2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期5月质量监测数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期5月质量监测数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南通市通州区金沙中学高一下学期5月质量监测数学试题 一、单选题1．已知且，若集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的定义求解即可【详解】因为集合，且，所以，故选：C2．在中，“”是“”的（     ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据三角函数表，在三角形中，当时，即可求解【详解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题3．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高.【详解】设圆锥的底面圆的半径为 ，母线为，则，所以其侧面积为，解得，所以圆锥的高为.故选：C.4．复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【分析】利用复数在复平面内的几何意义，转化点到点的距离求解.【详解】设， 复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动， 表示点与复数的对应点的距离，故选：B.5．已知，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正切的倍角公式和和角公式计算即可.【详解】由已知可得，所以.故选：B6．设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ）A．，则 B．，则C．，则 D．，则【答案】D【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答.【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线，显然满足，而，此时不成立，A错误；对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，B错误；对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线，显然满足，而，此时不成立，C错误；对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.故选：D7．已知锐角三边长分别为，，，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理建立不等式，解不等式求出实数的取值范围.【详解】显然边长x<x+1,所以只需和的对角均为锐角即可，由余弦定理得：，解得：．故选：A【点睛】已知三边，判断是锐角三角形还是钝角三角形的方法：①如果一个三角形的最长边平方=其他两边的平方和，这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的最长边平方>其他两边的平方和，这个三角形是钝角三角形；③如果一个三角形的最长边平方<其他两边的平方和，这个三角形是锐角三角形；④特别地：如果一个三角形的三条边相等，这个三角形是等边三角形，也是锐角三角形。8．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，由正弦定理求出，进而利用三角函数求出高度.【详解】由题意得：，，在中，，在中，，由正弦定理得：，即，解得：，由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC，则（m）.故选：B 二、多选题9．复数，i是虚数单位，则下列结论正确的是（    ）A．z的实部是  B．z的共轭复数为C．z的实部与虚部之和为2 D．z在复平面内的对应点位于第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的基本概念和共轭复数的概念，以及复数的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，所以A正确；又由共轭复数的概念，可得，所以B错误；由复数的实部与虚部之和为，所以C正确；由复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以D正确.故选：ACD.10．已知函数，则（    ）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．若，则函数的值域为D．函数的单调递减区间为【答案】AD【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C；求解正弦型函数的递减区间判断选项D.【详解】选项A：，则函数的图象关于点对称.判断正确；选项B：，则函数的图象不关于直线对称. 判断错误；选项C：由，可得，则，即若，则函数的值域为.判断错误；选项D：由，可得，即函数的单调递减区间为.判断正确.故选：AD11．已知向量，，则（    ）A．与方向相同的单位向量的坐标为B．当时，与的夹角为锐角C．当时，、可作为平面内的一组基底D．当时，在方向上的投影向量为【答案】BC【分析】根据与方向相同的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项.【详解】对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误；对于B，当时，，，，所以，与的夹角为锐角，故B正确；对于C，当时，，，则，则与不平行，、可作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为，当时，，，，，所以，故D错误．故选：BC.12．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：其中正确结论的为（    ）    A．直线与直线是异面直线；B．直线与直线是异面直线；C．直线与直线MN共面；D．直线与直线是异面直线.【答案】BCD【分析】作出直观图，根据异面直线的定义逐项判断即可.【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示：    对于A，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，故直线与直线是共面直线，故A错误；对于B，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线与直线是异面直线，故B正确；对于C，N，Q重合，故直线与直线共面，故C正确；对于D，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线与直线是异面直线，故D正确；故选：BCD. 三、填空题13．命题“，”的否定为       ．【答案】，【分析】特称命题的否定是全称命题，改写量词的同时否定结论，直接写出结果即可．【详解】命题“，”的否定为“，”故答案为：，．14．函数的零点个数为         .【答案】【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果.【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数，即函数与的交点个数，作出函数与的图象如下图所示，  由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点，函数的零点个数为.故答案为：.15．若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且，，则该平面图形的面积为          .【答案】【分析】先在直观图求出的长，然后利用原图与直观图的关系求出原图的面积【详解】作，，因为，，所以，.因此.又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，，即原图为直角梯形，且高为直观图中的2倍，所以该平面图形的面积为.故答案为： 四、双空题16．如图，正方体的棱长为2， E是棱的中点，平面截正方体所得截面图形的周长为        ，若F是侧面上的动点，且满足平面，则点F的轨迹长度为        .  【答案】     /     【分析】由平行线确定一个平面，利用中位线找到截面并求周长；构造面面平行，找到点F的轨迹并求长度.【详解】取CD中点G，连接BG、EG，正方体中，，，四边形为平行四边形，则，E是中点，G是CD中点，，则等腰梯形为截面，  而，，故梯形的周长为；取中点M，中点N，连接，则，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为.故答案为：；. 五、解答题17．已知复数是纯虚数，是实数.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解；（2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算．【详解】（1）设且.则为实数，所以，所以，所以 ；（2）由（1），，所以．18．已知．(1)求的周期；(2)若，其中，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）首先化简函数，再求函数的周期；（2）由（1）知，再根据三角恒等变换，即可化简求值.【详解】（1） 所以的周期为.（2），∴，由  得，由，得，∴，∴ .19．在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解.问题：的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_________.（1）求角A的大小；（2）若，求角B的大小.【答案】（1）； （2）或.【分析】（1）若选①：由正弦定理和三角形的内角和定理，以及两角和的正弦公式，化简求得，即可求解；若选②：由已知可得，根据余弦定理求得，即可求解；若选③：由已知和三角恒等变换的公式化简得到，即可求解；（2）根据题意化简得到，结合，即可求解.【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得，可得，因为，所以.因为，所以.若选②：因为，可得，由余弦定理得.因为，所以.若选③：因为，可得，所以，即（，否则不合题意）.因为，所以.（2）因为，所以.即，又因为，所以.原式可化为，化简得.因为，所以，所以或.所以或.20．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．  (1)求证：AB∥EF；(2)求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）证明线线平行，一般思路为利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化.（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理证明，即先证线面垂直.【详解】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为平面CDEF，平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．                              因为平面ABFE，平面平面，所以AB∥EF．（2）因为DE⊥平面ABCD，平面ABCD，所以DE⊥BC.因为BC⊥CD，，平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF． 因为BC平面BCF，平面BCF⊥平面CDEF．21．在中，，，，.(1)用向量和向量分别表示向量，；(2)若，且角为直角，求的值.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据条件，结合向量加减法法则即可求解；（2）根据、角是直角即可求解的值.【详解】（1）；；（2）由题意可知，，，因角是直角，则，，化简为，此时，综上，的值是.22．如图，在直三棱柱中，，D为的中点，为上一点，且．(1)证明：∥平面；(2)若，，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）如图，连接交于点，连接，证明，原题即得证；（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作，垂足为，连接，过作，垂足为，先证明平面，即线段为点到平面的距离，再求出即得解.【详解】（1）如图，连接交于点，连接，因为四边形为矩形，且为的中点，所以，又因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）由题知点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，过作，垂足为，连接，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以.又平面，，所以平面，即线段为点到平面的距离．因为，，，所以，由几何关系可知，所以，，由几何关系可知，所以，故点到的距离为．