黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．复数（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】利用复数的运算法则运算即得.
【详解】因为.
故选：D.
2．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次方程求集合M，应用集合交运算求集合即可.
【详解】由，且，
所以.
故选：A
3．“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要性定义，指数函数单调性判断题设条件间的关系.
【详解】由，则，故，充分性成立；
由，则，即，必要性成立；
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
4．在一次数学测试中，高一（5）班50名学生的平均分为83.78，其中女生有22人，女生的平均分比男生的平均分多1分，则男生的平均分为（    ）
A．82.34 B．83.34 C．83.36 D．84.36
【答案】B
【分析】依题意得到关于男生平均分的方程，解之即可.
【详解】依题意，设男生平均分为，则女生平均分为，
所以，得.
故选：B.
5．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（    ）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
【答案】C
【分析】利用对立事件与独立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为，
所以在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是．
故选：C.
6．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的侧面积约为（    ）．
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，作出近似圆台的轴截面，求出其母线长，由圆台的侧面积公式可求得结果
【详解】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，
上底面半径，下底面半径为，高，
所以圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为，
故选：C
  
7．已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是（    ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理的边角关系，将已知条件化为，结合三角形内角性质确定关系，即可得三角形形状.
【详解】由题设，则，
又，则，故，即.
所以一定是等腰三角形.
故选：A
8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图2中正六边形ABCDEF的边长为，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可得 ，然后求出的范围可得答案.
【详解】如图，取AF的中点Q，

根据题意，是边长为的正三角形，易得，
又
，
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时有最小值为3，此时，
当点P位于正六边形的顶点时有最大值为，
此时，∴.
故选：A

二、多选题
9．已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中错误的是（    ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】ABD
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.
【详解】因为，为两条不同直线，，为两个不同平面，
对于A：若，，，则或与异面，故A错误；
对于B：若，，则或，
若，则存在直线使得，又，则，所以；
若，又，所以，
综上可得，故B错误；
对于C：若，，则，又，所以，故C正确；
对于D：若，，则或，故D错误；
故选：ABD
10．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则关于这组数据，下列说法正确的是（    ）
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第85%分位数为4.5
【答案】AC
【分析】先将这组数从小到大排序，易判断AC；先求平均数再求方差，从而判断B；利用百分位数的求解即可判断D.
【详解】将数据从小到大排序为，，，，，，，，，，
故中位数为，故A正确；
平均数为，
则方差为，故B错误；
众数为和，故C正确；
这组数据的第百分位数为，不是整数，故取第9个数字，第9个数字为，故D错误.
故选：AC.
11．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到函数的图象，则（    ）
  
A．
B．
C．的最小正周期为
D．的图象关于点对称
【答案】ABC
【分析】根据正弦型函数图象求解析式，由图象平移确定解析式，进而判断各项的正误即可.
【详解】由图知：，则，故，
又，即，故，
由，所以，则，
故，则，
显然，故不关于对称.
故选：ABC
12．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，点是的中点，过三点的平面与平面的交线为，则下列说法正确的是（    ）
  
A． B．平面
C．三棱锥的体积为 D．直线与所成角的余弦值为
【答案】BCD
【分析】对于A，利用线面平行的判定与性质定理判断即可；对于B，利用线面垂直的判定定理判断即可；对于C，利用等体积法即可判断；对于D，利用异面直线所成角的定义与勾股定理即可判断.
【详解】因为，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，故A错误；
因为平面，平面，所以，
因为底面是正方形，所以，
又平面，所以平面，
因为，所以平面，故B正确；
因为平面，平面，所以，
因为底面是正方形，所以，
又平面，所以平面，
又是的中点，所以到面的距离为，
而，
所以，故C正确；
因为在正方形中，，又，则，
所以与所成角为（或补角），
因为平面，平面，所以，故，
在中，，
在中，，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用线面平行的性质定理证得，从而将ABD选项中的相关的结论转化为与的相关结论，从而得解.

三、填空题
13．已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则 ．
【答案】或
【分析】根据等角定理即可确定的大小.
【详解】根据等角定理知：或，
若，则或.
故答案为：或
14．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则 ．
【答案】//
【分析】根据已知等量关系，利用余弦定理求得，即可确定角的大小.
【详解】由题设，而，
又，则.
故答案为：
15．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则实数k的值为 .
【答案】/
【分析】由向量平行得出，建立方程组得出的值.
【详解】由题意，向量与共线，可得，
即，可得，解得.
故答案为：
16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】设球心为所在圆面的圆心为，根据球的几何特征可知，当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，即可根据三棱锥的体积公式求出球的半径，从而得其外接球的表面积．
【详解】如图所示：设球心为所在圆面的圆心为，则平面．

因为为等腰直角三角形且，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的表面积为.
故答案为：．

四、解答题
17．已知复数在复平面内所对应的点为.
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若点在第三象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）先化简，再利用为纯虚数列方程组即可求解（2）依题意的实部和虚部均小于，解此不等式组即可求解
【详解】（1）由题意得，
因为为纯虚数，
所以，解得.
（2）复数在平面内所对应的点为，
因为点在第三象限，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
18．已知向量，满足，，且，的夹角为．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用向量数量积的运算律有，结合已知即可求模长；
（2）由向量垂直及数量积运算律列方程求参数值即可.
【详解】（1）由，则.
（2）由题意，
所以.
19．如图，在五面体中，平面，，，，点为中点．
  
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用平行四边形证得，从而得到平面，由此利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）结合（1）中结论可知为直线与平面所成角，利用勾股定理求得，从而利用余弦定理即可得解.
【详解】（1）取的中点为，连接、，如图，
  
因为平面，平面，故，
而，为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为、分别为、所在棱的中点，所以，，
又，，所以，，
故四边形为平行四边形，则，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为平面，所以为直线与平面所成角，
在中，，，则，
因为平面，平面，所以，
所以在中，，则，
同理，在中，，则，
在直角梯形中，，
所以在中，.
即直线与平面所成角的余弦值为．
20．在①；②；③；这三个条件中任选一个（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）补充在下面问题中，并作答．
在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且______．
(1)求角的大小；
(2)若点满足，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换，对各条件逐一变换化简即可得解；
（2）利用向量的线性运算与数量积运算法则推得，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）若选①，
因为，由正弦定理得，
，即，

.
若选②，
因为，由余弦定理得，
则，故，
.
若选③，
因为，
所以由正弦定理得，，
即，
整理得，故，
.
（2）因为，
所以，则，
故
，
因为，，即，
故，则，
所以的面积为.
21．“2022年全国城市节约用水宣传周”于5月15日至21日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了100名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取多少人？
(2)在（1）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人作进一步访谈，求这2人都是第3组的概率．
【答案】(1)各应抽取1人，2人，3人
(2)

【分析】(1)由频率分布直方图的的性质知，每个矩形的面积为每个小组的概率，第1，2，3组的人数比为第1，2，3组概率之比，采用分层抽样的方法抽取即可；
(2)由(1)得到每个分组抽取的人数，则采用列举法，罗列所有情况和符合题意的情况，根据古典概型的概率计算公式得到答案.
【详解】（1）由表中的数据可知：第1，2，3组的人数比为0.01：0.02：0.03=1：2：3，
∴采用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取1人，2人，3人．
（2）记抽取的6人来自第1组的1人为a，来自第2组的2人为b，c，来自第3组的3人为d，e，f，则在所抽取的6人中随机抽取2人的可能结果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，
其中2人都来自第3组的有de，df，ef共3种，
∴这2人都是第3组的概率．
22．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，.

(1)证明：平面；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，由边的比求出正切值.
【详解】（1）证明：连接交于，连接，则为中点.
因为分别为中点，
所以.
因为平面平面，
所以平面.

（2）取中点，连接，
取中点，连接，
可得.
因为平面平面，平面平面.

所以平面，
因此平面平面，所以.
过作交于，连接，
可得平面，所以，
所以就是所求二面角的平面角，如图所示，
，
在直角中，可得，
即二面角的正切值为.