陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题

这是一份陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
榆林十中第2022-2023学年度第二学期期中考试高二年级理科数学试题考试时间：120分钟；命题：高二数学组第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分）1．若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用反证法证明命题“设为实数，若是无理数，则至少有一个是无理数”时，假设正确的是（    ）A．假设不都是无理数 B．假设至少有一个是有理数C．假设都是有理数 D．假设至少有一个不是无理数3．在直角坐标系中，点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以为（    ）A． B． C． D．4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）A． B． C． D．5．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（    ）  三角锥垛正视  三角锥垛俯视（参考公式：）A．1450 B．1490 C．1540 D．15806．设随机变量，若，则（    ）A． B． C． D．7．用数学归纳法证明：，当时，左端应在的基础上加上（    ）A．  B．C． D．8．函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（    ）A．10 B．14 C．16 D．1210．曲线与直线及轴所围成的图形的面积为（    ）A． B． C．1 D．11．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的两个数字之积是0的概率为（    ）A． B． C． D．12．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（    ）A．4 B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．14．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好学生”的人数，则当取______时，对应的概率为．15．马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表123??请小牛同学计算的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案______．16．已知函数．①在上单调递减，在上单调递增；②在上仅有一个零点；③若关于的方程有两个实数解，则；④在上有最大值，无最小值．上述说法正确的是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为512．（1）求的值：（2）求展开式中的常数项．18．（本小题满分12分．已知函数在处有极值36．（1）求实数的值；（2）当时，求的单调递增区间．19．（本小题满分12分）新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商，网络直播、职业创作者等，下表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：月份1234新增微商电商个数90105125140（1）请利用所给数据求新增微商电商个数与月份之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；（2）一般认为当时，线性回归方程的拟合效果非常好；当时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好?说明你的理由．，，，，，．20．（本小题满分12分）一盒子中有8个大小完全相同的小球，其中3个红球，4个白球，1个黑球．（1）若不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，求在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率；（2）若从盒中有放回的取球3次，求取出的3个球中白球个数的分布列和数学期望．21．（本小题满分12分）在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撒子”天才，如：相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有《变形记》的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等．正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左粒子”会更聪明，这是真的吗?某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调查．他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为高智商人群，统计情况如下表． 智力商数不低于120智力商数低于120总计惯用左手4610惯用右手167490总计2080100（1）能否有的把握认为智力商数与是否惯用左手有关?（2）从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率．参考公式：，其中．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82822．（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围． 参考答案1．A【分析】利用复数的除法化简复数，再由共轭复数的定义求其共轭复数，利用复数的几何意义判断复数的对应点的坐标及所在象限位置．【详解】由已知可得，所以复数的共轭复数，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，该点在第一象限．故选：A．2．C【分析】反证法中“至少有一个是无理数”的假设为“假设都不是无理数”，对照选项即可得到答案．【详解】依题意，反证法中“至少有一个是无理数”的假设为“假设都不是无理数”，即“假设都是有理数”．故选：C．3．B【分析】根据及点位于第三象限计算可得．【详解】点位于第三象限，又，所以，所以，即点的极坐标可以为．故选：B4．A【分析】利用导数的几何意义求切线方程．【详解】，所以曲线在点处的切线方程为，即．故选：A5．C【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考公式及等差数列前项和公式即可求解．【详解】因为“三角形数”可以写为所以第层“三角形数”为，所以层时，垛球的总个数为：，所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为．故选：C．6．D【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于的方程，解出的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．【详解】随机变量，解得，∴，则．故选：D．7．C【分析】分别确定和时等式左端的式子，由此可得结果．【详解】解：当时，等式左端为，当时，等式左端为，两式比较可知，增加的项为．故选：C．8．B【分析】依题意可得在区间上恒成立，解出即可．【详解】，函数在区间上单调递减，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是，故选：B．9．B【分析】根据题目要求分“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”三类，分别计算出每类的种数再由分类加法计数原理即可求解．【详解】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4种；②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6种；③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4种；所以不同分法总数为：种．故选：B．10．B【分析】利用定积分求得正确答案．【详解】由解得，所以曲线与直线及轴所围成的图形的面积为：．故选：B11．D【详解】满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零，两次数字均不为零的概率为：，则满足题意的概率值：．本题选择D选项．12．D【分析】根据给定的不等式，变形并分离参数，构造函数，利用导数探讨单调性求出最大值作答．【详解】，不等式，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即，依题意，，所以实数的最大值为．故选：D13．120【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案．【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，因为，所以，则数学成绩为优秀的人数是，故答案为：120．14．2或3【分析】根据超几何分布以及组合数的性质即可求出结果．【详解】由题意可知，服从超几何分布，日，所以，所以或3；故答案为：2或3．15．2【详解】试题分析：令?的数字是，则!的数值是，所以考点：数学期望点评：数学期望就是平均值，要得到随机变量的数学期望，则需先写出分布列．16．②④【分析】求出函数的导数，根据导数研究函数的单调性和极值，即可根据选项逐一求解．【详解】函数的导数，令得，，由得，由得，故在上单调递增，在上单调递减，故①错误，由①知当时，函数取得极大值，当时，恒成立，当时，恒成立，即在上仅有一个零点，故②正确，由②知若关于的方程有两个实数解，则，故③错误，由①②知在上有最大值，无最小值，故④正确，故答案为：②④17．（1）（2）672【分析】（1）根据二项式系数和求得．（2）结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项．【详解】（1）因为的展开式中所有项的二项式系数之和为512，所以，解得．（2）由通项公式，令，可得，所以展开式中的常数项为．18．（1）或（2）【分析】（1）求导，利用及，列出方程组，求出，检验后得到答案；（2）在（1）的基础上，由导函数大于0，解不等式，求出单调递增区间．【详解】（1）由题意知． 或，经检验都符合题意．（2）当时，由（1）得，∴，由，即，解得或，∴函数的单调递增区间为．19．（1）；（2）非常好，理由见解析．【分析】（1）根据已知条件，先结算出、的平均值，根据求出，根据求出的值，即可求得回归直线方程，将代入到该方程中，即可预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数．（2）由已知条件，根据求出即可判断．（1）由表中数据可得，，，则，故所求回归直线方程为，令，则．∴该市2021年5月新增“微商电商”的个数约为158；（2）故线性回归方程的拟合效果非常好．20．（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【分析】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，求出，再根据条件概率的概率公式计算可得；（2）依题意服从二项分布，的可能取值为0、1、2、3，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可．【详解】（1）设事件“第一次取到红球”，事件“第二次取到红球”，由于是不放回地从盒中连续取两次球，每次取一个，所以第一次取球有8种方法，第二次取球是7种方法，一共的基本事件数是56，由于第一次取到红球有3种方法，第二次取球是7种方法，∴，一次取到红球有3种方法，第二次取到红球有2种方法，∴，∴；（2）由题可知白球个数，且有，，故的分布列为：0123所以的数学期望为：．21．（1）有的把握认为智力商数与惯用左手有关（2）【分析】（1）根据列联表作卡方计算；（2）按照分层抽样的规则抽取5人，再按照古典概型计算．【详解】（1）根据列联表代入计算可得：，有的把握认为智力商数与惯用左手有关；（2）由题意可知，抽取比例为，所以抽取的5名学生中惯用右手的有人，记为，惯用左手的有人，设为甲，从这5人中随机抽取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，共10个，其中至少有一人惯用左手的基本事件有，，，，共4个．故至少有一人惯用左手的概率；综上，有的把握认为智力商数与惯用左手有关；至少有一人惯用左手的概率为．22．（1）答案见解析（2）【分析】（1）求导，分情况讨论函数单调性；（2）分离参数，构造函数，根据导数求最值，进而确定参数范围．【详解】（1），当时，恒成立，函数在上单调递增；当时，令，解得，令，得；令，得；所以函数在上单调递减，在上单调递增；综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）当时，恒成立，即在上恒成立，令，∴在上恒成立，即函数在上单调递减，所以，所以．