数列解答题9种常考题型总结-【高考备考题型讲义】备战2024年高考数学常考题型分类讲义（新高考专用）

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2024年新高考解答题数列9种常考题型专题训练总结
【题型目录】
题型一：等差等比基本通向求和公式的应用
题型二：数列存在性问题
题型三：数列插入项、公共项分析
题型四：数列通向分析构造新数列
题型五：数列中在某个区间的项的个数问题
题型六：数列中的裂项相消求和问题
题型七：数列中的错位相减求和问题
题型八：数列中的分段数列求和问题
题型九：数列中的简单放缩求和问题
【题型总结】
题型一：等差等比基本通向求和公式的应用
【例1】已知等差数列的前项和为，
(1)求 和．
(2)若数列成等比数列，且，求


【例2】已知数列和满足，且满足，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求当时，正整数的最小值.

【例3】已知为等差数列的前项和，，．
(1)求；
(2)是否存在最大值？若存在，求出的最大值及取得最大值时的值；若不存在，说明理由．


【例4】已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，且，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．


【例5】设为数列的前项和，已知，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)判断，，是否成等差数列并说明理由．


【题型专练】
1.已知与都是正项数列，的前项和为，，且满足，等比数列满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值．


2.已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足.
(1)求公差d；
(2)是否存在正整数m，k使得.

3.在数列中，，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.

4．设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前项和．若，求的值．



5．数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．



题型二：数列存在性问题
【例1】已知在数列中，，，其中，且，实数.
(1)当时，求数列的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.



【例2】已知数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式．
(2)是否存在正整数n，使得，，等差数列？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．




题型三：数列插入项、公共项分析
【例1】已知为数列的前n项和，，; 是等比数列，，，公比．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列和的所有项分别构成集合A，B，将的元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求．



【例2】已知数列是等差数列，其前和为，，数列满足
(1)求数列，的通项公式;
(2)若对数列，， 在与之间插入个2（），组成一个新数列，求数列的前2023项的和.



【例3】已知等差数列的前项和为，，、、成等比数列，数列的前项和为，且.
(1)求数列、的通项公式；
(2)记表示不超过的最大整数，例如，，设，求数列的前项和.




【题型专练】
1．已知等差数列的前n项和记为（），满足．
(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；
(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．





2.已知各项均为正数的数列的前项和为，且为等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前50项和.




3．已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前n项和，且满足．
(1)分别求数列和的通项公式；
(2)将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前n项和为，求．



题型四：数列通向分析构造新数列
【例1】已知等差数列的前n项和为，，，等比数列中，，且，，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求使成立的的最小值．



【例2】已知公比大于1的等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求．



题型五：数列中在某个区间的项的个数问题
【例1】已知公比大于1的等比数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.



【例2】已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)给定，记集合中的元素个数为，若，试求的最小值.

【例3】已知为等差数列，前项和为，若，
(1)求
(2)对，将中落入区间内项的个数记为，求的和．



【题型专练】
1．已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，．
(1)求数列的通项公式;
(2)若集合，且，求中所有元素之和．



2.已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列由与的公共项按从小到大的顺序排列而成，求数列落在区间内的项的个数．



3．已知数列，前n项和为，且满足，，，，，等比数列中，，且，成等差数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记为区间中的整数个数，求数列的前n项和．

题型六：数列中的裂项相消求和问题
【例1】已知为等差数列的前n项和，满足，___________.
给出三个条件：①，②，③.
试从上面三个条件中选择一个，补充在上面横线中，并给出下面两问的解答.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求正整数n的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.




【例2】数列前项和为，其中，且
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，证明：




【例3】已知数列为正项等比数列，为的前项和，.
(1)求；
(2)令，求数列的前项和.





【例4】已知数列的前n项和为，，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．


【例5】已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，其前项和为，求使成立的最小正整数.


【题型专练】
1．已知是等差数列{}的前n项和，且.
(1)求；
(2)若，数列{}的前n项和.求证：.




2．等差数列的前项和为，其中成等比数列，且数列为非常数数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和记为，求.





3．数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，求的值域.




4．已知正项数列的前项和为，且.
(1)证明：是等差数列.
(2)设数列的前项和为，若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围.


5．已知为数列的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式：
(2)若，为数列的前n项和.求，并证明：.


6．数列中，，且满足
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)设，求；
(3)设，是否存在最大的；正整数，使得对任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，请说明理由.


7．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前顶和为，求证：.




题型七：数列中的错位相减求和问题
【例1】已知正项数列中，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和．



【例2】已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列前项和．



【例3】已知数列前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)恒成立，求实数的范围.

【题型专练】
1．已知数列中，，.
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)求数列的前项和



2．已知数列和数列满足：，其中.
(1)求数列的通项公式.
(2)若，求数列的前项和.


3．已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.


题型八：数列中的分段数列求和问题
【例1】已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)已知数列的前20项和.


【例2】已知数列满足，，.
(1)证明：是等比数列
(2)求数列的前2n项和.




【题型专练】
1.记为等比数列的前项和.已知.
(1)求；
(2)设求数列的前项和.




2．已知数列满足，
(1)记，写出，，并猜想数列的通项公式（无需证明）；
(2)求的前20项和．






3．设各项均为正数的数列的前项和为，且，______.
在①，②这两个条件中任选一个填入横线上，并作答.
(1)求的通项公式；
(2)设且，记的前项和为，求的值.




题型九：数列中的简单放缩求和问题
【例1】设数列的前项之积为，且满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记，证明：．





【例2】如果数列满足：，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，证明．





【例3】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，证明是等差数列；
(3)证明：.






【题型专练】
1．已知数列为等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前n项和，证明．




2．已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .