河南省沈丘县第三高级中学2023-2024学年高一上学期入学考试数学试题

沈丘县第三高级中学高一入学考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷共6页，三道大题。

2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，每小题3分，共30分）

1.的倒数是（    ）

A.2020 B. C. D.

2.2020年，新型冠状病毒（COVID-19）肆虐全球.截至2020年7月1日，全球累计确诊人数为10489586，约为1049万.将1049万用科学计数法表示为（    ）

A. B. C. D.

3.下列说法正确的是（    ）

A.某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5

B.为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式

C.一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8

D.若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定

4.用如图所示的七巧板的其中几块，拼成一些多边形，则下列多边形为中心对称图形的是（    ）

A. B. C. D.

5.我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五；屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？设木条长尺，绳子长尺，根据题意所列方程组正确的是（    ）

A. B. C. D.

6.桌子上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数最少有（    ）

A.5 B.8 C.12 D.13

7.如果，是关于的方程的两个根，那么等于（    ）

A.1 B. C.0 D.

8.如图所示，的内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（    ）

A. B. C. D.不确定

9.已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ）

A.当时，  B.当时，

C.当时，  D.当时，

10.如图，在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成L型模板如图放置，则矩形的面积为（    ）

A.9.6 B.12 C.19.2 D.24

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应题号的横线上）

11.方程的解是______.

12.如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为______.

13.如图所示，点是直线上一点，过点作的垂线交曲线于点.若，则______.

14.如图，在菱形中，，，点为边上一点，，点为边上的一动点，沿将翻折，点落在点处，当点在菱形的对角线上时，的长度为______.

15.如图，正方形的边长为4，点，分别在，上，，则的面积的最小值为______.

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分，请认真读题）

16.（8分）已知实数，，满足，求的值.

17.（8分）某学校开展了防疫知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，学校从1500名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为不小于60的整数），并把测试成绩分为四个等第：基本合格，合格，良好，优秀，制作了如下统计图（部分信息未给出）.

由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数直方图.

（2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数.

（3）这次测试成绩的中位数是什么等第？

（4）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？

18.（8分）倡导健康生活，推进全民健身，某社区去年购进，两种健身器材若干件，经了解，种健身器材的单价是种健身器材的1.5倍，用7200元购买种健身器材比用5400元购买种健身器材多10件.

（1），两种健身器材的单价分别是多少元？

（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进，两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：种健身器材至少要购买多少件？

19.（10分）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数与的图象上，且点，点横坐标分别为，.

（1）若轴，求的面积.

（2）若是以为底边的等腰三角形，且，求的值.

（3）作边长为3的正方形，使轴，点在点的左上方，那么，对不小于4的任意实数，边与函数的图象都有交点，请说明理由.

20.（10分）叙述并证明勾股定理.

21.（10分）如图所示，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接，，交于点，且.

（1）求证：是的切线.

（2）若，求的值.

22.（10分）如图所示，在等边三角形中，平分，点为边上一动点（与点，不重合），满足，连接.

（1）如图①所示，若，，求.

（2）如图②所示，取的中点，连接，，，探究线段与的位置与数量关系.

（3）如图③所示，把图②中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为的中点，连接，，，问（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

23.（11分）已知二次函数，其中，满足，点在函数图象上.

（1）求二次函数的表达式.

（2）若过轴上的动点，比例系数分别为，的两个一次函数的图象与二次函数的图象都有且只有一个交点，求证：.

（3）二次函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标为一个正整数，纵坐标为一个完全平方数？若存在，求出这个点的坐标；若不存在，请说明理由.

数学试题参考答案及评分标准

注意事项：

1.本试卷非选择题部分具有开放性，评卷人员应根据参考答案及评分标准制定出符合实际的评分细则。

2.评卷时，考生的答案只要言之有理且和题意相符均应给分。

注：部分试题提示如下：

7.提示：由题意知，，是方程的两个根，所以，

∴，，∴.

8.提示：连接，如图所示.

∵内心为，∴，.

∵，∴.∵，即，∴.

14.提示：分两种情况：①当点在菱形对角线上时，如图所示.

由折叠的性质得，.

∵四边形是菱形，，∴，

∴，∴.

②当点在菱形对角线上时，如图所示.

设，由折叠的性质得，，.

∵，∴.

∵四边形是菱形，∴，.

∵，∴，∴，

∴，即，∴，∴.

解得：或（不合题意舍去）.

∴.综上所述，的长为2或.

15.引理：在正方形中，，分别为，上的两点，且.

求证：边上的高为定值.

证明：延长至点，使，连接，作，如图所示.

在和中，

∴，∴，.

∵，∴.∵，∴.

在和中，∴，∴.

∵，，∴，即边上的高为定值.

如图所示，设，.

利用勾股定理有，整理得.

所以，.

令，则.

已知有解，则，得.

∴.

16.解：由题中条件的结构特征可知，

.（6分）

，，，.（2分）

17.解：（1）（人），（1分）（人）.（1分）

补全频数直方图：（1分）

（2）.（1分）

（3）这次测试成绩的中位数的等第是良好.（2分）

（4）（人）.（1分）

答：该校获得优秀的学生共有300人.（1分）

18.解：（1）设种健身器材的单价为元/套，种健身器材的单价为元/套.

根据题意，可得.解得.（2分）

经检验是原方程的根.（元）.

因此，，两种健身器材的单价分别是360元，540元.（2分）

（2）设购买种健身器材套，则购买种健身器材套.根据题意，可得.（2分）解得.（1分）

因此，种健身器材至少购买34套.（1分）

19.解：（1）由题意知，，.

∵轴，∴，∴，（1分）

∴，∴.（1分）

（2）∵，，∴，.

∵是以为底边的等腰三角形，∴，∴，

∴，∴，∴.（2分）

∵，，∴，.又，∴，∴或（舍）.（1分）

（3）如图所示.

∵四边形是边长为3的正方形，且点在的左上方.

∴，∴.（1分）

设直线与双曲线相交于点.∴，∴.

（以下有两种解法）

∴.（2分）

∵，∴，，∴，

∴，∴.（1分）

（∵，∴，∴，即在上方.

∵，∴，即）

∴点在线段上，即对于，边与函数的图象都有交点.（1分）

20.解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么.（2分）

构造图形证明如下：四个直角边分别为，，斜边为的直角三角形，则大正方形的边长为，其面积为，同时它又可以表示为边长为的正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，即，整理得，故结论成立.

（证明方法不唯一，合理即可）

（此证法中给出图形，4分，给出证明过程，4分）

21.（1）证明：如图所示，连接，.

∵，，，（1分）∴，（1分）

∴.∴是的切线.（1分）

（2）如图，连接，设交于点，，.

∵是直径，，即.∵，，∴，.

∴，，.（1分）

∵，∴.∵，∴，∴.

∵，（2分）∴，∴，∴，（1分）

∴由求根公式可得.（1分）

∴.（1分）∴.（1分）

22.（1）解：作于，如图所示.

∵，，∴，，∴，（1分）

∴.（1分）

（2）结论：且.（1分）

证明：延长至点，使得，连接，，如图所示.

∵，，，∴.（1分）

∴，，∴，∴.

∵，，∴.

∵，

∴，∴.

∵，，，∴，如图所示.

∴，.∵，

∴，∴为等边三角形.（1分）

∵，∴且.

（3）结论：仍然成立.（1分）

证明：延长至点，使得，连接，，如图所示.

∵，，，∴，（1分）

∴，，∴.

延长交于点，如图所示.∴.

∵，，∴.

∵，∴.

∵，，，

∴，∴，.

∵，∴，∴为等边三角形.（1分）

∵，∴且.（1分）

23.解：（1）∵，∴只能，，即，.（1分）

又点在函数图象上，∴，∴，∴.（1分）

（2）设过的直线的表达式为.（1分）

由得.（1分）

∵上述方程有两个相等的实数根，∴，即.

∴由一元一次方程根与系数的关系得.（1分）

（3）存在，且点为.（1分）证明方法如下：

方法1：设这个点为，其中为正整数，为自然数.

∴，∴.∴.（2分）

∵43是质数，且，，

∴，.（2分）

∴，.∴存在满足条件的点，此点的坐标为.（1分）

方法2：∵，∴或或.（1分）

当时，；（1分）当时，无整数解.（1分）

当时，无整数解.（1分）

综上所述，存在满足条件的点，此点的坐标为.（1分）