由，可得时，，解得；
当时，，
即有，
上式对也成立，所以，
因此．
（2）由（1）得，
所以，
则，
上面两式相减可得
，
整理得．
18．（12分）如图，设中角所对的边分别为，为边上的中线，已知，，．

（1）求边的长度；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件，
可得，即，
化简可得，
因为，所以．
（2）因为为中点，所以，
设，
由，
得，
又，
所以，
化简可得，解得或，
又，所以，则，
所以的面积为．
19．（12分）学校食品安全问题关系着师生的身心健康，一直受到社会各界的高度关注．为进一步加强学校食堂安全管理，某市卫生监督部门决定对本市所有学校进行一次食品安全抽查．某中学按照要求，将卫生监督部门当天检查的所售菜品取样分成甲、乙两组，甲组菜品有不同的荤菜份和不同的素菜份，乙组菜品有荤菜份和不同的素菜份，已知从甲组菜品中随机任取两份菜样，在第一次抽到素菜的条件下，第二次抽到荤菜的概率是．
（1）求的值；
（2）若卫生监督部门第一次从甲组中随机抽取一份菜样，从第二次抽样开始，若前一次抽到荤菜，则再从甲组中抽取一份；若前一次抽到素菜，则再从乙组中抽取一份，第三次抽样后结束，每次抽取菜样都不放回．已知荤菜检测费用为元/份，素菜检测费用为元/份，求本次抽查检测费用的分布列和数学期望．
【答案】（1）3；（2）分布列见解析，元．
【解析】（1）设第一次抽到素菜为事件A，第二次抽到荤菜为事件B，
∴，，
∵，∴．
（2）设卫生监督部门抽样结束后，抽取荤菜的份数为，检测费用为，
其中可以取，则的可能取值为180，200，220，240．
；；
；，
所以检测费用的分布列为










所以检测费用的数学期望为（元）．
20．（12分）已知正方体和平面，直线平面，直线平面．

（1）证明：平面平面；
（2）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为．
【解析】（1）证明：连接，则，
因为平面，平面，所以，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
同理；
因为，所以平面．
因为平面，过直线作平面与平面相交于直线，则，
所以平面，
又平面，所以平面平面．

（2）设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则；
设，则，
因为，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当时，取到最大值为，
此时的最大值为．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，其中．设点，关于轴的对称点分别为，，当四边形的面积为时，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或或或．
【解析】（1）由题可知，当点与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，
设，，
因为的面积的最大值为，所以，
即，
又，所以，，
则，解得，
由，结合，可得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，，
由及四边形的面积为，可知点，位于轴同侧，
且，
将代入，消去可得，
则，，且，即，
所以，
整理可得，解得或，即或，
所以直线的方程为或或或．
22．（12分）已知函数．
（1）当时，求证：函数没有零点；
（2）若存在两个不相等正实数，，满足，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）当时，，，
；，
在单调递减，在单调递增，
，函数没有零点．
（2）令，
，，
，，
令，在有解，
令，，则，
设为方程的两根，且，
方程必有一根在，
或无解，
综上所述：．