【同步教案】湘教版数学八年级上册--2.2.3定理与证明 教案

这是一份【同步教案】湘教版数学八年级上册--2.2.3定理与证明 教案，共6页。教案主要包含了命题的证明，反证法等内容，欢迎下载使用。

第2章　三角形
2 定义与命题
第3课时 定理与证明
教学目标
1.知道证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写格式.
2.掌握反证法证明的基本步骤和格式.
教学重难点
重点：证明的书写格式和用反证法的证明．
难点：体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性.
教学过程
导入新课
要说明一个命题是正确的，无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性.要确定命题是真命题，需要通过推理的方法加以证明.
探究新知
一、命题的证明
问题：如何证明与图形有关的命题？
证明一个命题的正确性要分为几个步骤？
学生思考交流，学生代表回答，其他同学补充，教师引导得出结论.要证明一个命题的正确性要分为三步：
第一步，分析命题的条件和结论；
第二步，根据命题画出图形，结合图形，根据条件写出已知，根据结论写出求证；
第三步，书写证明过程.
命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
教师：该命题是真命题还是假命题？
学生抢答：真命题.
图1
教师：你能将该命题所叙述的内容用图形语言表达出来吗？
学生画出图1.
教师：这个命题的条件和结论分别是什么呢？
学生回答：条件：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条；
结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.
教师：你能结合图形用几何语言表述命题的条件和结论吗？
学生回答：在同一平面内，若b∥c，a⊥b，则a⊥c.
教师：请同学们思考如何利用已经学过的定义、定理来证明这个结论呢？
已知：在同一平面内，b∥c，a⊥b.求证：a⊥c.
证明：如图1，∵ a⊥b（已知），∴ ∠1＝90°（垂直的定义）.
又∵ b∥c（已知），
∴ ∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴ ∠2＝∠1＝90°（等量代换）.∴ a⊥c（垂直的定义）.
图2
例1 已知：如图2，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE∥BC.
证明：∵ ∠DAC＝∠B+∠C（三角形外角定理），∠B＝∠C（已知），
∴ ∠DAC＝2∠B（等式的性质）.
又∵ AE平分∠DAC（已知），
∴ ∠DAC＝2∠DAE（角平分线的定义），
∴ ∠DAE＝∠B（等量代换）.
∴ AE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
二、反证法
问题：当直接证明一个命题为真有困难时，该如何解决？
例2　已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.
求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
师生活动：老师引导分析，学生交流尝试回答解题思路.
这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个” “有两个” “有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，
即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，
则∠A+∠B+∠C<180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.
师：通过上面例题的证明，归纳
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
应用反证法的情形：
（1） 直接证明困难;
（2） 直接证明需分成很多情况进行讨论;
（3） 结论为“至少”“至多”“有无穷多个” 的一类命题；
（4） 结论为 “唯一”类命题.
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：
（1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾；
（3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.
课堂练习
1.如图3所示，在直线AC上取一点O，作射线OB，OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC.求证：OE⊥OF.
2.求证：直角三角形的两个锐角互余．
图3
3.求证：△ABC中不能有两个钝角．
参考答案
1.证明：∵ OE和OF分别平分∠AOB和∠BOC，
∴ ∠EOB＝∠AOB，∠BOF＝∠BOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＝180°，
∴∠EOB＋∠BOF＝（∠AOB＋∠BOC）＝×180°＝90°，
即∠EOF＝90°，∴ OE⊥OF.
2.已知：如图4所示，
在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A与∠B互余．
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形内角和等于180°），
图4
又∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°.
∴∠A与∠B互余．
3.证明：假设△ABC中能有两个钝角，
即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，
与三角形的内角和为180°矛盾，
所以假设不成立，因此原命题正确，
即△ABC中不能有两个钝角．
课堂小结

布置作业
教材第58页 练习
习题2.2第6，7，8，9题
板书设计
2 .2　命题与证明
第3课时　命题的证明
证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：

反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.
例1 例2

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