湖南省天壹名校联盟2024届高三数学上学期9月大联考试题（Word版附解析）

天壹名校联盟·2024届高三9月大联考

数学

本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）

A． B． C． D．3

4．为研究变量的相关关系，收集得到下面五个样本点：

若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本点是（    ）

A． B． C． D．

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

6．如图，在正方体中，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（    ）

A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条

7．若等比数列的公比，前项和为，则“”是“成等比数列的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．图①是某市某条公共汽车线路收支差额y（万元）（门票销售额减去投入的成本费用）关于乘客人数x（万人）的函数图象，营运初期该条公共汽车线路为亏损状态，为了实现扭亏为盈，公共汽车采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（    ）

    图①                 图②                 图③

A．图①中点A的实际意义表示该条公共汽车线路投入的成本费用为1万元

B．图①中点B的实际意义表示当乘客人数为1.5万人时，该条公共汽车线路的收支恰好平衡

C．图②该条公共汽车线路实行的措施是降低门票的售价

D．图③该条公共汽车线路实行的措施是减少投入的成本费用

10．已知是定义在上不恒为0的奇函数，是的导函数，则（    ）

A．为奇函数  B．为偶函数

C．为奇函数  D．为偶函数

11．已知数据成公差大于0的等差数列，若去掉数据，则（    ）

A．极差不变 B．第25百分位数变大 C．平均数不变 D．方差变小

12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最小正周期为

B．的图象关于点对称

C．若在上单调递增，则

D．当时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知复数满足，则的值为__________．

14．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要将共5名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱至少要安排2人，问天实验舱与梦天实验舱都至少要安排1人，则不同的安排方案共有__________种．（用数字作答）

15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具．如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为__________．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

在中，角的对边分别为，且．

（1）求的大小；

（2）若，角的平分线交于，求的长．

18．（本小题满分12分）

如图，在多面体中，四边形均为正方形，为的中点，过点的平面交于点．

（1）证明：；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求证：．

20．（本小题满分12分）

某中学为了解学生课外玩网络游戏（俗称“网游”）的情况，使调查结果尽量真实可靠，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：一个袋子中装有6个大小相同的小球，其中2个黑球，4个红球，所有学生从袋子中有放回地随机摸球两次，每次摸出一球，约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”。

方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”；

方式②：若你课外玩网游，则在问卷中画“√”，否则画“×”．

当所有学生完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例，用频率估计概率．

（1）若高一某班有45名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望；

（2）若所有调查问卷中，画“√”与画“×”的比例为1∶2，试用所学概率知识求该中学高一年级学生课外玩网游的估计值．（估计值）

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求证：；

（2）求函数的极值．

22．（本小题满分12分）

已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为2，记动圆圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）已知正方形有三个顶点在曲线上，求该正方形面积的最小值．

天壹名校联盟·2024届高三9月大联考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．【答案】C

【解析】依题意，全集，而，所以，故选C．

2．【答案】D

【解析】由．

对于A，，故A错误；

对于B，若，由，故B错误；

对于C，若，由，故C错误；

对于D，若，则，符合，故D正确，故选D．

3．【答案】A

【解析】由题设知，，解得，故选A．

4．【答案】C

【解析】由题意可知，，所以回归方程的样本中心点为，故残差为0的样本点是，故选C．

5．【答案】A

【解析】因为，又，所以．故选A．

6．【答案】D

【解析】正方体中，分别是棱和线段上的动点，过点作垂直于的平面，交于点，则．

因为是上的动点，所以过点与垂直的平面有无数个，所以满足条件的点也有无数个，所以有无数个满足条件的直线，即满足与垂直的直线有无数条．故选D．

7．【答案】C

【解析】若，则，，

同理，

因此对任意的构成等比数列，公比为．

再证明：若对任意的构成等比数列，则．

若，则为偶数时，，此时不能构成等比数列，与已知矛盾，

故成立，故选C．

8．【答案】B

【解析】因为，

所以，即，故，所以，故选B．

9．【答案】ABD

【解析】对于A：图①中点A的实际意义表示该条公共汽车线路投入成本为1万元，正确；

对于B：图①中点B的实际意义表示当乘客人数为1.5万人时，该条公共汽车线路的收支恰好平衡，正确；

对于C：图②该条公共汽车线路实行的措施是提高门票的售价，错误；

对于D：图③该条公共汽车线路实行的措施是减少投入的成本费用，正确．故选ABD．

10．【答案】ABD

【解析】根据题意，可得，因为为奇函数，可得，可得，即，即，所以为偶函数．

由，即为奇函数，所以A正确；

由，即为偶函数，所以B正确；

由，所以为偶函数，所以C错误；

由，所以为偶函数，所以D正确．故选ABD．

11．【答案】AC

【解析】对于A，原数据的极差为，去掉后的极差为，即极差不变，故A正确；

对于B，原数据的第25百分位数为，去掉后的第25百分位数为，即第25百分位数变小，故B错误；

对于C，原数据的平均数为，去掉后的平均数为，即平均数不变，故C正确；

对于D，则原数据的方差为，

去掉后的方差为，

故，即方差变大，故D错误，故选AC．

12．【答案】BC

【解析】对于A，的最小正周期为，故A错误；

对于B，因为，所以的图象关于点对称，故B正确；

对于C，．当时，在上恒成立；

当时，在上恒成立，可得，

从而有，即；

当时，在上恒成立，可得，

从而有，即，综上知，，故C正确；

对于D，当时，，

当时，，当时，

所以，故D错误，故选BC．

13．【答案】

【解析】因为，所以．

14．【答案】80

【解析】由题意可先分两类，第一类核心舱安排3人，其他两实验舱各安排1人，则有种安排方案；

第二类核心舱安排2人，其他两实验舱一个2人，一个1人，则有种安排方案，故不同的安排方案共有80种．

15．【答案】

【解析】由题意，作正四棱台的对角面，如图，为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方形对角线，为外接球球心，为线段中点，

则，过点作，垂足为．

因为，所以，

所以正四棱台的的体积．

16．【答案】

【解析】因为，所以，

即，

所以，所以．

设，则，所以，

由得，

所以，所以，

在中，由，

得，所以．

17．解：（1）因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

又，所以；

（2）在中，由余弦定理得，即，

所以，所以．

因为的平分线交于，所以，所以，

在中，由正弦定理得，解得．

解法二：由易求得．

18．（1）证明：，

四边形为平行四边形，．

又平面平面平面，

平面，平面平面；

（2）解：由（1）知，，∴F为的中点．

以为坐标原点，分别为轴、轴和轴的正方向，

建立如图所示空间直角坐标系，

设，则．

所以．

设平面的一个法向量为，

由得可取，

则．

同理可求得平面的一个法向量为．

设平面与平面的夹角为，则，

故所求夹角的余弦值为．

19．（1）解：当时，，

即，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此．

当时，，

所以数列是首项为1、公差为2的等差数列，因此．

故数列的通项公式为

（2）证明：由（1）知，，记．

则①,

②，

①－②得，

化简得．

故．

20．解：（1）每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率，

每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率．

由题意知，高一某班45名学生按方式①回答问卷的人数，

所以的数学期望；

（2）记事件为“按方式①回答问卷”，事件为“按方式②回答问卷”，事件为“在问卷中画‘√’号”．

由（1）知，，，．

由全概率公式，得，

所以，所以．

故由调查问卷估计，该中学高一年级学生课外玩网游的估计值是．

21．解：（1）令．

由基本不等式，得，当且仅当时等号成立．

又，所以，故；

（2）．

当时，，所以．

设，其中，则，所以在上单调递减．

当时，且．

又，则．

当时，．

当时，且．

又，则．

综上，在上恒大于0，在上恒小于0．因此是在的唯一极大值点，且的极大值为．

22．解：（1）设圆心．依题意可得，化简得，

故曲线的方程为；

（2）正方形有三个顶点在抛物线上，且．

设抛物线上的三点为，由题设知直线的斜率均存在且不为0，又由抛物线的对称性不妨设直线的斜率大于0，结合图形可知．

由及可得，，

即①，

由可得：，

即，

化简得②．

联立①②解得．

则该正方形面积．

令，则，

所以，所以在上单调递增，

故当，即时，该正方形的面积的最小值为8．