九师联盟3月在线公益联考2020届高三数学（理科）试题 Word版含解析

这是一份九师联盟3月在线公益联考2020届高三数学（理科）试题 Word版含解析，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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九师联盟3月在线公益联考
高三数学（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若全集则( )
A. {x|x≤1} B. {x|0≤x≤1} C. {x|x≥0} D. {x|x1}
【答案】B
【解析】
【分析】
首先解分式不等式求出集合M，再利用集合的补运算即可求解.
【详解】或
.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的补运算，同时考查了分式不等式的解法，属于基础题.
2.若（为虚数单位），则复数的共轭复数的模是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知等式得，利用复数的乘法法则将复数化为一般形式，可求得复数的共轭复数，再利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】，，则，因此，.
故选：C.
【点睛】本题考查复数模的求解，涉及复数的乘法运算、共轭复数以及复数模长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等．现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入千元与平均每天的工作时间小时进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为，若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为（ ）
A. 50千元 B. 60千元 C. 120千元 D. 72千元
【答案】C
【解析】
【分析】
将代入回归直线即可求得结果.
【详解】令得：，即估计该自由职业者年收入为千元.
故选：.
【点睛】本题考查根据线性回归直线计算预估值的问题，属于基础题.
4.函数的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和函数图象上的特殊点进行排除，由此确定正确选项.
【详解】函数的定义域为，且
，所以为奇函数，由此排除CD选项.而，所以B选项错误.
故选：A
【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.
5.东京夏季奥运会推迟至2021年7月23日至8月8日举行，此次奥运会将设置4 100米男女混泳接力赛这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场.若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有（ ）
A. 144种 B. 8种 C. 24种 D. 12种
【答案】B
【解析】
【分析】
由甲只能承担仰泳或者自由泳，可分为两种情况，分别讨论，进而利用分类加法计数原理，可求出答案.
【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法；
若甲承担自由泳，则乙运动员有种安排方法，其他两名运动员有种安排方法，共计种方法.
所以中国队参赛共有种不同的安排方法.
故选：B.
【点睛】本题考查排列组合，考查分类加法计数原理的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.
6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》.小明计划从这十部书中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】从十部书中随机选择两部书共有种方法，其中选择的两部书中含有《九章算术》净
的方法为9种，所以所求的概率为.
故选：D.
【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
7.若执行如图所示程序框图，则输出k的值是( )

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案.
【详解】



，退出循环，输出.
故选：B.
【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查简单阅读程序框图能力，属于基础题.
8.已知菱形边长为2，，点分别在边上，，，则（ ）
A. B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合已知条件，以为基底表示出，再根据向量数量积的运算，求得.
【详解】由，
，所以
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积的运算，属于基础题.
9.将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.
【详解】解：把函数图象向右平移个单位长度后，
可得的图象；
再根据得到函数的图象关于直线对称，
，，
，函数.
在上，，，
故，即的值域是，
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．
10.已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.
【详解】解：设点到平面的距离为，因为是中点，
所以到平面的距离为，
三棱锥的体积，解得，
作平面，垂足为外心，所以，且，
所以在中，，此为球的半径，
.
故选：A.

【点睛】本题考查球的表面积，考查点到平面的距离，属于中档题．
11.已知双曲线的左、右焦点分别是，若以线段为直径的圆交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆的几何性质求得，结合，求得，利用勾股定理列方程，化简后求得.
【详解】不妨设为双曲线右支上一点．又点在以线段为直径的圆上，，又，，，，又，，（舍）或．
故选：C
【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
12.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为，则数列的前项和的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得在区间上的最大值，由此求得在区间上的最大值的表达式，根据等比数列前项和公式求得.
【详解】由题意，可得当时，，时，，当时，的最大值为．又由，当时，最大值为：当时，的最大值为，…，当时，的最大值为，由等比数列的前项和公式得．
故选：D．
【点睛】本小题主要考查分段函数的最值的求法，考查等比数列前项和公式，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知随机变量满足，且，若随机变量，则的值大约是_____．
【答案】0.0228
【解析】
【分析】
根据正态分布的对称性，求得的值.
【详解】据题设知，，
即，
所以．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查计算正态分布在给定区间上的概率，属于基础题.
14.已知是公差不为零的等差数列，为其前项和．若成等比数列，且，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比中项性质列方程，由此求得数列的公差，进而求得，从而求得数列的前项和.
【详解】设等差数列的公差为，则，，，，所以，整理得．，．，则，．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式和前项和公式，属于基础题.
15.已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.
【详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），
抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.
过作准线的垂线，垂足为，则有
，
当且仅当三点共线时，等号成立，
所以△PMF的周长最小值为55.
故答案为：5.

【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.
16.若对于曲线上的任意一点处的切线总存在曲线y=ax+cosx上的一点处的切线使则实数a的取值范围是___.(其中e为自然对数的底数)
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数导数从而计算直线斜率，根据确定等式关系，再经过分析即可得到答案.
【详解】由题可知，，
设曲线 上任意一点处切线斜率为，
则，
同理可得曲线上任意一点处切线斜率为，
，
又，
，

，即
解得，
所以实数a的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查函数某点的导数就是该点切线的斜率、集合间的包含关系等，难度一般.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小
（2）若的外接圆半径为2，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
（2）利用正弦定理求得，利用余弦定理结合基本不等式求得的取值范围，由此求得三角形面积的最大值.
【详解】（1）由正弦定理得，
化简得．
由余弦定理得．
又因为，所以．
（2）由正弦定理得，则，
由余弦定理得，
即（当且仅当时取等号），
故（当且仅当时取等号）．
即面积的最大值为．
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积的最值的求法，属于中档题.
18.为调研高中生作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.

（1）求的值；
（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？

文科生
理科生
合计
获奖
6


不获奖



合计


400

（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】（1），，.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；
（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，，
因为构成以2为公比的等比数列，所以，解得，
所以，.
故，，.
（2）获奖的人数为人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.
于是可以得到列联表如下：

文科生
理科生
合计
获奖
6
14
20
不获奖
74
306
380
合计
80
320
400



所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.
（3）由（2）可知，获奖的概率为，
的可能取值为0，1，2，
，
，
，
分布列如下：

0
1
2






数学期望为.
【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
19.如图，在三棱柱中，，，，过点作平面的垂线，垂足为线段的中点是的中点．

（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）1．
【解析】
【分析】
（1）通过等腰三角形的性质得到，通过平面得到两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过计算，证得.
（2）利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.
【详解】（1），为的中点，
．
又平面，
两两相互垂直．
以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，

又，，，
，，，，，，，，
．
又，，
，即．
（2）设平面的一个法向量，则
令，则，，
．
据题设分析知，平面，
平面的一个法向量．
，
二面角的正弦值为1．
【点睛】本小题主要考查线线垂直证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20.已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的上顶点，直线交椭圆于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交直线于两点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：（为坐标原点）为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据直线求得，根据离心率以及求得，由此求得椭圆的标准方程.
（2）设出的坐标，求得直线、直线的方程，由此求得点和点的纵坐标.由此求得的值，从而求得的值.
【详解】（1）据题设知，点在直线上，得．
又因为，，，
所以，，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）设，，，则有．
直线的方程为．令，整理得．
同理可得点纵坐标，
所以点的纵坐标之积
．
又因为，，
所以，
所以，即（为坐标原点）为定值．
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.
21.已知函数
（1）当a=-2时，求函数f(x)的极值；
（2）若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的x∈[0，+∞)成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）不存在极大值，极小值为 （2）
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，求得导函数后结合函数的单调区间，求得的极值.（2）化简题目所给不等式为对任意成立，构造函数，利用导数研究的单调性、最值，由此求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，则，令，解得，当时，，递减，当时，，递增，所以在处取得极小值，无极大值.
（2）由于，所以，又因为对任意的成立，化简得对任意成立.构造函数，，令，即，构造函数，，当时，，所以在上递增，当时，.
当即时，，此时在上递增，符合题意.
当即时，存在唯一实数，使，且当时，，当时，，而，故当时，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是
【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.
（1）若以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，试求曲线的极坐标方程；
（2）求直线被曲线截得线段的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；
（2）联立直线与椭圆方程得到两个交点的坐标，利用两点间的距离公式计算即可.
【详解】（1）
，
即曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为，即.
（2）直线的普通方程为.
解得或
直线被曲线截得线段的长.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，以及弦长的计算，考查学生的计算能力，是一道容易题.
23.已知实数满足.
（1）求的最小值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用柯西不等式即可得到；
（2）将代入中得到，再利用基本不等式即可得到的最大值.
【详解】（1）因为，当且仅当时等号成立，
即，当且仅当时等号成立.
又因为，
所以，当且仅当，，时等号成立.
即的最小值为.
（2）因为，，
所以，
所以.
又因为，
所以，即，当且仅当时，等号成立.
【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.