山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（10套）-03解答题（较难题）

这是一份山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（10套）-03解答题（较难题），共36页。试卷主要包含了两点，，解答下列问题，【阅读理解】，，请回答下列问题，，回答下列问题等内容，欢迎下载使用。
山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（10套）-03解答题（较难题）
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•黄岛区一模）如图，直线y＝x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝．
（1）求k的值；
（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

二．二次函数综合题（共1小题）
2．（2023•青岛一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y＝ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒（t≥0），在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
（3）将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m（0≤m≤3），请直接写出S与m之间的函数关系式．

三．三角形综合题（共2小题）
3．（2023•黄岛区一模）如图，已知Rt△ACB和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CD＝4，BC＝CE＝3，B、C、D共线．动点P从D点出发沿DB向B点运动；动点Q从B点出发沿BA向A点运动；速度均为1cm/s，当Q点到达A点时，P，Q两点停止运动，过P点作DE的垂线，垂足为M点，连接PQ，PM，QM（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当PQ⊥AB时，求t的值；
（2）设△QPM的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点Q在PM的垂直平分线上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

4．（2023•青岛一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于 180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD＝180°，所以∠CBD＝∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，则∠ACB＝　 　°；
（2）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，则∠CBD+∠BCE＝　 　°；
（3）若∠A＝m°，则∠CBD+∠BCE＝　 　°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A＝60°，分别做∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC＝　 　°；
（5）若∠A＝60°，分别做∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且，，则∠BOC＝　 　°；
（6）若∠A＝m°，分别做∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且，，则∠BOC＝　 　°．
四．四边形综合题（共6小题）
5．（2023•青岛一模）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
6．（2023•市南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

7．（2023•青岛一模）问题提出：如图（1），在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求S正方形MNPQ．
问题探究：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长为 　 　；这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系 　 　；（填“＞”，“＝”“或＜”）；通过上述的分析，可以发现S正方形MNPQ与S△FSB之间的关系是 　 　．
问题解决：求S正方形MNPQ．
拓展应用：如图（3），在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF＝1，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△PQR，求S△PQR．
（请仿照上述探究的方法，在图3的基础上，先画出图形，再解决问题）．

8．（2023•城阳区一模）已知：如图①，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PC、PE，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PO、EO，是否存在某一时刻t，使∠POE＝90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
9．（2023•莱西市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为t（s），回答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）求四边形BCPQ的面积S（cm2）关于时间t（s）的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使点Q在∠PP'D平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

10．（2023•青岛一模）如图，在正方形ABCD中，，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为ts（0＜t＜8）．解答下列问题：
​（1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？
（2）设△PFQ的面积为Scm2，求S与t之间的关系式；
（3）当运动时间为2 s时，求PH的长；
（4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由．

五．相似形综合题（共1小题）
11．（2023•即墨区一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现
①当α＝0°时，＝　 　；
②当α＝180°时，＝　 　；
（2）拓展探究
试判断当0°＜α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•黄岛区一模）如图，斜坡BC的坡度为1：6，坡顶B到水平地面（AD）的距离AB为3米，在B处、C处分别测得ED顶部点E的仰角为26.6°和56.3°，点 A、C、D在一直线上，求DE（DE⊥AD）的高度（精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.5）


山东省青岛市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（10套）-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．反比例函数综合题（共1小题）
1．（2023•黄岛区一模）如图，直线y＝x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO＝．
（1）求k的值；
（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由y＝x+1可得A（0，1），即OA＝1，
∵tan∠AHO＝＝，
∴OH＝2，
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为2，
∵点M在直线y＝x+1上，
∴点M的纵坐标为3，即M（2，3），
∵点M在y＝上，
∴k＝2×3＝6；
（2）∵点N（1，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝6，即点N的坐标为（1，6），
过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P（如图），
此时PM+PN最小，
∵N与N1关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），
∴N1的坐标为（﹣1，6），
设直线MN1的解析式为y＝kx+b，
把M，N1的坐标得，
解得：，
∴直线MN1的解析式为y＝﹣x+5，
令x＝0，得y＝5，
∴P点坐标为（0，5）．

二．二次函数综合题（共1小题）
2．（2023•青岛一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y＝ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒（t≥0），在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
（3）将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m（0≤m≤3），请直接写出S与m之间的函数关系式．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），C（3，0）两点，
∴，
解得，
所以，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）方法一：令x＝0，则y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
由题意得，点D的坐标为（0，t），
BD＝3﹣t，
∵C（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点E的坐标为（2t，0），
∴GF＝﹣（2t）2+4t+3﹣（﹣2t+3）＝﹣4t2+6t，
当BD＝GF时，由于BD∥GF，四边形BDFG是平行四边形，
∴﹣4t2+6t＝3﹣t，
整理得，4t2﹣7t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝，
当t＝1时，点D的坐标为（0，1），点F的坐标为（2，1），
点B的坐标为（0，3），
此时BD＝BF，∠FDB＝90°，
∴四边形BDFG是正方形；
当t＝时，点D的坐标为（0，），点F的坐标为（，），∠FDB≠90°，
∴四边形BDFG不是正方形，
故，当t＝1时，四边形BDFG是正方形；

方法二：令x＝0，则y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
由题意得，点D的坐标为（0，t），
BD＝3﹣t，
∵C（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵点E的坐标为（2t，0），
∴点F的坐标为（2t，﹣2t+3），
若四边形BDFG是正方形，则DF⊥BD，DF＝BF，
∴﹣2t+3＝t，
解得t＝1，
此时，点F的坐标为（2，1），点G的坐标为（2，3），
∴BD＝FG＝DF＝BG＝2，
∴四边形BDFG是正方形；

（3）∵B（0，3），C（3，0），
∴OB＝OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图所示，①DF′在x轴上方时，0≤m＜，重叠部分矩形的宽＝m，
面积＝2×m＝m，
②DF在x轴下方，F′G′在y轴左边时，≤m＜2，
重叠部分的面积＝×3×3﹣××﹣××，
＝﹣m2+m，
③DF′在x轴下方，F′G′在y轴右边时，2≤m≤3，重叠部分矩形的宽＝（3﹣m），
面积＝（3﹣m）×2＝﹣m+6，
综上所述，S＝．

三．三角形综合题（共2小题）
3．（2023•黄岛区一模）如图，已知Rt△ACB和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CD＝4，BC＝CE＝3，B、C、D共线．动点P从D点出发沿DB向B点运动；动点Q从B点出发沿BA向A点运动；速度均为1cm/s，当Q点到达A点时，P，Q两点停止运动，过P点作DE的垂线，垂足为M点，连接PQ，PM，QM（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当PQ⊥AB时，求t的值；
（2）设△QPM的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点Q在PM的垂直平分线上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t＝s；
（2）S＝﹣（0＜t＜5）；
（3）t＝s．
【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠PQB＝∠ACB＝90°，
∵BC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∴cosB＝，
∴，
∴t＝s；
（2）如图1，

作PG⊥AB于G，
PG＝PB•sinB＝（7﹣t），
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴∠D＝∠A，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠D+∠B＝90°，
∵PM⊥DE，
∴∠PMD＝90°，
∴∠D+∠DPM＝90°，
∴∠B＝∠DPM，
∴PM∥AB，
∵PM＝PD•sinD＝t•＝，
∴S＝PM•PG＝×（7﹣t）＝﹣（0＜t＜5）；
（3）如图2，

存在t＝s，使得点Q在PM的垂直平分线上，理由如下：
作PG⊥AB于G，作QH⊥PM于H，
∴∠PGQ＝∠QHP＝90°，
∵PM∥AB，
∴∠GPH＝180°﹣∠PGQ＝90°，
∴四边形PGQH是矩形，
∴QG＝PH，
当PM＝2QG＝2PH时，PQ＝QM，即Q在PM的垂直平分线上，
∵BG＝（7﹣t），BQ＝t，
∴QG＝t﹣（7﹣t）＝，
∴t＝2（），
∴t＝＜5，
∴当t＝s时，点Q在PM的垂直平分线上．
4．（2023•青岛一模）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于 180°．
如图②，在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C＝180°，点D是AB延长线上一点．由平角的定义可得∠ABC+∠CBD＝180°，所以∠CBD＝∠A+∠C．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

【初步应用】
如图③，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（1）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，则∠ACB＝　50　°；
（2）若∠A＝60°，∠CBD＝110°，则∠CBD+∠BCE＝　240　°；
（3）若∠A＝m°，则∠CBD+∠BCE＝　（180+m）　°．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是△ABC的边AB，AC延长线上一点，
（4）若∠A＝60°，分别做∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，则∠BOC＝　60　°；
（5）若∠A＝60°，分别做∠CBD和∠BCE的三等分线交于点O，且，，则∠BOC＝　100　°；
（6）若∠A＝m°，分别做∠CBD和∠BCE的n等分线交于点O，且，，则∠BOC＝　（）　°．
【答案】（1）50；
（2）240；
（3）（180+m）；
（4）60；
（5）100；
（6）（）．
【解答】解：（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝110°﹣60°＝50°，
故答案为：50；
（2）同（1）得：∠ACB＝50°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∴∠CBD+∠BCE＝110°+130°＝240°；
故答案为：240；
（3）∵∠A＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣m°，
∴∠CBD+∠BCE＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣m°）＝（180+m）°，
故答案为：（180+m）；
（4）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
同（3）得：∠CBD+∠BCE＝240°，
∵∠CBD和∠BCE的平分线交于点O，
∴∠CBO＝∠CBD，∠BCO＝∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠CBD+∠BCE）＝×240°＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60；
（5）同（3）得：∠CBD+∠BCE＝240°，
∵∠CBO＝∠CBD，∠BCO＝∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠CBD+∠BCE）＝×240°＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100；
（6）同（3）得：∠CBD+∠BCE＝（180+m）°，
∵∠CBO＝∠CBD，∠BCO＝∠BCE，
∴∠CBO+∠BCO＝（∠CBD+∠BCE）＝×（180+m）°＝（）°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣（）°＝（）°，
故答案为：（）．
四．四边形综合题（共6小题）
5．（2023•青岛一模）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？
（2）设四边形EFDP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当t为s时，PE∥AB；
（2）y＝﹣t+48；
（3）当t＝时，FP⊥AD．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝，BO＝DO＝，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，
在Rt△AOD中，
由勾股定理，得AO2+DO2＝AD2，
∴AD＝．
∵PE∥AB，
∴，
即，
∴t＝，
因此，当t为s时，PE∥AB．
（2）如图1，过点P作PQ⊥OD于Q，

∴∠DQP＝∠DOA＝90°，
又∵∠QDP＝∠ODA，
∴△DQP∽△DOA，
∴，
即，
∴PQ＝，
∵EF∥BC，
∴，
即，
∴OF＝6﹣t，
∴y＝S四边形EFDP＝S△EFD+S△EDP＝•DE•PQ＝t+48．
因此，y与t之间的函数关系式为y＝﹣t+48．
（3）存在．理由如下：
假设存在t，使得FP⊥AD．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵FP⊥AD，
∴∠APF＝90°，
∴∠AOD＝∠APF，
∵∠OAD＝∠PAF，
∴△AOD∽△APF，
∴，
∵OF＝6﹣t，DP＝2t，
∴AF＝12﹣t，AP＝10﹣2t，
∴，
∴t＝，
因此，当t＝时，FP⊥AD．
6．（2023•市南区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题：
（1）t为何值时，BE＝BF；
（2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）t＝；（2）S＝+6t；（3）存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t＝s；（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由见解析．
【解答】解：（1）BC＝＝＝8cm．
由题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
∴BE＝（10﹣t）cm，
∵BE＝BF，
∴10﹣t＝2t，
∴t＝．
∴t为时，BE＝BF；
（2）过点F作FH⊥AB于点H，如图，
∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BFH∽△BAC，
∴，
∴，
∴FH＝t．
由题意：△AEF≌△AGF，
∴S△AEF＝SAGF．
∵S四边形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF，
∴S＝AB•FH+•FH＝10×t+t×t＝+6t．
∴S关于t的函数关系式为S＝+6t；
（3）存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，理由：
由题意：△AEF≌△AGF，
∵点G落在线段AC上，
∴∠GAF＝∠BAF，
∴，
∴，
解得：t＝．
∴存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t＝．
（4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由：
若四边形AEFG为菱形，
∴AE＝EF＝t，
过点E作EM⊥BC于点M，如图，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴，，
∴，
∴EM＝（10﹣t），BM＝（10﹣t），
∴FM＝|BM﹣BF|＝|﹣2t|．
∵EF2＝EM2+FM2，
∴，
整理得：9t2﹣65t+125＝0，
∵Δ＝652﹣4×9×125＝﹣275＜0，
∴此方程无解，
∴不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形．



7．（2023•青岛一模）问题提出：如图（1），在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求S正方形MNPQ．
问题探究：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图（2））．
若将上述四个等腰三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则新正方形的边长为 　a　；这个新正方形与原正方形ABCD的面积有何关系 　＝　；（填“＞”，“＝”“或＜”）；通过上述的分析，可以发现S正方形MNPQ与S△FSB之间的关系是 　S正方形MNPQ＝4S△FSB　．
问题解决：求S正方形MNPQ．
拓展应用：如图（3），在等边△ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF＝1，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△PQR，求S△PQR．
（请仿照上述探究的方法，在图3的基础上，先画出图形，再解决问题）．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）问题探究：
∵AE＝BF＝CG＝DH＝1，∠AFO＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°，
∴△AER，△BFS，△CGT，△DHW是四个全等的等腰直角三角形，
∴AE＝DW，
∴AE+DE＝DW+DE＝a，即AD＝WE＝a，
∵拼成一个新的正方形无缝隙，不重叠，
∴这个新正方形的边长为a；
∵所得的四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a•a＝a2，
∴拼成的新正方形面积为：4×a2＝a2，
即新正方形与原正方形ABCD的面积相等；
∵新正方形的面积＝4×S△MSG＝4×（S△FSB+S四边形MFBG），
原正方形ABCD的面积＝S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，
∴4×（S△FSB+S四边形MFBG）＝S正方形MNPQ+4×S四边形MFBG，
即S正方形MNPQ＝4S△FSB；
故答案为：a，＝，S正方形MNPQ＝4S△FSB；

（2）问题解决：
∵S△FSB＝×1×1＝，
∴S正方形MNPQ＝4S△FSB＝4×＝2；

（3）拓展应用：
如图所示，△PDH，△QWEI，△RFG是三个全等的三角形，可以拼成一个和△ABC一样的等边三角形（无缝隙，不重叠），
∴S△PRQ＝S△ADG+S△BHE+S△CFI＝3S△ADG，
如图，过点G作GJ⊥BA于J，
根据∠ADG＝∠BDP＝30°，∠DAF＝60°＝∠GAJ可得，∠ADG＝∠AGD＝30°，
∴AD＝AG＝1，
∴GJ＝AG＝，
∴S△ADG＝AD×GJ＝×1×＝，
∴S△PQR＝3S△ADG＝3×＝．


8．（2023•城阳区一模）已知：如图①，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PC、PE，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PE的垂直平分线上？
（2）设四边形PCFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接PO、EO，是否存在某一时刻t，使∠POE＝90°？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）当t为s时，点A在线段PE的垂直平分线上；
（2）y与t之间的函数关系式为y＝﹣t2+48；
（3）t的值为．
【解答】解：（1）连接PE，如图：

∵四边形ABCD是菱形，AC＝12cm，BD＝16cm，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝6cm，OB＝OD＝8cm，
∴AB＝＝＝10cm＝BC＝CD＝AD，
∴cos∠ADO＝＝，
根据题意得：AP＝tcm＝DQ，
在Rt△DQE中，coc∠ADO＝，
∴＝，
∴DE＝（cm），
∴AE＝AD﹣DE＝（10﹣）cm，
∵点A在线段PE的垂直平分线上，
∴AP＝AE，即t＝10﹣，
解得t＝，
∴当t为何值s时，点A在线段PE的垂直平分线上；
（2）过C作CH⊥AB于H，过E作EG⊥AB交BA延长线于G，如图：

∵S菱形ABCD＝BD•AC＝AB•CH，
∴CH＝＝（cm），
∴S梯形APCD＝＝＝（t+48）cm2，sin∠HBC＝＝，
∴sin∠GAE＝＝，
由（1）知AE＝（10﹣）cm，
∴GE＝cm，
∴S△APE＝AP•GE＝•t•＝（﹣t2+）tcm2，
∵EF⊥BD，AC⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴＝，即＝，
∴EF＝（cm），
∴S△EFD＝EF•QD＝••t＝t2（cm2），
∴y＝S梯形APCD﹣S△APE﹣S△EFD＝t+48﹣（﹣t2+t）﹣t2＝﹣t2+48；
∴y与t之间的函数关系式为y＝﹣t2+48；
（3）存在某一时刻t，使∠POE＝90°，理由如下：
过P作PR⊥BD于R，如图：

∵∠PBR＝∠ABO，∠PRB＝90°＝∠AOB，
∴△PBR∽△ABO，
∴＝＝，即＝＝，
∴PR＝（6﹣t）cm，BR＝（8﹣t）cm，
∴OR＝OB﹣BR＝t（cm），
∴tan∠OPR＝＝＝，
由（2）知EF＝cm，
根据菱形的对称性可得EQ＝FQ＝EF＝cm，
∵OQ＝OD﹣QD＝（8﹣t）cm，
∴tan∠EOQ＝＝＝，
∵∠POE＝90°，
∴∠EOQ＝90°﹣∠POR＝∠OPR，
∴tan∠EOQ＝tan∠OPR，
∴＝，
解得t＝，
经检验，t＝是分式方程的解，
∴t的值为．
9．（2023•莱西市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，点P、Q分别是线段CD和AD上的动点．点P以2cm/s的速度从点D向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点A向点D运动，当其中一点到达终点时，两点停止运动，将PQ沿AD翻折得到QP'，连接PP'交直线AD于点E，连接AC、BQ．设运动时间为t（s），回答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）求四边形BCPQ的面积S（cm2）关于时间t（s）的函数关系式；
（3）是否存在某时刻t，使点Q在∠PP'D平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；
（2）S＝t2﹣t+72（0≤t≤8）；
（3）5．
【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥CD于H，
则四边形ABCH是矩形，
∴CH＝AB＝8cm，AH＝BC＝6cm，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH＝＝＝8（cm），
∴CD＝CH+DH＝16（cm），
当PQ∥AC时，△DPQ∽△DCA，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
即当t为时，PQ∥AC；
（2）如图3，过Q作QG⊥BA于G，交CD于F，
则GF＝AH＝6cm，AH∥QF，
∴△QFD∽△AHD，
∵AB∥CD，
∴△QGA∽△QFD，
∴△QGA∽△AHD，
∴＝，
即＝，解得：QG＝t，
∴QF＝6﹣t，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是梯形，
∴四边形BCPQ的面积S＝S梯形ABCD﹣S△ABQ﹣S△PDQ＝×（8+16）×6﹣×8×t﹣×2t×（6﹣t）＝t2﹣t+72，即S＝t2﹣t+72（0≤t≤8）；
（3）存在，理由如下：
如图4，过A作AH⊥CD于H，点Q在∠P′PD平分线上，过Q作QF⊥CD于F，
由（3）可知，QF＝6﹣t，
由翻折的性质得：DE⊥PP'，
∴QE＝QF，∠DEP＝90°，
∴cosD＝＝，即＝，
解得：DE＝t，
∴QE＝DE﹣DQ＝t﹣（10﹣t）＝t﹣10，
∴t﹣10＝6﹣t，
解得：t＝5，
即存在某时刻t，使点Q在∠P′PD平分线上，t的值为5．




10．（2023•青岛一模）如图，在正方形ABCD中，，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为ts（0＜t＜8）．解答下列问题：
​（1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？
（2）设△PFQ的面积为Scm2，求S与t之间的关系式；
（3）当运动时间为2 s时，求PH的长；
（4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由．

【答案】（1）当t为2时，S△APQ：S△CDF＝1：4；
（2）S与t之间的关系式为S＝﹣t2+4t（0＜t＜8）；
（3）PH的长为2cm；
（4）点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm，理由见解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAQ＝45°，
∵QP⊥AC，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴AP＝PQ＝t cm，
∵四边形CEFM是正方形，
∴△CDF是等腰直角三角形，
在正方形ABCD中，，S△APQ：S△CDF＝1：4，
∴4S△APQ＝S△CDF，
∴4×AP•PQ＝CD•DF，
∴4t2＝（4）2，
∴t＝2（负值舍去），
∴当t为2时，S△APQ：S△CDF＝1：4；
（2）如图，过点P作PJ⊥AD于J，
∴△APJ，△PQJ都是等腰直角三角形，
∴AJ＝PJ＝tcm，AJ＝JQ＝tcm，
∴FQ＝AF﹣AQ＝（8﹣t）cm，
∴△PFQ的面积S＝FQ•PJ＝（8﹣t）•t＝﹣t2+4t（0＜t＜8），
∴S与t之间的关系式为S＝﹣t2+4t（0＜t＜8）；
（3）当运动时间为2 s时，AP＝PQ＝2cm，
∴AQ＝2cm，AJ＝PJ＝cm，
∴FJ＝AF﹣AJ＝8﹣＝7（cm），
∴PF＝＝＝10（cm），
∵CF＝CD＝8cm，PQ＝AP＝2cm，
∴PQ：CF＝1：4，
∵QP⊥AC，AC⊥CF，
∴PQ∥CF，
∴△PQH∽△FCH，
∴PH：HF＝PQ：CF＝1：4，
∴PH＝CF＝×10＝2（cm），
∴PH的长为2cm；

（4）点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm，理由如下：
如图，过点P作AF的平行线交AB，EF于点T，R，
∴PT⊥AB，
∵PJ⊥AD，AP平分∠BAD，
∴PT＝PJ，
∴四边形ATPJ是正方形，
∴PT＝AJ，
∵PR∥AF，
∴∠PRF＝∠RFJ＝90°＝∠PJF，
∴四边形PJFR是矩形，
∴PR＝FJ，
过点N作NK⊥EF于点K，NN′⊥AF于点N′，
∴NK∥PR，NN′∥PJ，
∵N是PF的中点，
∴K是FR的中点，N′是FJ的中点，
∴NK是△FPR的中位线，NN′是△FPJ的中位线，
∴NK＝PR，NN′＝PJ，
∴NK+NN′＝PR+PJ＝（PR+PJ）＝（FJ+AJ）＝AF＝8＝4（cm）．
∴点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm．
五．相似形综合题（共1小题）
11．（2023•即墨区一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现
①当α＝0°时，＝　　；
②当α＝180°时，＝　　；
（2）拓展探究
试判断当0°＜α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
【答案】（1）①；②；
（2）．
【解答】解：（1）①当α＝0°时，
∵Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴CE＝AE＝AC＝，BD＝BC＝1，
∴＝；
故答案为：；
②如图1﹣1中，

当α＝180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴＝．
故答案为：；
（2）如图2，

当0°＜α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
12．（2023•黄岛区一模）如图，斜坡BC的坡度为1：6，坡顶B到水平地面（AD）的距离AB为3米，在B处、C处分别测得ED顶部点E的仰角为26.6°和56.3°，点 A、C、D在一直线上，求DE（DE⊥AD）的高度（精确到1米）．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.5）

【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，

则AB＝DF，BF＝AD，
设EF＝x米，
在Rt△EBF中，∠EBF＝26.6°，
∴EF＝BF•tan26.6°，
∴x≈BF×0.5，
∴BF＝2x米，
∵斜坡BC的坡度为1：6，坡顶B到水平地面（AD）的距离AB为3米，
∴AC＝18米，AB＝DF＝3米，
∴ED＝EF+FD＝（x+3）米，
在Rt△DEC中，∠ECD＝56.3°，
∴ED＝CD•tan56.3°，
∴x+3≈CD×1.5，
∴CD＝（x+3）米，
∵BF＝AD＝AC+CD，
∴2x＝18+（x+3），
解得，x＝15，
∴EF＝15米，
∴ED＝EF+FD＝15+3＝18（米），
∴DE的高度是18米．