2022-2023学年北京市人大附中高二数学期末复习参考试题（二）含答案

这是一份2022-2023学年北京市人大附中高二数学期末复习参考试题（二）含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市人大附中高二数学期末复习参考试题（二）

一、单选题
1．小明有枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】根据题意，列出所有满足题意的摆法即可求解.
【详解】根据题意，列出所有满足题意的摆法如下（从下到上）：
正-正-正-正，
反-反-反-反，
反-正-正-正，
反-反-正-正，
反-反-反-正.
共5种不同的摆法.
故选：B.
2．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】D
【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论．
【详解】红色用1次，有6种方法，红色用2次，有10种方法，红色用3次，有4种方法，共20种，故选D．
【点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
3．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（   ）
A．12 B．40 C．60 D．80
【答案】D
【分析】首先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人，再排丙，接着安排甲、乙，最后再安排丁、戊，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】解：先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人，共有种选法，
其中丙在两端，有种选法，剩余两个位置甲、乙全排有种，
最后剩余两个位置给丁、戊有种，
所以排法种数为；
故选：D.

二、填空题
4．一次数学会议中，有五位教师来自三所学校，其中学校有位，学校有位，学校有位．现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有 种不同的站队方法.
【答案】48
【分析】先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有种排法，最后根据乘法运算，由此能求出结果．
【详解】五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位．现在五位教师排成一排照相，要求来自同一所学校的教师不相邻，
先安排A学校和C学校的三位老师，有中排法，
再把B学校的两位老师插空排到A学校和C学校的三位老师的空位中，并对B学校的两位老师进行排序，有种排法，
由乘法原理得不同的排列方法有种，
故答案为48．
【点睛】本题考查不同的站队方法的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

三、单选题
5．某校实行选科分班制度，张毅同学的选择是物理､生物､政治这三科，且物理在层班级，生物在层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有（    ）
第一节
第二节
第三节
第四节
地理层2班
化学层3班
地理层1班
化学层4班
生物层1班
化学层2班
生物层2班
历史层1班
物理层1班
生物层3班
物理层2班
生物层4班
物理层2班
生物层1班
物理层1班
物理层4班
政治1班
物理层3班
政治2班
政治3班
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
【答案】B
【分析】根据表格进行逻辑推理即可得出结果.
【详解】张毅不同的选课方法如下：
生物层1班，政治1班，物理层2班；
生物层1班，政治1班，物理层4班；
生物层1班，政治2班，物理层1班；
生物层1班，政治2班，物理层4班；
生物层1班，政治3班，物理层1班；
生物层1班，政治3班，物理层2班；
生物层2班，政治1班，物理层3班；
生物层2班，政治1班，物理层4班；
生物层2班，政治3班，物理层1班；
生物层2班，政治3班，物理层3班；
共10种，
故选：B.

四、填空题
6．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】先将除甲、乙之外的其他人排列，再安排甲、乙两人即可.
【详解】先排除甲、乙之外的其他人有，此时中间形成3个空隙，
再把甲安排到这个位置上，有种方法.
由于甲、乙不相邻，再把乙放在包括端点的其他个位置上，有种方法，
∴共有种．
故答案为：288.
7．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组都有带队教师，且带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种.(用数字作答)
【答案】54
【分析】根据题意，甲教师和乙教师带不带同一队作为分类标准，分别计算两种情况下的不同带队方案，最后由分类加法计数原理计算结果即可；
【详解】根据题意可得：
若甲教师和乙教师不带同一队，则共有种不同的带队方案；
若甲教师和乙教师带同一队，则共有种不同的带队方案；
由分类加法计数原理可得：共有54中不同的带队方案；
故答案为：54.
8．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有 种不同的志愿者分配方案用数字作答
【答案】
【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得．
【详解】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加项目，乙只能参见项目，项目有3种方法，
若甲参加，乙不参加，则甲只能参加项目，，项目，有种方法，
若甲参加，乙不参加，则乙只能参加项目，，项目，有种方法，
若甲不参加，乙不参加，有种方法，
根据分类计数原理，共有种．
故答案为21.
【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题．
9．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是 ．
【答案】16
【分析】有10个足球队进行循环赛，胜队得2分，负队得0分，平局的两队各得1分，即每场产生2分，每个队需要进行10-1=9场比赛，则全胜的队得18分，而最后五队之间赛5×（5-1）÷2=10场至少共得20分，所以第二名的队得分至少为分．
【详解】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为（分）．
故答案为16.
【点睛】完成本题主要求出最后五队之间赛的场次以及至少共得的分数，然后抓住了“第二名的得分是最后五名所得总分和的”这个关键点进行分析的．
10．大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有 种(用数字作答).
【答案】
【分析】将其中两人看作一个元素，和另一人一起作为两个元素安排坐四部电梯，即可求得答案.
【详解】先从人中选择2人坐同一电梯有种选法，
再将这两人看作一个元素，则和另一人看作两个元素，安排坐四部电梯有种，
则不同的乘坐方式有种，
故答案为：.
11．已知的展开式中的系数是10，则实数的值是
【答案】1
【分析】根据条件，求出的系数，列出关于的方程，求出a的值.
【详解】因为的展开式的通项为，
又的展开式中的系数是10，所以，即，
所以，则.
故答案为：.
12．的展开式中常数项是 （用数字作答）
【答案】15
【分析】根据二项式写出展开式通项，并确定常数项对应的r值，即可得常数项.
【详解】展开式的通项，令，解得，
所以常数项是.
故答案为：15
13．的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
【答案】15
【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．
【详解】解：由．
取，得．
展开式中常数项为．
故答案为：15．
14．在的二项展开式中，的系数为 ．
【答案】
【解析】根据二项式定理写出展开式的通项，即可得的系数.
【详解】展开式的通项为：
令，得 ，
所以的系数为：
【点睛】本题主要考查了二项式系数的性质，关键是记住二项式展开式的通项，属于基础题.

五、单选题
15．在的展开式中，的系数是
A． B． C．5 D．40
【答案】A
【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.
【详解】因为的展开式的通项为，
令，则的系数是.
故选A
【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
16．在的展开式中，的系数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可.
【详解】展开式的通项为，取，
，系数为.
故选：A.
17．在的展开式中，常数项为（    ）
A． B．120 C． D．160
【答案】C
【解析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项.
【详解】展开式的通项 ，令
常数项
故选：C．
【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:
(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可．
(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数．

六、填空题
18．的二项展开式的常数项为
【答案】20
【详解】的二项展开式的通项为．
令得．所以的二项展开式的常数项为．
19．在二项式的展开式中，常数项为 ．
【答案】160
【解析】求得二项展开式的通项，令，求得，代入即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，代入可得，
所以展开式的常数项为.
故答案为：.
20．的展开式中项的系数是 ．（用数字作答）
【答案】
【分析】由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式的系数.
【详解】在的展开式中，的系数为，
故答案为：
21．的展开式中的常数项是： ．(请用数字作答)
【答案】-20
【详解】，
令，则，
所以常数项为．

七、双空题
22．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是，则 ，展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
【答案】 15
【详解】试题分析：根据题意二项式系数的和是，，所以展开式的常数项为．
【解析】1．二项式系数和；2．二项式的同通项公式．

八、填空题
23．在的展开式中，x3项的系数为 （用数字作答）
【答案】20;        
【详解】因展开式的通项公式为，令，故其系数是，应填答案．
24．在的展开式中，常数项为 .(用数字作答)
【答案】40
【解析】先求出展开式的通项，令即得解.
【详解】设展开式的通项为，
令，
所以常数项为.
故答案为：40
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

九、单选题
25．展开式中的系数为10，则实数a等于【】
A．-1 B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】解：∵Tr+1=C5r•x5-r•（a /x ）r=arC5rx5-2r，
又令5-2r=3得r=1，
∴由题设知C51•a1=10⇒a=2．
故选D

十、填空题
26．在的展开式中，的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式可得的系数.
【详解】由二项式展开式的通项公式可得的展开式为：
，
令可得的系数是.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
27．在的展开式中常数项为 (用数字作答).
【答案】
【解析】写出的展开式的通项，即可求得常数项.
【详解】的展开式的通项为：


，
当，
解得，
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式.

十一、单选题
28．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，
则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=
故选B.

29．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检
测.方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚.国王用方法一、二
能发现至少一枚劣币的概率分别记为和.则
A． B． C． D．以上三种情况都有可能
【答案】B
【详解】因为

所以
故选:B

十二、填空题
30．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）= ．
【答案】
【详解】∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋2××()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝．


十三、单选题
31．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】甲共得6条，乙共得6条，共有6×6＝36(对)，其中垂直的有10对，∴.
本题选择C选项.

32．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可知，事件A与事件B是相互独立的，而事件A、B中至少有一件发生的事件包含、、，又，，所以所事件的概率为，故选C．
【解析】相互独立事件概率的计算．


十四、填空题
33．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）.
【答案】
【分析】利用古典概率求解.
【详解】抽出的2张均为红桃的概率为.
故答案为：.
34．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．
①；
②；
③事件与事件相互独立；
④是两两互斥的事件；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【答案】②④
【分析】根据互斥事件的定义即可判断④；根据条件概率的计算公式分别得出事件发生的条件下B事件发生的概率，即可判断②；然后由，判断①和⑤；再比较的大小即可判断③.
【详解】由题意可知事件不可能同时发生，则是两两互斥的事件，则④正确；
由题意得，故②正确；
,①⑤错；
因为，所以事件B与事件A1不独立，③错；综上选②④
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.

35．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 ．
【答案】
【详解】试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，
故答案为0.128.
法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，
若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，
必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；
有相互独立事件的概率乘法公式，
可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128
【解析】相互独立事件的概率乘法公式


十五、解答题
36．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，.
  
(1)求直方图中的值；
(2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
(3)从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）
【答案】(1)0.0125
(2)600
(3)分布列见解析，数学期望为1

【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形的面积和为1求解即可；
（2）求出新生上学所需时间不少于1小时的频率，再估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（3）先求出所有取值的概率，得到分布列后求出数学期望即可.
【详解】（1）由直方图，可得.
所以；
（2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为，
因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿；
（3）的可能取值为0，1，2，3，4.
由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为，
，，
，，
.
所以的分布列为：

0

1

2

3

4







（或），
所以的数学期望为1.
37．在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人.
  
(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；
(2)若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分.
（i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
（ii）若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
【答案】(1)3
(2)（i）2.9；（ii）分布列见解析，

【分析】（1）先由“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数和频率算出该考场的总人数，“阅读与表达”科目中成绩为A的人数即为总人数乘以其频率；
（2）（i）直接利用频率分布直方图中的平均数公式求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（ii）按求分布列的步骤和数学期望公式即可求解.
【详解】（1）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，
所以该考场有人，
所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为.
（2）（i） “数学与逻辑”科目中成绩等级为D的频率为，
故该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为
.
（ii）设两人成绩之和为，则的值可以为16，17，18，19，20，
，，
，，
，
所以的分布列为

16
17
18
19
20






所以
38．某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门,再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的时间.
(1)求ξ的分布列;
(2)求ξ的数学期望.
【答案】(1)分布列见解析.
（2）E(ξ)=(小时).
【详解】解：（1）的所有可能取值为：1，3，4，6
，，，，所以的分布列为：

1

3

4

6

P






（2）（小时）

39．某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ
0
1
2
3





(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
(Ⅱ)求，的值；
(Ⅲ)求数学期望ξ．
【答案】（I）；（II），；(III).
【详解】（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
，
（II）由题意知

整理得，由，可得，.
（III）由题意知
=
=
=

40．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【详解】试题分析：解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=,
P()=P(A)P()P()=
（2）ξ的可能值为0,1,2,3,
P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




Eξ=0×+1×+2×+3×=
【解析】分布列和数学期望
点评：解决的关键是根据独立事件的概率的乘法公式，以及分布列的概念来求解，属于基础题．
41．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则

=
=
（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为


=



所以的分布列是:


42． 袋子和中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为p.
（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球则停止.
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望.
（2）若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值.
【答案】（1）① ；②分布列见解析；数学期望.
（2）.
【分析】（1）①利用相互独立事件的概率公式即可求解；
②利用独立重复试验的概率公式分别计算概率，写出分布列，求出数学期望；
（2）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球，利用古典概型的概率公式求得p.
【详解】（1）①从A中有放回地摸球，属于独立重复实验，所以概率
②由题意可得：随机变量的取值为0，1，2，3.
..
..
的分布列是：

0
1
2
3





（2）设袋子A中有个球，则袋子B中有个球.
由，得 .