2024年中考数学重难点题型之二次函数专题16 二次函数与正方形存在性问题（原卷版）

这是一份2024年中考数学重难点题型之二次函数专题16 二次函数与正方形存在性问题（原卷版），共19页。试卷主要包含了，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图，已知抛物线经过，，三点等内容，欢迎下载使用。
2024年中考数学重难点题型之二次函数专题16 二次函数与正方形存在性问题解题点拨作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标． 从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）． 比如在平面中若已知两个定点，可以在平面中确定另外两个点使得它们构成正方形，而如果要求在某条线上确定点，则可能会出现不存在的情况，即我们所说的未知量小于方程个数，可能无解． 从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点． 不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！ 常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件． 思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点． 总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系． 正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．直击中考1．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．(1)求该二次函数的解析式及点的坐标；(2)点为抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为轴上一点，点为坐标系内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．             2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于、两点，，，其中点是抛物线的顶点，交y轴于点．(1)求二次函数解析式；(2)点是抛物线第三象限上一点（不与点、重合），连接，以为边作正方形，当顶点或恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的点的坐标．
3．（2022·海南·统考中考真题）如图1，抛物线经过点，并交x轴于另一点B，点在第一象限的抛物线上，交直线于点D．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；(3)点Q在抛物线上，当的值最大且是直角三角形时，求点Q的横坐标；(4)如图2，作交x轴于点，点H在射线上，且，过的中点K作轴，交抛物线于点I，连接，以为边作出如图所示正方形，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．
4．（2022·山东泰安·统考中考真题）若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．①若点N在线段上，且，求点M的坐标；②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
5．（2020·辽宁锦州·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H． ①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2020秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点．(1)求抛物线的表达式；(2)用配方法求顶点的坐标；(3)点是对称轴右侧抛物线上任意一点，设点的横坐标为．①过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，当时，请直接写出点坐标；②连接，以为边作正方形，是否存在点使点恰好落在对称轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点B的坐标是(1)求直线及抛物线的解析式；(2)C为抛物线上的一点，的面积为3，求点C的坐标；(3)P在抛物线上，Q在直线上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直接写出点M的坐标．
8．如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．(1)求该抛物线的解析式；(2)当最小时，求此时点E的坐标；(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C．(1)______，______；(2)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022秋·湖南·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过，，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作，交x轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的横坐标；(3)点G为抛物线的顶点，抛物线对称轴与x轴交于点H，连接GB，点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．①当时，求点M的坐标；②过点M作轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，求m的值．
11．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB．(1)求抛物线解析式；(2)当点F与抛物线的顶点重合时，的面积为______；．(3)求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标．(4)在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
13．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交y轴于点D，直线AB与之相交，且是抛物线的顶点．(1)b＝______，c＝______；(2)如图1，点P是第四象限抛物线上一点，且满足，抛物线交x轴于点C，连接PC．①求直线PB的解析式；②求PC的长；(3)如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．
14．（2022·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．(1)b＝______，c＝______；(2)若点D为第四象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，求出DE+FG的最大值及此时点D的坐标；(3)若点P是该抛物线对称轴上的一点，点Q为坐标平面内一点，那么在抛物线上且位于x轴上方是否存在点M，使四边形OMPQ为正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．  
15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)求△BCD的面积；(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022秋·浙江·九年级专题练习）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为．(1)求抛物线的解析式；(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．①如图1，当点为抛物线顶点时，求长．②如图2，当时，求点的坐标；(3)如图3，在（2）②的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点.是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．