人教版物理选择性必修第一册 2.3 简谐运动的回复力和能量+同步练习

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2.3课 简谐运动的回复力和能量
解题要点梳理：
1.判断物体是否做简谐运动的两种方法：
①x-t图像为正弦曲线；②F-x 满足 F=-kx的形式
常用判断步骤：
（1）找平衡位置 （2）找回复力 （3）找F=-kx （4）找方向关系
2.简谐运动中两个特殊位置x、F、a、v、Ek、Ep量的关系：
最大位移处，x、F、a、Ep最大，v、Ek为零；平衡位置处，x、F、a、Ep为零，v、Ek最大。
3.简谐运动的能量与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。
4.简谐运动机械能守恒，即任意时刻都有：E=Ep+Ek
5.简谐运动是理想状态：实际的振动总是要受到摩擦和阻力，因此在振动过程中需要不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，最终停下来。
基础巩固
1.（2022·全国·高三专题练习）（多选）关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是_____。
A．简谐运动是匀变速运动
B．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量
C．位移减小时，加速度减小，速度增大
D．位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
E．物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
【答案】BCE
【详解】A．简谐运动受到的回复力是变力，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误；B．周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量，B正确；C．当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故C正确；DE．回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故D错误，E正确。故选BCE。
2.（2022·河南·郑州四中高二阶段练习）（多选）弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（　　）
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的速度逐渐减小
C．振子的位移逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
【答案】CD
【详解】振子向平衡位置运动时，振子的位移减小，速度在逐渐增大，根据公式F＝−kx可知，振子所受的回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知振子的加速度逐渐减小，故AB错误，CD正确。 
3.（2022·吉林·农安县教师进修学校高二期中）（多选）如图所示是某一质点做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（　　）

A．在第1s内，质点速度逐渐增大
B．在第1s内，质点加速度逐渐增大
C．在第2s内，质点的回复力逐渐增大
D．在第4s内，质点的动能逐渐增大
【答案】BD
【详解】A．在第1s内，质点远离平衡位置，回复力做负功，速度逐渐减小，故A错误；B．在第1s内，质点远离平衡位置，位移变大，回复力变大，所以质点加速度逐渐增大，故B正确；C．在第2s内，质点向着平衡位置运动，位移变小，质点的回复力逐渐减小，故C错误；D．在第4s内，质点向着平衡位置运动，回复力做正功，质点的动能逐渐增大，故D正确。故选BD。
4.（2022·山西临汾·高二阶段练习）（多选）公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在竖直方向振动可视为简谐运动，周期为T。竖直向上为正方向，以某时刻为计时起点，其振动图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．t=T时，货物对车厢底板的压力最小
B．t=T时，货物对车厢底板的压力最小
C．t=T时，货物对车厢底板的压力最小
D．t=T时，货物所受合力为零
【答案】AD
【详解】AB．若货物对车厢底板的压力最小，则车厢底板对货物的支持力最小，则要求货物向下的加速度最大，由振动图象可知，在时，货物向下的加速度最大，A正确，B错误；C．要使货物对车厢底板的压力最大，则车厢底板对货物的支持力最大，则要求货物向上的加速度最大，由振动图象可知，在T时，货物向上的加速度最大，所以货物对车厢底板的压力最大，C错误;D．T时刻货物加速度为零，货物所受支持力与重力等大反向，合力为零，D正确。故选AD。
5.（2022·山西·柳林县鑫飞中学高二期中）如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________，回复力方向为________，大小逐渐________，动能逐渐________，势能逐渐________。（选填“正”“负”“增大”或“减小”）

【答案】     正     减小     负     减小     增大     减小
【详解】如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移以平衡位置为起点，方向为正方向；大小逐渐减小，回复力 ，方向为负方向；大小逐渐减小；动能逐渐增大；机械能守恒，势能逐渐减小。
6.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知物体的质量为M。

（1）同一振动系统简谐运动的能量取决于___________，物体振动时动能和___________相互转化，总机械能___________。
（2）物体在振动过程中，下列说法中不正确的是( )
A．物体在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B．物体在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C．物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
（3）若物体运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是( )
A．振幅增大             B．振幅减小 C．最大动能不变            D．最大动能减小
【答案】     振幅     弹性势能     守恒     C     C
【详解】（1）简谐运动的能量取决于振幅，物体在振动过程中，只有弹簧弹力做功，故物体振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。（2）A．物体在平衡位置两侧往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，故A正确，不符合题意；B．在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，故B正确，不符合题意；C．振幅的大小与物体的位置无关，当物体向平衡位置运动时，位移减小，振幅不变，总机械能不变，故C错误，符合题意；D．在任意时刻只有弹簧的弹力做功，系统机械能守恒，故D正确，不符合题意。本题选错误的，故选C。（3）AB．物体运动到B点时速度恰为零，此时放上质量为m的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，与物体质量无关，所以系统总能量不变，振幅不变，故AB错误；CD．由于系统总能量不变，当物体到达平衡位置时，速度最大，动能最大，弹性势能为零，所以最大动能不变，故C正确，D错误。故选C。
7.（2021·四川省绵阳江油中学高二阶段练习）如图所示为一沿水平方向振动的弹簧振子的振动图象，求：
（1）从计时开始，什么时刻第一次达到动能最大?
（2）在第2s末到第3s末这段时间内振子的速度、弹性势能各怎样变化?
（3）该振子在前100s内总位移是多少?
（4）写出该振动的振动方程。

【答案】（1）0.5s末；（2）速度先增大后减小，弹性势能先减小后增大；（3）0；（4）
【详解】（1）弹簧振子在到达平衡位置时位移为零，速度最大，所以由题图知从计时开始，0.5s末弹簧振子的速度达到最大，动能达到最大；（2）由题图知2s到2.5s，振子向负方向做加速度减小的加速运动，动能增大，由于弹簧的弹性形变变小，故弹性势能减小；在2.5s到3s内，振子向负方向做加速度增大的减速运动，动能减小，弹簧的弹性势能增加。所以，在第2s末到第3s末这段时间内振子的速度先增大后减小，弹性势能先减小后增大；（3）由题图知弹簧振子的周期为T=2s，100s=50T，振子回到初始位置，所以振子在前100s总位移为0。（4）由题图知振子振幅为0.5cm，周期为2s，初相位为，角速度为，所以，该振动的振动方程为
8.（2022·宁夏·银川市第六中学高二期中）如图所示的弹簧振子在光滑水平面上以振幅A作简谐运动，质量为M的滑块上面放一质量为m的砝码，砝码随滑块一起做简谐运动，已知弹簧的劲度系数为k，试求：
（1）使砝码随滑块一起振动的回复力是什么？它跟位移成正比的比例常数k'等于多少？
（2）当滑块运动到振幅一半位置时，砝码所受的回复力有多大？方向如何？

【答案】（1）滑块对砝码的静摩擦力，；（2），方向指向平衡位置
【详解】（1）使砝码随着滑块一起振动，砝码所受静摩擦力是产生砝码与滑块一起变加速运动的加速度，故M对m的静摩擦力是回复力。其大小由牛顿第二定律有f=ma。整体法求共同加速度a，则有
，，它跟位移成正比的比例常数。
（2）当滑块运动到振动幅的一半位置时，回复力，方向指向平衡位置。
能力提升
9.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，物块与叠放在一起，以为平衡位置，在之间做简谐振动，两者始终保持相对静止，取向右的方向为正方向，其振动的位移随时间的变化图像如图，则下列说法正确的是（　　）

A．在时间内，物块的速度和所受摩擦力都沿负方向，且都在增大
B．从时刻开始计时，接下来内，两物块通过的路程一定大于
C．在某段时间内，两物块速度增大时，加速度可能增大，也可能减小
D．两物块运动到最大位移处时，若轻轻取走，则的振幅不变，最大速度也不变
【答案】B
【详解】A．在时间内，由图像的斜率为负且增大可知，物块的速度沿负方向在增大，受摩擦力方向沿负方向，据，可知位移在减小，加速度在减小，所以摩擦力在减小，A错误；B．由图像知，两物块在平衡位置速度最大，因此两物块从的平均速率要小于从开始经时间内的平均速率，所以从开始经通过的路程大于，故B正确；C．速度增大时，物块向平衡位置运动，则物块的位移减小，据简谐振动的受力特点，加速度减小，C错误；D．简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是动能和势能间的转化，总机械能守恒。其能量只有振幅决定，即振幅不变，振动系统能量不变。当将在最大位移处轻轻取走，说明取走时动能为零，取走前后振幅没有改变，但由于取走后整体的质量减少，故最大速度变大，故D错误。故选B。
10.（2022·福建宁德·高二期中）（多选）如图所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为的小球，从离弹簧上端高处由静止释放。某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴，作出小球所受弹力的大小随小球下落的位置坐标变化的关系，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为。以下判断正确的是（　　）

A．当，小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和最小
B．小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，加速度先减小后增大
C．当，小球的加速度大小为
D．小球动能的最大值为
【答案】ABC
【详解】A．根据乙图可知，当，小球的重力等于弹簧的弹力，此时小球具有最大速度，以弹簧和小球组成的系统，机械能守恒可知，重力势能与弹性势能之和最小。故A正确；B．小球刚落到弹簧上时，弹力小于重力，由牛顿第二定律可得，可知小球加速度向下，速度增大，随弹力的增加，加速度减小，当弹力等于重力时加速度为零，此时速度最大；然后向下运动时弹力大于重力，有，小球的加速度向上且逐渐变大，小球做减速运动直到最低点，则小球落到弹簧上向下运动到最低点的过程中，加速度先减小后增大。故B正确；C．当时，有mg= kx0，当时，由牛顿第二定律得k2xo一mg=ma，联立解得a=g，故C正确；D．小球达到最大速度的过程中，根据动能定理可知，小球动能的最大值为，故D错误。
故选ABC。
11.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放（物块做简谐运动），重力加速度为g。
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)物块做简谐运动的振幅是多少；
(3)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。（已知做简谐运动的物体所受的回复力满足）

【答案】(1)；(2)；(3)物块做简谐运动
【详解】(1)物块平衡时，受重力、支持力和弹簧的弹力。根据平衡条件，有mgsinα＝k·Δx，
解得，故弹簧的长度为
(2)物块做简谐运动的振幅为
(3)物块到达平衡位置下方x位置时，弹力为k（x＋Δx）＝k（x＋）
故合力为F＝mgsinα－k（x＋）＝－kx，故物块做简谐运动。
12．（2022·江苏连云港·高二期末）如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧，下端被固定在水平地面上，上端与质量为m的小球（可视为质点）相连，开始时小球静止于O点。现用一竖直向上的拉力将小球缓慢拉至P点，此时弹簧恢复原长。t=0时刻撤去拉力，小球由静止开始做简谐运动，经时间第一次回到O点，已知弹簧的形变量为x时，弹性势能为，重力加速度为g。求：
（1）小球的振幅A；
（2）小球的振动方程（选竖直向上为正方向）；
（3）小球振动速度的最大值vm。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）小球在O点时，有，由于小球在P点是，弹簧恢复原长，则有
（2） 简谐运动的振动方程为，由题意知t=0时，有，故有，
则有；
（3）对小球在P到O的过程中应用动能定理，得，其中
，联立解得