圆锥曲线大题（全）

这是一份圆锥曲线大题（全），共45页。
圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的最值问题
点差法解决中点弦问题
常见几何关系的代数化方法
圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧
圆锥曲线中的三点共线问题
巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题
抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用
圆锥曲线中的双切线题型
圆锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
直译法求轨迹的步骤：
设求轨迹的点为
由已知条件建立关于的方程；
化简整理。
相关点法求轨迹的步骤：
设求轨迹的点为，相关点为;
根据点的产生过程，找到与的关系，并将用和表示；
将代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。
定义法求轨迹方程：
分析几何关系；
曲线的定义直接得出轨迹方程。
参数法求轨迹的步骤：
引入参数；
将求轨迹的点用参数表示；
消去参数；
研究范围。
【例1】已知平面上两定点点满足求点的轨迹方程。
【例2】已知点在椭圆上运动，过作轴的垂线，垂足为，点满足求动点的轨迹方程。
【例3】已知圆点是圆上的动点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程。
【例4】过点的直线与椭圆相交于两点，求中点的轨迹方程。
专题练习
在平面直角坐标系中，点若直线上存在点,使得则实数的取值范围为_________________.
已知为圆上任意一点，线段的中点为则的取值范围为________________.
抛物线的焦点为点在抛物线上运动，点满足则动点的轨迹方程为_____________________.
已知定圆定点动圆过定点且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为____________________.
已知定直线定圆动圆与直线相切，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________________.
直线与抛物线的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数的取值范围为_________________.
抛物线的焦点为过点作直线交抛物线于两点，以为邻边作平行四边形求顶点的轨迹方程。
如图，在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点。
若直线的方程为求的值；
若求线段的中点的轨迹方程。

直线过定点问题
解题技巧
证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两
种解法.
【法1】设直线，求解参数，一般的解题步骤为：
(1).设出直线的方程或；
(2).通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,找到和和的关系，或者解出
的值；
根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点.
【法2】求两点，猜定点，证向量共线。一般的解题步骤为：
.通过题干条件，求出直线上的两个点的坐标(含参)；
(2).取两个具体的参数值，求出对应的直线，并求出它们的交点，该点即为直线过的
定点；
(3)证明与共线，得出直线过定点。
注：上面的两个解法中，解法2的计算量通常要大一些，故一般首选解法1.当解法1失效
或处理起来较为复杂时再考虑解法2.
【例1】已知椭圆的半焦距为，离心率为，左顶点到直线扥距离为6，点是椭圆上的两个动点。
求椭圆的方程；
若直线,求证：直线过定点，并求出点的坐标。
【例2】已知一动圆经过点,且在轴上截得的弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线。
求曲线的方程；
过点任意作两条互相垂直的直线，分别交曲线于不同的两点和,设线段的中点分别为.
①求证：直线过定点，并求出定点的坐标；
②求的最小值。
专题练习
设椭圆的右焦点到直线的距离为3，且过点。
求的方程；
设椭圆的左顶点是，直线与椭圆交于不同的两点（均不与重合），且以为直径的圆过点。试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由。
椭圆的上顶点为，右焦点为，点都在直线上。
求椭圆的标准方程；
为椭圆上的两点，且直线的斜率之积为，证明：直线过定点，并求定点坐标。
抛物线上一点满足，其中为抛物线的焦点。
求抛物线的方程；
设直线和分别与抛物线交于不同于点的两点，若，证明：直线过定点，并求此定点的坐标。
已知直线的方程为，点是抛物线上距离直线最近的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点。
求点的坐标；
证明：直线恒过定点，并求这个定点的坐标。
圆锥曲线中的定值问题
解题技巧
1.在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为:
（1）设出直线的方程或、点的坐标;
（2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距
离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值
2.解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式:
(1)若直线的方程设为则
(2)若直线的方程设为,则
注:其中指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于或的一元二
次方程的平方项系数,指的是该方程的判别式.通常用或
计算弦长较为简便
【例1.】设抛物线直线经过点且与抛物线交于、两点，证明：为定值。
【例2.】椭圆的离心率为的面积为1.
求椭圆的方程；
设为上一点，直线与轴交于点直线与轴交于点求证：为定值。
专题练习
已知椭圆的离心率为，且过点。
求椭圆的方程；
设是椭圆长轴上的动点，过作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：为定值。
已知点，直线为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且。
求动点的轨迹的方程；
过点的直线交轨迹与两点，交于点，若，求的值。
3.已知抛物线经过点过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于。
求直线的斜率的取值范围；
设为原点，，求证：为定值。
4.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点。
求椭圆的方程及点的坐标；
设为坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值。
5.在平面直角坐标系中，椭圆过点，右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，直线分别交直线于两点。
求椭圆的方程；
若的坐标为，求直线的方程；
记两点的纵坐标分别为，问：是不是定值？
6.过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于不与重合的两点。
求该抛物线上纵坐标为1的点到其焦点的距离；
当与的倾斜角互补时，证明直线的斜率为非零的常数，并求出此常数。
圆锥曲线中的最值问题
解题技巧
求最值(范围)问题是圆锥曲线常考题型,这类题解题的一般步骤是：
(1)设出直线的方程或、点的坐标；
(2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量；
(3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式;
(4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).
【例1】已知点椭圆的离线率为是椭圆的焦点，直线的斜率为为坐标原点。
求方程；
设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。
专题练习
在平面直角坐标系中，已知点点在直线上，点满足点的轨迹为曲线。
求的方程；
为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值。
已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为经过点的直线与椭圆交于两点。
求椭圆的方程；
记与的面积分别为和，求的最大值。
已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线与交于两点，。
求抛物线的方程；
已知动圆的圆心在上，且过定点，若动圆与轴交于两点，，求的最小值。
已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，面积的最大值为。
求椭圆的方程；
设经过点的直线的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为，若直线与相交于点，与直线相交于点，求的最小值。
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点。
证明为定值，并写出点的轨迹方程；
设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围。
已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆与两点。
求椭圆的焦点坐标和离心率；
将表示为的函数，并求的最大值。
如图，已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线与两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧，记的面积分别为。
求的值及抛物线的准线方程；
求的最小值及此时点的坐标。
常见几何关系的代数化方法
解题技巧
解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，因此，积累一些常见的几何关系的代数化方法是有必要的，本专题归纳了一些常见的几何关系的处理方法：
以AB为直径的圆过点;
点P在以AB为直径的圆内;
点P在以AB为直径的圆外;
四边形PQRS为平行四边形对角线PR与QS互相平分;
四边形PQRS为菱形对角线PR与QS互相垂直平分；
四边形PQRS为矩形对角线PR与QS互相平分且相等；
,其中M为AB的中点；
直线AB与直线MN关于水平线或竖直线对称;
F为的垂心、且.
【例1】已知圆C：及点F（1，0），点P在圆上，M,N分别为PF，PC上的点，且满足.
求N的轨迹W的方程；
是否存在过点F（1，0）的直线与曲线W相交于A,B两点，并且与曲线W上一点Q，使得四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
【例2】在直角坐标系中，曲线与直线交于M,N两点。
当时，分别求C在点M和N处的切线方程；
在轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有说明理由。
专题练习
已知A,B,C是椭圆上的三个点，是坐标原点。
当点B是W的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；
当点B不是W的顶点，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由；
已知椭圆的右焦点为,上顶点为为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为。
求椭圆的方程；
是否存在直线交椭圆于两点，且点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
直线圆其中是坐标原点，椭圆的离心率为直线被圆截得的弦长与椭圆的长轴长相等。
求椭圆的方程；
过点（3，0）的直线与椭圆交于两点，设是否存在直线，使若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
设分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。
求椭圆的离心率；
设点满足求的方程。
已知椭圆直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
若过点，延长线段与交于点四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。
设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且过点
求椭圆的方程；
设为直线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明：点在以为直径的圆内。
点差法解决中点弦问题
解析技巧
设直线与圆锥曲线交于两点，中点为，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法。其解题的一般步骤是：
设两点的坐标分别为、；
代入圆锥曲线的方程；
将所得方程作差，结合中点公式、斜率公式等化简，得出结果。
【例一】已知双曲线，点是双曲线一条弦的中点，则该弦所在直线的方程为________________.
【例二】已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，求实数的取值范围。
专题练习
过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，则直线的方程为_____________.
已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使该弦被点平分，则这条弦所在直线的方程为______________.
已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，直线与抛物线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为_____________.
椭圆的弦被点平分，则直线的方程为____________.
已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则直线的斜率为 （ ）

椭圆的斜率为3的弦的中点的轨迹方程为___________.
抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围为__________.
已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为。证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值。
9.已知双曲线，是否存在过点的直线与双曲线交于两点，且恰为的中点？
10.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为。
求椭圆的离心率；
如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程。
圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧
解析技巧
在圆锥曲线问题中，将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去或，得到关键方程（不妨设方程的两根为和），结合韦达定理来进行其他的运算是常见的解题方法。能够利用韦达定理计算的量一般有等，但在某些问题中，可能会涉及需计算两根系数不相同的代数式，例如，运算过程中出现了等结构，且无法直线通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的韦达定理结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，那么一般的处理方法是局部计算、整体约分。需要通过适当的配凑，将分子和分母这种非对称的结构凑成一致的，剩下的一般可以转化为对称的韦达定理加以计算，最后通过计算，发现分子、分母可以整体约分，从而解决问题。下面通过几个例题来详细介绍这类的解题方法。
平面内有两定点曲线上任意一点都满足直线与直线的斜率之积为过点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点
求曲线的轨迹方程；
当点异于两点时，求证：为定值。
【例1】已知椭圆过点且离心率为
求椭圆的方程；
设椭圆的上、下顶点分别为过点斜率为的直线与椭圆交于两点。求证：直线与的交点在定直线上。
【例2】椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点.
当时，求直线的方程；
当点异于两点时，证明：为定值。

专题练习
已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，在椭圆上，且，设直线的斜率分别为和，证明：为定值。

已知椭圆的左、右焦点分别为分别为左、右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.
求椭圆的方程；
设直线交于点，求证：点的横坐标为定值。

3.已知为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过作直线交椭圆于不与重合的两点，设直线的斜率分别为和，求证：为定值。
圆锥曲线中的三点共线问题
解题技巧
平面解析几何中三点共线相关问题
三点共线问题是高考的热点问题，大题小题都有涉及。这类题处理的方法一般来说有两个：①斜率相等；②向量共线。
证明三点共线问题的解题步骤：
求出要证明共线的三点的坐标；（如果已给出，则无需这一步）
运用斜率相等或向量共线来证明三点共线。
特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。
【例1】抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）

【例2】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，设中点为在抛物线的准线上的射影分别为
求直线与直线所成的夹角的大小；
证明：三点共线。

专题习题
抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）

已知椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点。
若直线的倾斜角为，求的面积；
过点作直线与点,证明：三点共线。
已知椭圆的右焦点为，椭圆的上顶点和两焦点的连线构成一个等边三角形，且面积为
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于不同的两点，设点关于椭圆长轴的对称点为,试求三点共线的充要条件。
已知椭圆的离心率为焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点。
求椭圆的方程；
若求的最大值；
设直线与椭圆的另一个交点为直线与椭圆的另一个交点为若和点共线，求
已知曲线.
若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；
设曲线与轴的交点分别为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点直线与直线交于点求证：三点共线。
已知两个定点，动点满足。
求动点的轨迹的方程；
过点的直线与曲线交于不同的两点，设点关于轴的对称点为（两点不重合），证明：三点在同一直线上。
巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题
解题技巧
圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，应用曲线系方程可以很好地解决这类问题。
曲线系方程：设和分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为
高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程。应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为，其中表示圆锥曲线方程，表示两直线构成的曲线的方程；
将展开，合并同类项，与圆的一般方程比较系数，求出的值；
将反代回方程的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程。
圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补。
【例1】已知抛物线的焦点为,经过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线和抛物线交于两点，证明四点共圆，并求出该圆的方程。
【例2】设椭圆的右焦点为，经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若四点共圆，求的值以及该圆的方程。
【例3】已知是圆上一动点，线段的中垂线与直线交于点.
求动点的轨迹的方程；
过点且斜率为2的直线与轨迹交于两点，过原点且斜率为-2的直线与轨迹交于两点，判断四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程。
专题练习
已知抛物线的焦点为过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于和问：四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由。
已知双曲线的一条渐近线方程为且过点
求双曲线的方程；
斜率为的直线过点且与双曲线交于两点，斜率为的直线过原点且与双曲线交于两点，若四点是否在同一圆上，求的值及该圆的方程。
已知抛物线的焦点为,直线与轴的交点为与的交点为且
求的方程；
过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，且四点在同一圆上，求的方程。
抛物线中的阿基米德三角形
解题技巧
阿基米德三角形：如图，抛物线的一条弦以及弦端点处的两条切线所围成的三角形，叫做抛物线中的阿基米德三角形。下面给出阿基米德三角形的一些常见性质。
如图，不妨设抛物线为，抛物线上两点处的切线交于点，则
设中点为，则平行（或重合）于抛物线的对称轴；
的中点在抛物线上，且抛物线在处的切线平行于弦；
若弦过抛物线内的定点，则点的轨迹是直线；特别地，若弦过定点，则点的轨迹是直线；
若弦过抛物线内的定点，则以为中点的弦与（3）中点的轨迹平行；
若直线与抛物线没有交点，点在直线上运动，则以为顶点的阿基米德三角形的底边过定点；
若过焦点，则点的轨迹为抛物线准线，且面积的最小值为；
；
。
很多高考试题都以阿基米德三角形为背景命制，熟悉这些性质对解题是有必要的，下面通过实例来证明上面的部分结论。
【例1】已知抛物线的焦点为，抛物线上两点处的切线交于点，中点为。
证明：轴；
设的中点为，证明：在抛物线上，且抛物线在处的切线平行于直线；
证明：；
证明：
若过点，求点的轨迹的方程；当恰为中点时，判断与轨迹的位置关系；
若过点，求点的轨迹方程，并证明求出面积的最小值。
【例2】已知抛物线的焦点为，点是直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为和，证明：直线过定点，并求出定点的坐标。
专题练习
已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则__________.
已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为，则的值（ ）
大于0 等于0 小于0 无法判断
已知抛物线的焦点为，点为直线上的一动点，过点向抛物线作切线，切点为，以点为圆心的圆恰与直线相切，则该圆面积的取值范围为（ ）

已知抛物线与点，过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ）

已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在两点处的切线交于点，设，则的值为_________.（结果用m表示）
已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在两点处的切线交于点，则的最小值为_________.
已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为。
证明：为定值；
设的面积为，写出的表达式，并求的最小值。
圆锥曲线中的双切线题型
解题技巧
过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是：
设切线的斜率为，写出切线的方程；
将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；
由（2）中方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根；
结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。
【例1】设椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，且点到直线的距离为。
求椭圆的方程；
设点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线，切线与轴交于两点，求的取值范围。
专题练习
已知椭圆的一个焦点为，离心率为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。
设椭圆，动圆，其中是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于两点，且切线长的最小值为。
求椭圆的方程；
求证：的面积为定值。
已知圆和抛物线为坐标原点。
若直线与圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；
过抛物线上一点作两条直线与圆相切，且分别交抛物线交于两点，若直线的斜率为，求点的坐标。
已知圆是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点。
求动点的轨迹方程；
记点的轨迹为是直线上的两点，满足，曲线的过点的两条切线（异于）交于点，求四边形的面积的取值范围。