四川省绵阳南山中学实验学校2023届高三（补习）二诊模拟理科数学试题（含解析）

这是一份四川省绵阳南山中学实验学校2023届高三（补习）二诊模拟理科数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省绵阳南山中学实验学校2023届高三（补习）二诊模拟理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则
A．0 B．1 C．2 D．3
3．中，点D满足：，则（    ）
A． B． C． D．
4．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（    ）

A．这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B．这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C．这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D．这种疾病患者的平均年龄为48岁
5．一种在恒温大棚里种植的蔬菜的株高（单位：cm）与温度（单位：℃，）满足关系式，市场中一吨这种蔬菜的利润（单位：百元）与，的关系为，则的最大值为（    ）
A．1095.4 B．995.4 C．990.4 D．895.4
6．若椭圆C的方程为，则“”是“椭圆C的离心率为”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若，则的值为（    ）
A． B．1 C．0 D．2
8．已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是（    ）
①        ②
③    ④
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
9．已知等差数列的前项和为，公差，和是函数的极值点，则（ ）
A．－38 B．38
C．－17 D．17
10．某学习小组用计算机软件对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（    ）
A． B． C． D．
11．已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（    ）
A． B． C． D．
12．设是定义在上的连续函数的导函数，且.当时，不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．若，则 .
14．记表示的平面区域为，记表示的平面区域为，则在内任意取一点恰好取自的概率是 .
15．双曲线C：的左右焦点分别为，，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则 .
16．已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
①曲线与两坐标轴有公共点；
②曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③若点，在曲线上，则的最大值是；
④曲线围成图形的面积大小在区间内．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题
17．已知数列的各项均为正数，且对任意的都有.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，问是否存在正整数，对任意正整数有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求；
(2)在下面三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上的中线的长度.
①；②的周长为；③面积为.
19．某市为了解2020年十一双节期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市市区内甲､乙､丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到下表(单位：人)：
满意度得分
甲
乙
丙
报团游
自驾游
报团游
自驾游
报团游
自驾游
10分
12
1
12
10
7
14
5分
4
1
4
4
4
9
0分
1
0
7
2
1
7
合计
17
2
23
16
12
30
（1）从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲､乙､丙三个景点，从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取2人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）如果王某要去甲､乙､丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.
20．如图所示，已知抛物线：，椭圆：，过y轴正半轴上点A作斜率为的直线l交抛物线于B，C两点，交椭圆于E，F两点．

(1)当点A为抛物线的焦点时，．求抛物线的方程；
(2)若B，C两点关于y轴的对称点为，，求四边形面积的最大值．
21．已知函数.
(1)讨论函数的单调性与极值；
(2)当时，函数在上的最大值为，求使得上的整数k的值（其中e为自然对数的底数，参考数据：，）.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线与曲线交于点．
(1)求曲线，的普通方程；
(2)，是曲线上的两点，求的值．
23．已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式恒成立，求实数x的取值范围．

参考答案：
1．B
【分析】由题知，，再求交集即可.
【详解】解：，
，
所以
故选：B
2．D
【详解】试题分析：,所以互为共轭复数为，即，所以，故选D.
考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.
3．C
【分析】利用向量加减及数乘运算法则得到，求出.
【详解】∵，
∴，
故，
所以，故.

故选：C
4．C
【分析】根据频率分布直方图中的数据逐一判断即可.
【详解】小于等于30的概率为​，故A不对；
小于等于45的概率为，
所以中位数大于45，故B错误；
​​（岁），故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，
故选：C.
5．A
【分析】代入y得，结合均值不等式即可得最大值.
【详解】，
当且仅当时，等号成立.
故选：A.
6．A
【分析】由椭圆的性质得推出关系后判断
【详解】椭圆C的离心率为，即，
若椭圆焦点在轴上，则，得，
若椭圆焦点在轴上，则，得，
故“”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，
故选：A
7．A
【分析】分别令和，然后所得两式相乘可得．
【详解】令得，
令得，
所以．
故选：A．
8．A
【分析】根据题意可得正态曲线关于对称，再结合正态分布的密度曲线定义逐个分析判断即可.
【详解】因为随机变量，
所以正态曲线关于对称，
因为，，
所以根据正态曲线的对称性可知，，，
所以①③④正确，②错误，
故选：A
9．A
【分析】求得函数的导数，令，求得函数的极值点，得到，，结合等差数列的通项公式，列出方程组求得的值，最后利用等差数列的求和公式，即可求求解.
【详解】由题意，函数，其中，
可得
令，解得或，
又和是函数的极值点，且公差，所以，，
所以，解得，
所以.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其应用，以及函数的极值的概念及应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及利用函数极值点的概念，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10．D
【分析】先利用样本中心一定在回归直线上，计算出，然后利用样本中心点的横坐标和纵坐标分别为对应数据的均值，计算出除了输入错误数据的和，然后代入正确数据计算出均值，就可以得到修正后数据的样本点中心，然后将其代入修正后的回归直线方程，计算出即可.
【详解】由题可知，假设甲输入的为，为，所以，，所以，，改为正确数据时得，，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程，得.
故选：D
11．D
【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当共线，且在线段之间时，最短，即此时有最小值，列方程即可求解.
【详解】如图所示：

易知圆的圆心，半径，
抛物线焦点，准线方程，
由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离，
所以，
由图可知：当共线，且在线段之间时，最短，
而，故有,
即，解得：.
故选：D
12．A
【分析】设，进而根据题意得函数在上单调递增，不等式在上恒成立，进而构造函数，求函数最大值即可得答案.
【详解】设，则.
因为，，所以恒成立.则函数在上单调递增.
当时，，不等式可化为，即恒成立.
又函数在上单调递增，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立.
令，则.
令，得.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，
所以，故所求实数的取值范固为.
故选:A.
13．
【分析】利用诱导公式即可得到结果.
【详解】，
故答案为：
14．/0.88
【分析】根据题意画出，可行域，由几何概型可求概率.
【详解】
如图所示，画出可行域，为四边形面积，为三角形面积，求得，，，，，，
，故在内任意取一点恰好取自的概率是.
故答案为：
15．/
【分析】根据双曲线的离心率为2得，根据过的直线的斜率为，得到，然后分别在和中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.
【详解】因为双曲线的离心率为2，则，
因为过斜率为，所以，则，
  
在中，设，则，
由，解得，则，
在中，设，则，
由，解得，则，
则，在中.
故答案为：
16．②③
【分析】根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析个结论，即可得答案．
【详解】根据题意，曲线的方程是，必有且，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
作出图象：

依次分析个结论：
对于①，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故①错误；
对于②，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；
对于③，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共线时取得最大值，
故的最大值是圆心距加两个半径，为，故③正确；
对于④，当，时，方程为与坐标轴的交点，，
则第一象限面积为，
故总的面积大于，故④错误．
故答案为：．
17．(1)，
(2)存在，1010

【分析】（1）由得到：（），两式相减得即可求解；
（2）由（1）得到，利用裂项相消求和得到，由数列的单调性定义可得数列为递增数列，结合条件得到，即可求解.
【详解】（1）因为，，
当时，，
两式相减得（），即（）.
又当时，，得，满足上式.
故，.
（2）由（1）可得，，
则
，即.
又，
所以数列为递增数列，所以.
因为对任意正整数有恒成立，
所以，解得.又，所以.
所以存在正整数，使得对任意正整数有恒成立，且的最大值为1010.
18．(1)
(2)选①，无解；选②，；选③，

【分析】（1）利用正弦定理将条件中的边转化成角，将代入，即可求出，进而求出角；
（2）若选①，可得，不满足题意，故不存在满足条件的三角形；
若选②，首先根据的周长求出三角形三边长度，然后在中使用余弦定理即可求出中线的长度；
若选③，首先根据的面积求出与的长度，进而得到的长度，然后在中使用余弦定理即可求出中线的长度；
【详解】（1）依题意，，由正弦定理得，，由于，所以.
（2）由（1）知，，故不能选①.
如图所示，设为的中点，则为边上的中线.

若选②，由（1）知，
设，由，得，则，
故周长为，解得.
从而，.
则在中，
由余弦定理得，解得.
若选③，已知，
得，即，则，
在中，由余弦定理得，
.因此边上的中线长为.
19．（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为；（3）建议王某选报团游，理由见解析.
【分析】（1）由表格中所给数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意得到随机变量的所有可能取值，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）由题干所给表格中的数据，分别求得报团游满意度和自驾游满意度的均值，结合均值的比较，即可得出结论.
【详解】（1）设事件“从样本中任取1人，这人没去丙景点”为事件A，
由表格中所给数据可得，去甲、乙、丙旅游的人数分别为19，39，42，
所以从样本中任取1个，这人没去丙景点的概率为.
（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，
从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取1人，
此人去乙景点的概率是，
所以，，，
所以随机变量的分布列为

0
1
2




故.
（3）由题干所给表格中的数据可知，报团游､自驾游的总人数分别为52，48，得分为10分的报团游､自驾游总人数分别为31，25，得分为5分的报团游､自驾游的总人数分别为12，14，得分为0分的报团游､自驾游总人数分别为9，9，
所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，
自驾游满意度的均值为，
因为，所以建议王某选报团游.
【点睛】独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略：
1、在求次独立重复试验中事件发生次的概率时，首先要确定好和的值，再准确利用公式求解；
2、在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键时理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数和变量的概率，求得概率.
20．(1)
(2)

【分析】（1）设，，根据题意表示出抛物线方程和直线方程，联立得到根与系数的关系，根据弦长公式计算得到答案.
（2）联立方程得到根与系数的关系，计算，计算点，到直线EF的距离得到，得到面积解析式，构造函数，求导得到函数的单调区间，计算最大值得到答案.
【详解】（1）设，，当点A为抛物线焦点时，，l：，
与抛物线联立，整理得，，
，，，
即抛物线的方程为.
（2）设l：，与椭圆联立，整理得，
直线与椭圆有两个交点E，F，，，又，故，
设，，有，
，
B，C两点关于y轴对称点为，，即，
设，分别为点，到直线EF的距离，
则


将l与抛物线联立，整理得，
两根为，，，，
四边形的面积
，
令，令，
得到，即在上单调递增，在上单调递减，
，，
即四边形面积的最大值为.
【点睛】本题考查了圆锥曲线和导数的综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用根与系数的关系解题是常考的知识点，需要熟练掌握，利用导数求最值是解题的关键.
21．(1)单调性见解析，极大值为，无极小值
(2)

【分析】（1）对函数求导，并对a的取值范围进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性、极值即可求解；
（2）对函数求导，构造新函数，利用导数研究函数的单调性、零点、函数值域即可求解.
【详解】（1），.
当，即时，恒成立，则函数在上单调递增，无极值；
当，即时，令，即，解得，
当时，，故函数在上单调递增；
当时，，故函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，且极大值为.
综上所述，当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减，在处，取得极大值，且极大值为，无极小值.
（2）依题意，当时，，
.
因为，所以.
令，，
则在上恒成立，所以在上单调递增.
又，，
所以存在，使得，即，
则当时，，则，所以函数在上单调递增；
当时，，则，所以函数在上单调递减，
所以函数在上的最大值.
又因为，所以，.
令，，
则在上恒成立，所以函数在上单调递增，
所以.
因为，，
所以，又，所以整数.
22．(1)的普通方程为，的普通方程为
(2)

【分析】（1）根据参数方程化为普通方程，结合同角三角函数的平方公式，根据圆中弦的性质，可得答案；
（2）根据参数方程的等量关系，代入曲线的方程，表示出，整理等式，可得答案.
【详解】（1）的参数方程为，则，，∴的普通方程为，
由射线与曲线交于点，则，设圆的半径为，则，
曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，圆心为在直角坐标系下的坐标为，
∴的普通方程为.
（2）曲线的极坐标方程为，
∴，∴，
∴，
∴.
23．(1)5
(2)

【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求解即可；
（2）首先利用绝对值的三角不等式求出的最小值，然后分类讨论求解即可.
【详解】（1）∵，，
∴，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为5；
（2）由题知：恒成立，先求的最小值
∵
∴，
∴
当时，，
∴，
∴
当时，，
∴，
∴
当时，，
∴，
∴
综上，实数x的取值范围是