2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）含参考答案

这是一份2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）含参考答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则　　A． B． C． D．2．若的共轭复数为，且，则　　A． B． C． D．3．某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是　　A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间4．的展开式中的系数为　　A．9 B．15 C．21 D．245．已知，且，则　　A． B． C． D．6．某校举办演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再将剩下的分数的平均分，作为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别应为　　A．？，86 B．？，87 C．？，87 D．？，867．如图，长方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点．给出以下结论：①在运动的过程中，直线能与平行；②直线与必然异面；③设直线，分别与平面相交于点，，则点可能在直线上．其中，所有正确结论的序号是　　A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．39．某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为　　A．168 B．192 C．240 D．33610．已知函数．若存在，，，使得，则的最大值为　　A． B． C． D．11．在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．12．已知，，，，则三数的大小关系是　　A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数，满足则的最大值为 　　．14．已知，，若向量，的夹角为，则　　．15．如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　　．16．已知抛物线，圆过定点，圆心在上运动，且圆与轴交于，两点，记，，则的最大值 　　．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）某市对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果（结果分为“良好以下”或“良好及以上” 进行分析，得到如下的列联表： 良好以下良好及以上合计男350200550女250100350合计600300900（1）计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，．18．（12分）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19．（12分）已知棱锥的底面五边形中，为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，又．（1）在线段上找一点，使得平面平面，并说明理由；（2）在（1）的条件下，二面角为，求与平面所成角的正弦值．20．（12分）在平面直角坐标系内，椭圆过点，离心率为．（1）求的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数在上的最大值为．（1）求的值；（2）证明：函数在区间上有且仅有2个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]↩22．（10分）在平面直角坐标系中，为曲线为参数）上的动点，若将点的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点，记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）设，是上异于极点的两点，且，求面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]↩23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记函数的最大值为，若，证明：．
2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则　　A． B． C． D．【解析】：集合，，则．故选：．2．若的共轭复数为，且，则　　A． B． C． D．【解析】：，则，故．故选：．3．某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是　　A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间【解析】：对于，在2.5小时至3小时之间的人数为人，故正确；对于，该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为，故正确；对于，该校高三年级学生的平均做作业的时间为，故错误；对于，由图可估计该校高三年级学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的概率为，故正确．故选：．4．的展开式中的系数为　　A．9 B．15 C．21 D．24【解析】：根据二项式定理可得多项式的展开式中含的项为：，所以的系数为9．故选：．5．已知，且，则　　A． B． C． D．【解析】：因为，所以，因为，所以，即①，所以，又②，①②联立得（舍或，因为，且，所以．故选：．6．某校举办演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再将剩下的分数的平均分，作为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别应为　　A．？，86 B．？，87 C．？，87 D．？，86【解析】：由模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以，由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为．故选：．7．如图，长方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点．给出以下结论：①在运动的过程中，直线能与平行；②直线与必然异面；③设直线，分别与平面相交于点，，则点可能在直线上．其中，所有正确结论的序号是　　A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解析】：长方体中，，，，连接，，，当，分别是棱，中点时，由勾股定理得：，，，四边形是平行四边形，运动的过程中，直线能与平行，与相交，故①正确，②错误；以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，则当点，分别是、中点，且长方体为正方体时，设棱长为2，则，0，，，，，，2，，，，，，，，则，又两向量有公共点，，，三点共线，点可能在直线上，故③正确．故选：．8．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为　　A． B． C．2 D．3【解析】：设，可得，双曲线的左，右顶点分别为，，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．，过作轴的垂线，垂足为，所以，可得，结合，可得，又，所以双曲线的离心率为：．故选：．9．某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为　　A．168 B．192 C．240 D．336【解析】：第一位和最后一位出场讲演的是女生，此时有种，中间4人，为2男2女，任意排列有种，若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种，则共有种不同的安排方法．故选：．10．已知函数．若存在，，，使得，则的最大值为　　A． B． C． D．【解析】：因为，则由题意可得，是函数取得最大值的的值，则令，解得，又，，，要求的最大值，只需令，则，令，则，所以的最大值为．故选：．11．在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】：由，，，可把四面体扩充为一个长、宽、高分别为，，的长方体，且面上的对角线分别为3，3，4，并且，，，设球半径为，则有，，该四面体的外接球的表面积为．故选：．12．已知，，，，则三数的大小关系是　　A． B． C． D．【解析】：由于，函数是减函数，又因为，，，又，故选：．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数，满足则的最大值为 　1　．【解析】：由约束条件作出可行域如图，由图可知，令，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最大值为1．故答案为：1．14．已知，，若向量，的夹角为，则　　．【解析】：，，则，，解得：．故答案为：．15．如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　6　．【解析】：设，则由余弦定理可得，故，，则，且，因为为等腰直角三角形，且，故，，在中，由余弦定理可得，整理得，设，则，故，整理得，故△，整理得到，即，即，当时，，即，此时，因为，故此时唯一存在，综上，长的最大值为6．故答案为：6．16．已知抛物线，圆过定点，圆心在上运动，且圆与轴交于，两点，记，，则的最大值 　　．【解析】：设，则．半径，可得的方程为，令，得，，解得，不妨设，．，，，当时，由得，．当且仅当，即时取等号．当时，．综上可知：当时，所求最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）某市对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果（结果分为“良好以下”或“良好及以上” 进行分析，得到如下的列联表： 良好以下良好及以上合计男350200550女250100350合计600300900（1）计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828其中，．【解析】：（1）易知，所以没有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；（2）若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，易知体测结果等级为“良好及以上”的频率为，而的所有取值为0，1，2，3，4，此时，，，，，则的分布列为：01234所以．18．（12分）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】：选①②为条件，③为结论，即已知数列是等比数列，数列是等比数列，求证：．证明：设等比数列的公比为，由题意知且，则，，，是等比数列，，，展开整理得，，；选择①③为条件，②为结论，即已知数列是等比数列，，求证：数列是等比数列．证明：设等比数列的公比为，由题意知且，，，，，，，，数列是首项为，公比为的等比数列；选择②③为条件，①为结论，即已知数列是等比数列，，求证：数列是等比数列．证明：设数列的公比为，由题意得，且，则，，，且，，，当时，，，数列是首项为，公比为的等比数列．19．（12分）已知棱锥的底面五边形中，为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，又．（1）在线段上找一点，使得平面平面，并说明理由；（2）在（1）的条件下，二面角为，求与平面所成角的正弦值．【解析】：（1）线段的中点即为所求点．理由如下：连接交于点，连接，，四边形是正方形，为中点，又为线段的中点，所以，又平面，平面，所以平面，又依题意可得，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面；（2）由题意可得，，所以直线平面，，所以为二面角的平面角，即，如图，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，，，，，，则，，，，0，，设平面的法向量，，，由，可取，0，，又，，，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．20．（12分）在平面直角坐标系内，椭圆过点，离心率为．（1）求的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】：（1）由题可得，，①由，得，即，则，②将②代入①，解得，，故的方程为．（2）设存在点满足条件．记，，，，由消去，得．显然，判别式△，所以，，于是，上式为定值，当且仅当，解得或．此时，或．所以，存在定点或者满足条件．21．已知函数在上的最大值为．（1）求的值；（2）证明：函数在区间上有且仅有2个零点．【解析】：（1），因为，所以，又，所以，即．当时，，所以在区间上递增，所以，解得．当时，，所以在区间上递减，所以，不合题意．当，，不合题意．综上，．（2）设，则，所以在上单调递减，又，所以存在唯一的，使得，当时，，即，所以在上单调递增；当时，，即，所以在上单调递减，又，所以在与上各有一个零点，综上，函数在区间上有且仅有两个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]↩22．（10分）在平面直角坐标系中，为曲线为参数）上的动点，若将点的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点，记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）设，是上异于极点的两点，且，求面积的最大值．【解析】：（1）为曲线为参数）上的动点，化为普通方程为：．设，，可得，消去和得到：．即，根据，转换为极坐标方程为．（2）设，，，则，，，当时，有最大值：．[选修4-5：不等式选讲]↩23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）记函数的最大值为，若，证明：．【解答】（1）解：因为函数，所以不等式，等价于，或，或，解得，或，或，所以不等式的解集为；（2）证明：画出函数的图象，如图所示：由图象知，函数的最大值为，所以，所以．当且仅当，即，时取“”．