江苏省南通市2023-2024学年高三数学上学期期初质量监测试题（Word版附答案）

2023-2024学年（上）高三期初质量监测

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A. B. C. D.

2.复数的虚部为（    ）

A. B. C. D.

3.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

4.“”是“”的（    ）

A.充分且不必要条件  B.必要且不充分条件 

C.充要条件  D.既不充分又不必要条件

5.函数的图象大致为（    ）

A. B.

C. D.

6.已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A. B. C.0 D.1

7.已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A. B. C. D.

8.记函数在区间上的最大值为，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A.  B.当，时，

C.当，时， D.当，，且为偶数时，复数为纯虚数

10.已知，，且，则（    ）

A. B. C. D.

11.已知函数为上的奇函数，为偶函数，则（    ）

A. B.

C. D.

12.已知函数有两个零点，，且，则（    ）

A.  B.随的增大而减小

C.随的增大而增大 D.随的增大而增大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.写出满足且的一组数对______.

14.若命题“，”是假命题，则实数的最大值为______.

15.已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳-14含量，为树龄（单位：年）.通过测定发现某古树样品中碳-14含量为，则该古树的树龄约为______万年.（精确到0.01）（，）

16.已知函数关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知集合，.

（1）若，求；

（2）若是的充分且不必要条件，求的取值范围.

18.（12分）

已知函数为奇函数.

（1）求的值；

（2）若存在实数，使得成立，求的取值范围.

19.（12分）

已知函数.

（1）若函数的定义域和值域均为，求的值；

（2）若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围.

20.（12分）

已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点.

（1）求的解析式；

（2）若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围.

21.（12分）

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：当时，.

22.（12分）

已知函数.

（1）若，证明：；

（2）若在区间上有两个极值点，求的取值范围.

2023-2024学年（上）高三期初质量监测

数学参考答案与评分建议

1.【答案】A 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】A

5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】A

9.【答案】AC 10.【答案】BCD 11.【答案】BC 12.【答案】ABD

13.【答案】（答案不唯一，，即可）

14.【答案】 15.【答案】0.42 16.【答案】

17.【解析】（1）由，解得，所以，……2分

当时，……4分所以.……5分

（2）因为，所以.……7分

由，得，所以.……8分

因为是的充分不必要条件，所以，

所以，解得，故的取值范围为.……10分

18.【解析】（1）因为定义域为，

又因为为奇函数，所以，即，得.……2分

当时，， 所以，所以.……4分

（2）可化为，

因为是奇函数，所以.……6分

又由（1）知，

设，，且，则，

因为，所以，，，

所以，即故是上的减函数，……9分

所以（*）可化为.因为存在实数，使得成立，

所以，解得.所以的取值范围为.……12分

19.【解析】（1）因为的图象开口向上，且对称轴为

所以在上单调递减，所以，，……2分

因为定义域和值域均为，所以，解得，.……4分

（2）因为在区间上是减函数，所以.……5分

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.

又因为，所以.……8分

因为对任意的，，总有成立，所以，

即，整理得，，……10分

解得，，又因为，所以的取值范围为.……12分

20.【解析】（1），1分

因为，且的图象经过，两点.

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；当时，，单调递增.……3分

所以在处取得极小值，所以，

又因为，，所以，，

解得，，，所以.……6分

（2）设切点为，则，因为，所以，

所以切线方程为，……8分

将代入上式，得.

因为曲线恰有三条过点的切线，所以方程有三个不同实数解.

记，则导函数，令，得或1.

列表：

所以的极大值为，的极小值为，……10分

所以，解得.故的取值范围是.……12分

21.【解析】（1）的定义域为，……1分

导函数，……2分

当时，，在上单调递增；……3分

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

综上，时，在上单调递增；

时，在上单调递减，在上单调递增.……5分

（2）由（1）得，当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以.……7分

要证，只需证，即证.……9分

设，导函数，令，解得.

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.

所以.所以，所以，所以.……12分

22.【解析】（1）的定义域为.

当时，，令，则导函数.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.

所以，所以.……3分

又因为，所以，所以.……5分

（2）因为在上有两个极值点，

所以导函数在上有两个变号零点.……6分

由，得.设，，……8分

所以导函数，令，解得.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增.……10分

又，，，

故时，在上有两个不同的实数解，