2023-2024学年江苏省南京师范大学实验学校高三上学期7月阶段性调研数学试题

这是一份2023-2024学年江苏省南京师范大学实验学校高三上学期7月阶段性调研数学试题，共21页。试卷主要包含了07， 已知集合，集合，则．， 我国著名数学家华罗庚先生曾说， 已知函数，若，则， 已知函数，则不正确的是， 给出下列命题，其中正确命题为， 若函数等内容，欢迎下载使用。
  2023年7月高三阶段性调研试卷数学2023.07一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 已知集合，集合，则（）．A.  B. C.  D. 2. 已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（）A. 20 B. 25 C. 30 D. 353. 已知，则等于（）A.  B.  C.  D. 4. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（）A.  B. C.  D. 5. 已知函数，若，则（）A.  B. C D. 6. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息（）（参考数据：，）A. 4．1小时 B. 4．2小时 C. 4．3小时 D. 4．4小时7. 已知函数，则不正确的是（）A. 若点可能是曲线的对称中心，则，B. 一定有两个极值点C. 函数可能在上单调递增D. 直线可能是曲线的切线8. 已知不等式对恒成立，则实数a最小值为（）A.  B.  C.  D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9. 给出下列命题，其中正确命题为（）.A. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4B. 回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系C. 随机变量服从正态分布，，则D. 相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好10. 若函数（，，）的部分图象如图，则（）A. 是以为周期的周期函数B. 的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数C. 在上单调递减D. 的图象的对称中心为，11. 已知函数及其导函数定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的有（）A.  B. 必为奇函数C.  D. 若，则12. 对于函数和，设，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数值可以是（    ）A.  B.  C.  D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13. 设曲线在点处的切线与曲线在点处的切线垂直，则点的横坐标为__________．14. 有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法.15. 2020年9月1日至23日（日代码分别为1，2，…，23），某餐馆在区域内投放广告单数量（万张）与日代码的数据符合回归方程，则___________（精确到小数点后两位）.参考数据：，.16. 已知函数，若存在实数，满足，则最小值为__________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知，且，求；（2）化简：.18. 对于二项式：（1）若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.19. 已知函数，其中，函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值-2．（1）求函数的解析式；（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调递增区间；（3）若函数在内的值域为，求的取值范围.20. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．21. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.（1）当时，（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：             2023年7月高三阶段性调研试卷数学2023.07一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】C6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9. 【答案】BD10. 【答案】AC11. 【答案】BCD12. 【答案】BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13. 【答案】14. 【答案】48015. 【答案】0.2916.【答案】四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）已知，且，求；（2）化简：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）判断角的范围，利用同角的三角函数关系求得，,将化为,即可利用两角差的正弦公式求得答案;（2）利用诱导公式以及三角恒等变换公式，即可化简求值.【详解】（1），,又 ， ,，,;（2）.18. 对于二项式：（1）若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项即可.【小问1详解】解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，则展开式通项为，令，解得，代入通项有：，所以的系数为；【小问2详解】二项式通项为：，所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或，因为至少有前三项，所以（舍），故，所以展开式有9项，中间一项为.19. 已知函数，其中，函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，且在处取到最小值-2．（1）求函数的解析式；（2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调递增区间；（3）若函数在内的值域为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由给定条件依次求出的周期，，初相及A即可得解；(2)根据给定变换求出函数解析式，即可求出其单调递增区间；(3)根据函数定义域与值域的关系即可求出参数m的取值范围.【详解】(1)函数图象上相邻两个对称中心之间的距离为，设周期为T，则，即，因此，，因在处取到最小值-2，则，而，则，，所以函数的解析式是；(2)由(1)知：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到，再将所得图象向左平移个单位，到函数的图象，由得：，所以函数的单调递增区间为；(3)由(2)知，由于，则有，因函数的值域为，而，，显然在上单调递减，则有，当时，，于是有在上单调递增，又，则，即，从而得，解得，综上得：，所以的取值范围为．20. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.结合余弦定，∴，即，即，即，即，∵为锐角三角形，∴，∴，所以，又B为的一个内角，故.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由，结合正弦定理可得：为锐角三角形，故.（II） [方法一]：余弦定理基本不等式因为，并利用余弦定理整理得，即.结合，得.由临界状态（不妨取）可知.而为锐角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化简得故的取值范围是.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.21. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响.（1）当时，（i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）乙答对每道题的概率为(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案见解析，数学期望：；（2）最小值为.【解析】【分析】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，分别求得的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解；（ii）求得甲答对某道题的概率为，得到，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，求得， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i）记事件A为“甲答对了某道题”，事件B为“甲确实会做”，则，所以.（ii）随机变量X可取，甲答对某道题的概率为，则，则，则随机变量X的分布列为X01234P则.（2）记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为则，，，，所以甲答对题数比乙多的概率为解得，即甲的亲友团助力的概率P的最小值为.【点睛】方法点拨：记事件为“甲答对了i道题”，事件为“乙答对了i道题”，分别求得，，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.22. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；（3）若，且，证明：.【答案】（1）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求定义域，然后对进行分类讨论，求解不同情况下的单调区间；（2）在第一问的基础上，讨论实数的取值，保证函数有两个不同的零点，根据函数单调性及极值列出不等式，求出时满足题意，再证明充分性即可；（3）设，对题干条件变形，构造函数对不等式进行证明.【小问1详解】函数定义域为，，①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为②当时，，解得，当时，，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递减区间为，综上可知：①当时，函数的单调递减区间为②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为【小问2详解】由（1）知，当时，函数在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，，又函数有两个零点，又，使得，又，设函数在上单调递减，，，使得，综上可知，为所求.【小问3详解】依题意，是函数的两个零点，设，因为，，，不等式，，所证不等式即设，在上是增函数，且，所以在上是增函数，且，即，从而所证不等式成立.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.