2023年湖南省湘潭市湘潭县湘潭江声实验学校中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省湘潭市湘潭县湘潭江声实验学校中考三模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省湘潭市湘潭县湘潭江声实验学校中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则的相反数为（    ）
A． B．2023 C． D．
2．下列几何体中，左视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．开幕式中一组组亮眼的数据，展示了新时代十年发展的新成就．其中用科学记数法科表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是（   ）
A． B．
C． D．
6．下列说法中，正确的是（    ）
A．为了解长沙市中学生的睡眠情况实行全面调查
B．一组数据，2，5，5，7，7，4的众数是7
C．明天的降水概率为，则明天下雨是必然事件
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定
7．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　）

A． B．
C． D．
8．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C．S△DOE：S△BOC＝1：2 D．△ADE∽△ABC

二、多选题
9．若关于的方程有两个相等的实数解，则a的值可能为（　　）
A． B．0 C．2 D．3
10．如图，已知，任取一点，连接，，，并取它们的中点、、、顺次连接得到，下列结论中正确的是（　　）

A．与是位似图形
B．与是相似图形
C．与的周长之比
D．与的面积之比为
11．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）
A．全等三角形的对应角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．五边形的外角和为
12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）

A．2a＋b＜0 B．abc＞0 C．4a﹣2b＋c＞0 D．a＋c＞0

三、填空题
13．分解因式： ．
14．代数式有意义，则x的取值范围是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若EF=4,则CD的长为

16．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中的箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第2次运动到，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2018次运动后动点P的坐标是 ．


四、解答题
17．计算：．
18．先化简：，然后在，，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
19．如图，E是矩形的边上的一点，于点F．

(1)求证：；
(2)若，，当点E为中点时，求线段的长度．
20．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得两点的俯角分别为和，其长度为90m．请求出热气球离地面的高度．参考数据：，， ．
  
21．阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩．
(1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？
22．如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．
  
(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
23．为了了解我市中学生参加“科普知识”竞赛成绩的情况，随机抽查了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示.请根据图表信息解答下列问题：
（1）在表中： ， ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小明的成绩是所有被抽查学生成绩的中位数，据此推断他的成绩在 组；
（4）个小组每组推荐人,然后从人中随机抽取人参加颁奖典礼，恰好抽中、两组学生的概率是多少？并列表或画树状图说明.

24．如图，已知是的直径，与相切于点D，且．

(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点E．若，的半径为2，求的长．（结果保留π）
25．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴交于点C，连接
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为y轴上一个动点，连接，求的最小值；
(3)连接，在x轴上是否存在一点P，使得？若存在；若不存在，请说明理由．
26．已知点E、F分别是四边形边上的点，且与相交于点G．
  
(1)如图①，若，，，且，求证：；
(2)如图②，若，，求证：；
(3)如图③，若，，当时，直接写出

参考答案：
1．D
【分析】根据相反数的意义可得．
【详解】解：根据相反数的意义得出：的相反数是，
故选：D．
【点睛】本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义．
2．C
【分析】利用左视图是从物体左面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
【详解】解：A． 长方体的左视图是长方形，不符合题意；
B． 该圆柱体的左视图是长方形，不符合题意；
C．圆锥的左视图是三角形，符合题意；
D．该三棱柱的左视图为矩形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．B
【分析】用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．
【详解】解：的绝对值大于表示成的形式，
∵，，
∴表示成，
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．
4．C
【分析】根据合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了合并同类项，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键．
5．B
【详解】不等式移项得：3x＞6，
解得：x＞2，
表示在数轴上得：
故选B．
6．D
【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可．
【详解】解：A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、一组数据，2，5，5，7，7，4中，5和7出现的次数最多，都是2次，故这组数据的众数是5和7，故原说法错误，不符合题意；
C、明天的降水概率为，则明天下雨的概率更大些，是随机事件，不符合题意；
D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，众数以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
7．B
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又∵动力臂，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
8．C
【分析】根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得出，可判断A，根据平行线分线段成比例可判断B，由平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质可判断C，D．
【详解】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，故B选项不符合题意；
∵，
∴△DOE∽△COB，
∴（）2＝（）2，故C选项符合题意；
∵，
∴△ADE∽△ABC，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
9．AC
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：

故选AC．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
10．ABC
【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
【详解】解：、、的中点分别为、、，
∴，，，，，，
∴，
与是位似图形，位似中心为点，A选项符合题意；
与是相似图形，B选项符合题意；
与的周长比是，C选项符合题意；
与的面积比是，D选项不符合题意；
故选：ABC．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念、相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
11．BC
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定定理、平行线的判定定理、等腰三角形的判定定理、多边形的外角和判断即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是三个角对应相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，符合题意；
D、五边形的外角和为的逆命题是外角和为的多边形是五边形，是假命题，不符合题意；
故选：BC．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．AD
【分析】结合图象，根据函数的开口方向、与y轴的交点、对称轴的位置、和当x=-2时，x=-1时，对应y值的大小依次可判断．
【详解】解：根据开口方向可知，根据图象与y轴的交点可知，
根据对称轴可知：，
∴，
∴，，故A选项正确；
∴abc＜0，故B选项错误；
根据图象可知，当x=-2时，，故C选项错误；
根据图象可知，当x=-1时，，
∴，故D选项正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查了二次函数图象判定式子的正负．二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定，注意特殊点的函数值．
13．
【分析】应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：原式
．
故答案为．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．
14．且
【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案．
【详解】由题意，得
且，
解得且，
故答案为且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键．
15．4
【详解】∵E，F分别为AC，BC的中点，EF=4，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=8.
∵点D是AB的中点，
∴CD=AB=4.
故答案为4.
16．
【分析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数的2倍，纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】解：根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到，第3次运动到，第4次接着运动到点，
∴横坐标为运动次数的2倍，经过第2018次运动后，
横坐标为
纵坐标为2，0，1，0，每4次一轮，
∴经过第2018次运动后，，
故动点P的纵坐标为0，
∴经过第2018次运动后，动点P的坐标是；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
17．2
【分析】按顺序分别进行零指数幂运算、代入特殊角的三角函数值、化简绝对值、进行负整数指数幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
=
=．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了0次幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
18．，当时，
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】



∵要使分式有意义，故且，
∴且，
∴时，原式．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）依题意得、，即，结合可证得结论；
（2）结合题意由勾股定理求得，再结合即，代入可求解．
【详解】（1）证明：∵，四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理；解题的关键是相似三角形的证明和性质的应用．
20．210米
【分析】作延长线于点，根据正切的定义用表示出，结合图形列式计算，得到答案．
【详解】解：作延长线于点，
  
由题意得，，
在中，，
，
在中，，
，
由题意得，，即，
解得，，
答：热气球到地面的距离约为210米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—俯角仰角问题，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
21．(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
(2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．

【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合A块试验田比B块试验田少4亩，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，利用总产量=亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设普通水稻亩产量是x千克，则杂交水稻的亩产量是2x千克，
依题意得：，
解得：；
经检验，x=600是原方程的解，且符合题意，
∴2x=2×600=1200．
答：普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
（2）解：设把B块试验田改y亩种植杂交水稻，
依题意得：9600+600（）+1200y≥17700，
解得：．
答：至少把B块试验田改亩种植杂交水稻．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．(1)1秒
(2)不能，见解析

【分析】（1）根据题意可得当运动时间为时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可；
（2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可．
【详解】（1）解：，，
当运动时间为时，，
根据题意可得：
，
整理得：，
解得：或，
当时，点重合，不符合题意，舍去，
∴经过1秒钟，四边形的面积等于；
（2）解：的面积不能等于，
理由如下：
根据题意可得：
，
整理得：，
，
所列方程没有实数根，
∴的面积不能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．
23．见解析.
【详解】试题分析：（1）先根据A组频数及其频率求得总人数，再根据频率=频数÷总人数可得m、n的值；
（2）根据（1）中所求结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）画树状图列出所有等可能结果，再找到抽中A、C的结果，根据概率公式求解可得．
试题解析：（1）∵本次调查的总人数为30÷0.1=300（人），∴m=300×0.4=120，n=90÷300=0.3，故答案为120，0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）由于共有300个数据，则其中位数为第150、151个数据的平均数，而第150、151个数据的平均数均落在C组，∴据此推断他的成绩在C组，故答案为C；
（4）画树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能结果，其中抽中A﹑C两组同学的有2种结果，∴抽中A﹑C两组同学的概率为P==．
考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质从而证得，得到，即可证得结论；
（2）根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求得即可．
【详解】（1）证明：连接，

∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长：．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，弧长公式，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；
（2）对条件提取系数10，再利用胡不归模型；
（3）构造和相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点，
∴，
解得；
∴抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作，垂足为M，垂足为N，如图，
  
在中，令，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
（3）解：如图，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
过点P作，垂足为Q，如图，
  
∴，
∴，
设，则，
又，
∴，
∴ ，
∴，
由对称性得：，也满足题意，
∴或；
【点睛】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据矩形的判定知四边形是矩形，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知，则，从而证明结论成立；
（2）首先可知，得，再通过，得，进而解决问题；
（3）作于点N，交的延长线于点M，连接，设，可知四边形是矩形，利用证明，得，根据，得，则，在中，利用勾股定理列方程，再利用（1）中基本模型解决问题．
【详解】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作于点N，连接，
  
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，构造模型、应用模型解决问题是解题的关键．