第07讲 基本不等式-新高一数学初升高暑假精品课（人教A版必修第一册）

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·模块一 两个不等式
·模块二 基本不等式与最值
·模块三 课后作业
模块一
两个不等式
1. 两个不等式
eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【注】“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq \r(ab)≠eq \f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq \r(ab)0；②ab0，b>0；④a0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1a+b+1b+c+1c≥10．
【变式3.2】（2023·贵州黔西·校考一模）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
(1)a2+b2+c2≥13；
(2)a3c+b3a+c3b≥abc．
模块二
基本不等式与最值
1．基本不等式与最值
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；
(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．
【考点1 利用基本不等式求最值（无条件）】
【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）若x>4，则y=x+1x−4的最值情况是（ ）
A．有最大值−6B．有最小值6C．有最大值−2D．有最小值2
【例1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知00，y>0，有(x+2y)⋅(2x+1y)≥m恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≤4B．m>4
C．ma时， 2x+8x−a的最小值为10，则a=（ ）
A．1B．2C．22D．4
【变式3.1】（2022秋·宁夏中卫·高二统考期末）若两个正实数x，y满足1x+4y=1，且不等式x+y4≤m2−3m有解，则实数m的取值范围（ ）
A．−1,4B．−∞,−1∪4,+∞
C．−4,1D．−4,1
【变式3.2】（2023春·重庆沙坪坝·高三校考阶段练习）已知正数a，b满足1a+1b=1，若不等式a+b2+a22+2b2−mab≥0恒成立，则m的最大值为（ ）
A．94B．32C．2D．3+104
【考点4 基本不等式的实际应用】
【例4.1】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价fx，问泳池的长为多少米时，可使总造价fx最低，并求出泳池的最低造价．
【例4.2】（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为y万元与总座椅数x千套，两者满足关系式：y=602x+50≤x≤8．15年的总维修费用为80万元，记w为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用w最小，并求出最小值．
【变式4.1】（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.50,b>0)
C．2aba+b≤ab(a>0,b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)
4．（2023·全国·高三专题练习）若a>b>0，则下列不等式成立的是（ ）
A．a>b>a+b2>abB．a>b>ab>a+b2
C．a>a+b2>ab>bD．a>ab>a+b2>b
5．（2023·全国·高一专题练习）已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，则2x+y的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．12
6．（2023·全国·高三专题练习）设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－373) m3B．16 m3C．42 m3D．14 m3
7．（2023·全国·高三专题练习）已知a>0,b>0，若a+b=4，则（ ）
A．a2+b2有最小值4B．ab有最大值2
C．1a+1b有最大值1D．1a+b有最小值24
8．（2023春·黑龙江大庆·高一校考阶段练习）某工厂过去的年产量为a，技术革新后，第一年的年产量增长率为p，第二年的年产量增长率为q，这两年的年产量平均增长率为x，则（ ）
A．x≥pqB．x≤p+q2C．x≤pqD．x≥p+q2
9．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当x，y∈0,+∞时，4x4+17x2y+4y2x4+2x2y+y20,y>0，且2x+1y=1，若2x+y0,y>0,2xy=x+4y+a.
(1)当a=16时，求xy的最小值；
(2)当a=0时，求x+y+2x+12y的最小值.
13．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知正数a,b,c满足a+b+c=1,，求证:
(1)3a+1+3b+1+3c+1≤32;
(2)2(a3+b3+c3)≥ab+bc+ca−3abc.
14．（2022·高一课时练习）已知x>0，y>0．
(1)若xy=2，x>y，不等式x2+y2−4mx+4my≥0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若不等式1x+1y+mx+y≥0恒成立，求实数m的最小值；
(3)若x+y=1．且1x+ay≥9恒成立，求正实数a的最小值．
15．（2023·全国·高一假期作业）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x(x∈0,20)（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到t=(x+3)（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为(7t+81t+3x)（万元），并以每件(8+42t)元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．
(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；
(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？