高考数学一轮复习检测：第7章第1节 空间几何体及其体积、表面积 含解析

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)

A．①②　　　　　　　 B．①③

C．①④  D．②④

解析：选D.①中正、侧、俯三视图均相同，不符合题意；②中正、侧视图均相同，符合题意；③中正、侧、俯三视图均不相同，不符合题意；④中正、侧视图均相同，符合题意．

2.圆环内圆半径为4，外圆半径为5，则圆环绕其对称轴旋转一周形成的几何体的体积为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.该旋转体是大球体中挖掉一个小球体，该旋转体体积为V＝×53－×43＝.

3.已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C.设点A1到截面AB1D1的距离是h，由VA1­AB1D1＝VA­A1B1D1，可得S△AB1D1·h＝S△A1B1D1·AA1，即××2×2×4＝×h，解得h＝.

4.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)

A．36π  B．64π

C．144π  D．256π

解析：选C.如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC＝VC­AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π.

5.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，记该正方体的正视图与侧视图的面积分别为S1，S2，则(　　)

A.－为定值

B. 为定值

C.＋为定值

D.＋为定值

解析：选A.设投影面与侧面所成的角为α⇒S1＝sin α＋cos α，S2＝sin(90°－α)＋cos(90°－α)＝sin α＋cos α，S1＝S2⇒－为定值．

6.现有一块半球形原料，若通过切削将该原料加工成一个正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A.当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为a，则球的半径为R＝＝a，所以所求体积比为＝，故选A.

7.如图，BD是边长为3的正方形ABCD的对角线，将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于________．

解析：对角线BD绕着AB旋转，形成圆锥的侧面；边BC绕着AB旋转形成圆面；边CD绕着AB旋转，形成圆柱的侧面，所以该几何体是由圆柱挖去一个同底面的圆锥，所以V＝π·32·3－·π·32·3＝18π.

答案：18π

8.已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为________．

解析：设圆锥的母线长是R，则扇形的弧长是＝，

设底面半径是r，

则＝2πr，所以r＝，

所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.

答案：

9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为AB，PC的中点，PD＝AD＝2，AB＝4.则点A到平面PMN的距离为________．

解析：取PD的中点E，连接AE，NE，则在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别为AB，PC的中点，

所以NE∥AM，NE＝AM，

所以四边形AENM是平行四边形，所以AE∥MN，所以点A到平面PMN的距离等于点E到平面PMN的距离，设为h，在△PMN中，PN＝，PM＝2，MN＝，所以S△PMN＝×2×＝，由VE­PMN＝VM­PEN，可得×h＝××1×2×2，所以h＝.

答案：

10.如图直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．

解析：由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，所以∠BAC＝90°，△ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点．设正方形BCC1B1的边长为x.在Rt△OMC1中，OM＝，MC1＝，OC1＝R＝1(R为球的半径)，

所以＋＝1，

即x＝，则AB＝AC＝1，

所以S矩形ABB1A1＝×1＝.

答案：

B级　能力提升练

11.(2019·吉林实验中学月考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是(　　)

A．4，8  B．4，

C．4(＋1)，  D．8，8

解析：选B.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴四棱锥的体积V＝×22×2＝；四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，∴S侧＝4××2×＝4.

12.若三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)

A．64π  B．63π

C．65π  D．32π

解析：选A.设球O的半径为R，∵AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，∴BC2＝1＋4－2×1×2×cos 60°＝3，所以AB2＋BC2＝AC2.即△ABC为直角三角形，那么△ABC所在截面圆的直径为AC，所以(2R)2＝SA2＋AC2＝64.所以S球＝4πR2＝64π.

13.已知四面体P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为(　　)

A．64π  B．65π

C．66π  D．128π

解析：选B.如图，D，E分别为BC，PA的中点，易知球心O在线段DE上．

∵PB＝PC＝AB＝AC，

∴PD⊥BC，AD⊥BC，PD＝AD.

又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，

∴PD⊥平面ABC.∴PD⊥AD.∴PD＝AD＝4.

∵点E是PA的中点，

∴ED⊥PA，且DE＝EA＝PE＝4.

设球O的半径为R，OE＝x，

则OD＝4－x.在Rt△OEA中，有R2＝16＋x2，

在Rt△OBD中，有R2＝4＋(4－x)2，解得R2＝，所以S＝4πR2＝65π，故选B.

14.正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A­B1DC1的体积为(　　)

A．3  B．

C．1  D．

解析：选C.∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，

∴AD⊥BC.

又ABC­A1B1C1为正三棱柱，

∴AD⊥平面BB1C1C.

又四边形BB1C1C为矩形，

∴S△DB1C1＝S四边形BB1C1C＝×2×＝.

又AD＝2×＝，∴VA­B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××＝1.故选C.

15.(2018·安徽黄山模拟)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．

解析：根据题意可知，该几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示，

则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为π×1×＋2π×12＋π×12＝(＋3)π.

答案：(＋3)π

16.(2018·贵州贵阳适应性考试)已知底面是正六边形的六棱锥P­ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为________．

解析：因为六棱锥P­ABCDEF的七个顶点均在球O的表面上，由对称性和底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P­ABCDEF为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h，则×h＝，解得h＝2.记球O的半径为R，根据平面截球面的性质，得(2－R)2＋12＝R2，解得R＝，所以球O的表面积为4πR2＝4π＝.

答案：