湖南省常德市桃源县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版）

这是一份湖南省常德市桃源县2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022－2023学年度八年级期中考试数学试题卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1. 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到设计方案有等腰三角形、正三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等几种图案，你认为符合条件的是有几种( )
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】由题意得：等腰三角形、正三角形、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
菱形、矩形、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，共3种．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的判定，熟练掌握相关概念是解题关键．
2. 具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．
【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意；
B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意；
C、由及可得，，是直角三角形，故不符合题意；
D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键．
3. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
4. 如图，P为正方形对角线上任意一点，于E，于F，若，则四边形的周长为（ ）

A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据正方形的性质和勾股定理可求出的长，再由，，，得到和为等腰直角三角形，推出，即得．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵于E，于F，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，，
∴


．
即四边形周长为2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形，勾股定理，等腰直角三角形等，解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质．
5. 如图，是中的平分线，，交于点，，交于点．若，，，则的长是（　　）

A. 4 B. 3 C. 6 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】由角平分线的性质可得，由及三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：是中的平分线，，交于点，，交于点，
，
，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）

A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减少
【答案】C
【解析】
【分析】连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
【详解】如图，连接AP．

∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．
7. 如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片中，，，将上面的矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点的对应点为，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD-AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．
【详解】由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，
在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2，
解得AF=5，
∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，
∴∠BAF=∠EAG，
∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，
∴△BAF≌△GAE，
∴AE=AF=5，ED=GE=3，
∵S△GAE=AG•GE=AE•AE边上的高，
∴AE边上的高=，
∴S△GED=ED•AE边上的高=×3×=，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
8. 如图，正方形中，点E、F分别在上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③垂直平分，④，其中正确的结论有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC＝x，BE＝y，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵△AEF等边三角形，
∴，．
∴．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴，
∴BE＝DF， ∠BAE＝∠DAF，故①正确，
∴，
即 故②正确，
∵BC＝CD，
∴，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，故③正确．
设EC＝x，在等腰直角三角形中，
，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∴，
，
∵，，
∴ ，故④正确．
综上所述，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
10. 若正多边形一个内角是，则这个正多边形的边数是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意，求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】正多边形一个内角是，
它的一个外角是：，
多边形的外角和为，
这个正多边形的边数是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，解题的关键是求出正多边形的外角度数．
11. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝5，BD＝12，则菱形ABCD的面积为_____．

【答案】96
【解析】
【分析】根据菱形的性质和已知条件可得OE是Rt△DOA斜边上的中线，由此可求出DC的长，再根据勾股定理可求出OC的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，
∴DO⊥CO，DO＝BO＝BD＝6，
∵E是DA边上的中点，
∴OE＝DC，
∴DC＝10，
∴OC＝＝8，
∴AC＝2OC＝16，
∴则菱形面积＝×16×12＝96，
故答案为96．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
12. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，若点为对角线上的一个动点，则周长的最小值是___________．

【答案】6
【解析】
【分析】连接PC，根据正方形的对称性得到PC=PA，此时的周长变为AE+PE+PC，当E、P、C三点共线时，PE+PC取得最小值为CE，此时的周长为CE+AE，再由AE=1即可计算求解．
【详解】解：连接PC，CE如下图所示：

由正方形的对称性可知：PC=PA，
∴的周长=AE+AP+PE=AE+PC+PE=1+PC+PE，
当E、P、C三点共线时，PC+PE取得最小值为CE，
在Rt△CBE中，，
∴周长的最小值为：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，两点之间线段最短等知识点；本题的关键是连接PC，由对称性得到PC=PA，进而得到当E、P、C三点共线时，PE+PC取得最小值为CE进而求解．
13. 如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．

【答案】1
【解析】
【分析】画出容器侧面展开图（见详解），作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．

由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
14. 如图，已知是等腰三角形，点D在AC边上，将绕点A逆时针旋转45°得到，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则的度数是_____．

【答案】22.5°
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，即可求的度数．
【详解】∵将绕点A逆时针旋转45°得到，

∴，
∴，
∴
故答案为22.5°
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
15. △ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°则△ABC的面积是 ．
【答案】21或15．
【解析】
【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，

在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，
在Rt△ACD中，CD==，
∴BC=BD+CD=6+=7，
则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，

由①知，AD=6、BD=6、CD=，
则BC=BD﹣CD=5，
∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，
故答案为21或15．
考点：解直角三角形．
16. 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形，根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形．其中正确的是______．（填序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】①正方形与菱形对边平行，邻边相等，可判定．
②平行四边形对边平行，不满足邻边相等的条件．
③通过对边平行与角平分线可得邻边相等，即可判定．
④对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件．
【详解】解：①正方形与菱形对边平行，邻边相等，满足广义菱形的规定，故①正确．
②平行四边形对边平行，但邻边不一定相等，不满足广义菱形的规定，故②错误．
③如图，四边形，，平分，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，满足广义菱形的规定．故③正确；
④对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形不满足对边平行的条件，如“筝形”：四边形，，，，但对边不平行，所以对角线互相垂直，且两组邻边分别相等，但对边不平行，不满足广义菱形的规定，故④错误．

故答案为：①③．
【点睛】本题考查新定义，解题关键是熟练掌握平行四边形的、菱形、正方形的性质．
三、解答题（本大题10个小题，满分72分）
17. 已知、、满足：．请判断以、、为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？
【答案】能，构成直角三角形
【解析】
【分析】根据非负数的性质求得的值，进而根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：∵
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴以、、为边能构成直角三角形
【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
18. 如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：.

【答案】见详解
【解析】
【分析】利用“”证明，即可作答．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴、是直角三角形，
在和中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考考查了利用“”证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．
19. 如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在边OB上，四边形AEBF平行四边形．
（1）请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请说明你的画法的正确性．

【答案】（1）射线OP即为所求，见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）连接AB、EF交于点P，作射线OP即可；
（2）根据平行四边形的性质和SSS证明△APO≌△BPO即可.
【详解】解：（1）连结AB、EF交于点P，作射线OP，则射线OP即为所求，

（2）因为四边形AEBF是平行四边形，
所以，AP＝BP，
又 AO＝BO，OP＝OP，
所以，△APO≌△BPO，
所以，∠AOP＝∠BOP．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质以及据题作图的能力，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分的性质，需要说明的是本题第（2）小题，也可由AO＝BO和AP＝BP，根据等腰三角形三线合一的性质得到∠AOP＝∠BOP．
20. 【问题原型】如图，在中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形．

【甲同学的证法】
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴，（第一步）
，（第二步）
∴四边形AECF是平行四边形．（第三步）
∴（第四步）
∴平行四边形AECF是菱形（第五步）
【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】
（1）甲同学的证明过程在第______步出现了错误．
（2）请你根据甲同学的证题思路写出此题的正确解答过程．
【答案】（1）二 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）因为EF是AC的垂直平分线，所以平分AC，但是不平分EF．
（2）根据ASA证明三角形全等，再证明AECF是平行四边形，最后根据垂直可以得到四边形AECF是菱形．
【小问1详解】
因为EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的定义，可以得到：
且EF平分AC，但是不平分EF．
故不能得到．
【小问2详解】
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴．
∴．
∵EF是AC的垂直平分线．
∴，．
又．
∴．
∴．
又∵．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵．
∴四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定和垂直平分线的性质，解题的关键在于熟练掌握判定定理，证明四边形AECF是平行四边形．
21. 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．

（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
【答案】（1）会，说明见解析
（2）10小时
【解析】
【分析】（1）过点A作AD⊥BF于点D，根据直角三角形的性质可得，求出AD，再比较，即可求解；
（2）设台风到达点C时，A市开始受到台风的影响，到达点E时， A市开始不受到台风的影响，则AE=AC=200千米，根据等腰三角形的性质可得CE=DE，再由勾股定理求出CD，即可求解．
【小问1详解】
解：A市会受到台风的影响，理由如下∶
如图，过点A作AD⊥BF于点D，

在中，∠ABD=30°，AB=300千米，
∴千米，
∵AD=150千米＜200千米，
∴A市会受到台风的影响；
【小问2详解】
解∶设台风到达点C时，A市开始受到台风的影响，到达点E时， A市开始不受到台风的影响，则AE=AC=200千米，
∵AD⊥BF，
∴CD=DE，
∴千米，
∴千米，
∴A市受台风影响的时间为(小时)．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键．

22. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．设梯子顶端到水平地面的距离为p，底端到垂直墙面的距离为q，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的底端B向墙脚内移到D点，请问这时使用是否安全．

【答案】这时使用安全
【解析】
【分析】根据题意得：AB=CD=2.5m，OA=2m，BD=0.8m，根据勾股定理可得，从而得到q=0.7，再由勾股定理可得p=2.4，即可求解．
【详解】解∶根据题意得：AB=CD=2.5m，OA=2m，BD=0.8m，
∴，
∴OD=OB-BD=0.7m，q=0.7，
∴，即p=2.4
∴，
∵，且．
∴这时使用安全．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．

（1）t取何值时，四边形为矩形？
（2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）4 （2）4或
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定，当时，四边形为平行四边形，又由，
平行四边形是矩形，列出方程求解即可；
（2）是动点，点在点的左边和右边所构成的四边形都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可．
【小问1详解】
由题意可知，，则，，则，
∵，即，
∴当时，四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
则有，解得，
答：时，四边形为矩形．
【小问2详解】
∵，是上一点，即，
①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．