2024届湖南省长沙一中湘豫名校联考高三上学期8月入学摸底考试数学试题含答案

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湘豫名校联考2023年8月高三秋季入学摸底考试数学参考答案题号123456789101112答案CDABBDDBBCDABDACABD一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.014.0.4  15.16.四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换､解三角形，考查了数学运算､数学建模的核心素养.【解析】（1）因为，又，所以.因为，所以.（2）由正弦定理得，即，所以.由余弦定理得，当且仅当时，等号成立.所以.因为，又的最大值为9，所以面积的最大值为.18.【命题意图】本题考查二项分布､互斥事件､独立事件发生的概率，考查数据分析､数学运算的核心素养.【解析】（1）由题易得，随机抽取一球，为黑色球或红色球的概率为所以.所以.（2）甲､乙的得分情况可能为得分情况2001501009050400-10-20概率则甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.19.【命题意图】本题考查数列的通项､数列求和及不等式，考查了数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）若选条件①：因为，所以，两式相减，得.因为，所以.又，所以，所以数列的奇数项､偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列.当时，；当时，.综上所述，.所以.若选条件②：设数列的公比为，因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，所以，且，即，解得，所以.因为数列的各项均为正数，为其前项和，且满足，所以当时，，则，因为，所以，两式相减得，即.因为，故，所以.所以数列为等差数列，故.所以.若选条件③：由，得.令，则.当时，，又满足上式，所以，即.所以当时，.又满足上式，所以，所以.（2）证明：由（1）知，则①，所以②.①-②可得：.所以.因为，所以.又，所以是递增数列.所以，故.20.【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系､二面角，考查了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.【解析】（1）证明：方法一：取的中点，连接.因为四边形是矩形，分别是的中点，所以，所以.因为是等边三角形，所以.因为，所以平面.因为平面，所以.因为，所以，所以是等腰三角形.因为是的中点，所以.因为，所以平面.方法二：不妨设，则.如图，连接，因为为的中点，所以.所以.又为的中点，所以.因为，所以平面.（2）由（1）方法一易得两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，.设平面的法向量为，则即令，则，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则即令，则，所以平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，则，所以.所以二面角的正弦值为.21.【命题意图】本题考查椭圆的方程､直线与椭圆的位置关系及定点问题，考查了直观想象､数学运算､逻辑推理等核心素养.【解析】（1）因为的最大值为，所以为短轴的顶点时，，此时易得.又点到右焦点距离的最小值为，即，解得.又由，可得.所以椭圆的标准方程为.（2）证明：方法一：当直线的斜率不存在时，设，联立解得，所以或.又，所以或，因为以为直径的圆恒过点，所以.所以，解得或（舍去），此时直线的方程为.当直线的斜率存在时，易知直线的斜率不为0，设，联立消去得.由，得，由根与系数的关系，知.因为，所以，将代入上式整理得，即，所以或.当时，直线为，此时直线过点，不符合题意，舍去；当时，直线为，此时直线过定点.综上所述，直线恒过定点.方法二：由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为.联立得.由，得.所以.因为，所以.由题易知，所以.即，即.将代入上式整理得，解得或.由题知直线不过点，所以.所以直线的方程为.所以直线恒过定点.方法三（平移齐次化）：将椭圆向左平移两个单位长度得曲线，即①，则平移后右顶点，记平移后的对应点分别为.设直线的方程为，所以.将上式代入①得，等式两边同时除以，得.由题易知，所以.即，解得.所以直线的方程为.所以平移前直线恒过定点.22.【命题意图】本题考查函数､方程及不等式的转化，函数的单调性､最值､极值问题，考查了数学运算､数学抽象､直观想象､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）由题易得函数的定义域为，由，不等式两边同除以，得.设，则.令，得.当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.依题知，得，所以实数的取值范围为.（2）证明：，令，则.令，得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.因为函数的单调递增区间为，所以.所以，解得，，即.又当时，；当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.所以的极大值.因为，所以，所以，所以函数的极大值