八年级下学期期末数学试题 (7)

这是一份八年级下学期期末数学试题 (7)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级数学期末试卷
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D.
3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，12
4. 如图，在中，连接，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线相等四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，每人的射击成绩的方差分别是．在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 估计的值在（ ）
A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间
8. 下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（ ）个

A. 40 B. 49 C. 55 D. 71
9. 如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向左平移得到．若经过点，则点的坐标为（ ）．

A. B. C. D.
10. 已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到．如的整数部分为2，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；
②的小数部分为；
③；
④；
⑤．
A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接．若菱形的周长为24，则_______．

13. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合素质
普通话
才艺展示
测试成绩



根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5∶3∶2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为_______分．
14. 如图，在四边形中，于点E，且点E为的中点．若，，，，则四边形的面积为_______．

15. 已知一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，那么m的取值范围是________．
16. 如图，在矩形纸片中，，，边上有一点E，，将该纸片折叠，使点A与点E重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长是_______．

17. 若实数a使得函数随着x的增大而减少，并且使关于m的一元一次不等式组有且仅有五个整数解，则符合条件的所有整数的和为_________．
18. 定义：对任意一个三位数，如果满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“追全数”．将一个“追全数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为．例如：，为“追全数”，将各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为，和与111的商为，所以．根据以上定义，数是两个三位数，它们都是“追全数”，的个位数是1，的个位数字是3，．规定，当的和是13的倍数时，则的最小值为______．
三、解答题
19. 如图，平行四边形中，．

（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴_____________．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴____________，
∴．
∴____________，
∴四边形是菱形．
20. 计算：
（1）；
（2）．
21. 某区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区（简称“双创”）为抓手，坚持立德树人，以文化人，形成青少年健康成长的良好环境．某校为了解学生对“双创”的了解情况，从七、八年级各选取了20名同学，开展了“双创”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在95分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名同学在C组的分数为：91，92，93，93；
八年级20名同学在C组的分数为：90，92，92，92，92，92，92，93．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
91
a
95
m
八年级
91
92
b
25%

（1）填空：a＝______，b＝_________，m＝________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了解情况更好？请说明理由：（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有850名学生，八年级有800名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有多少人？
22. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
23. 如图1，在矩形中，，点M是的中点．动点P以每秒1个单位的速度从点A出发，按的顺序在边上运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点C时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，的面积为，的面积为．

（1）分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；
（3）根据图象直接写出当时，t的取值范围．
24. 从某地运送1390箱沃柑到A、B两地销售，若用大、小货车共16辆，则恰好能一次性运完这批沃柑．已知大、小货车的载货能力分别为100箱/辆和70箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
600
700
小货车
300
500

（1）这16辆车中大、小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A地，其余货车前往B地．设前住A地大货车为a辆，前往A、B两地的总费用为w元，试求出w与a的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若运往A地的沃柑不少于850箱，请你求出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
25. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，点B的横坐标为．

（1）求一次函数解析式；
（2）若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标；
（3）一次函数有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程．
26. 在正方形中，点是边上的中点，连接，．

（1）如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；
（2）如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；
（3）如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．
八年级数学期末试卷
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：A.，不是最简二次根式；
B.是最简二次根式；
C.，不是最简二次根式；
D.，不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】把代入计算即可．
【详解】∵点在一次函数的图象上，
即当时，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与点坐标关系．当已知函数解析式时，求坐标中字母的值直接代入解析式求解即可．
3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 5，10，12
【答案】C
【解析】
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不是勾股数，此选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，是整数，不是勾股数，此选项不符合题意；
C、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
D、，是正整数，不能构成直角三角形，故不是勾股数，此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
4. 如图，在中，连接，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据平行四边形的性质可得结论．
【详解】解：∵，且，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形对角相等是解答本题的关键．
5. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键．
6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击的平均成绩恰好都是环，每人的射击成绩的方差分别是．在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可判断．
详解】解：，
，
本次射击测试中，成绩最稳定的是丁．
故选：D．
【点睛】本题考查了方差的性质，掌握方差越小成绩越稳定是关键．
7. 估计的值在（ ）
A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间
【答案】B
【解析】
【分析】先估算的取值范围，再估算的取值范围即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是要弄清估算的方法．
8. 下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（ ）个

A. 40 B. 49 C. 55 D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】由已知图形中点的分布情况知：横放是图形序号的平方减去1，竖着摆放的数与序号相同，再进行相加即可．
【详解】解：根据图形可得
第①个图案正方形个数为：；
第②个图案正方形个数为：；
第③个图案正方形个数为：；
第④个图案正方形个数为：；
所以，第⑦个图形中的小正方形个数为（个）
故选：C
【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
9. 如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向左平移得到．若经过点，则点的坐标为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点C的坐标为，利用勾股定理分别求出的长，结合，即可求出点C的坐标，求出直线的解析式，即可求出直线的解析式，从而推出直线相当于直线向左平移3个单位得到的，由此即可得到答案．
【详解】解：设点C的坐标为，
则由勾股定理得：，，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵是经过平移得到的，
∴可设直线的解析式为，
∵经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
∴直线相当于直线向左平移3个单位得到的，
∴点是由点C向左平移3个单位得到的，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
10. 已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到．如的整数部分为2，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；
②的小数部分为；
③；
④；
⑤．
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为6，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
，它的整数部分为14，小数部分为；
，它的整数部分为，小数部分为；
，它的整数部分为22，小数部分为；
，它的整数部分为，小数部分为；
∴，小数部分是，
∴①，正确；
②的小数部分为，正确；
③，错误；
④






，错误；
⑤




，正确；
综上所述，正确的是①②⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
二、填空题
11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式为非负数是二次根式有意义的条件是解题的关键．
12. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接．若菱形的周长为24，则_______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，结合其周长求出的长，在中，利用斜边的中线等于斜边的一半求出的长即可．
【详解】解：∵菱形的周长为，
∴，，
在中，
∵为的中点，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形斜边的中线的性质，掌握相关知识是解题的关键．
13. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合素质
普通话
才艺展示
测试成绩



根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5∶3∶2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为_______分．
【答案】
【解析】
【分析】根据加权平均数的定义，直接求解即可．
【详解】解：甲候选人的最终成绩为
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查加权平均数的定义（一般的，若个数，，，的权分别为，，，，则叫做这个数的加权平均数），牢记加权平均数的定义是解题的关键．
14. 如图，在四边形中，于点E，且点E为的中点．若，，，，则四边形的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：连接，

为的中点，，
∴是的垂直平分线，，
∵，
，
∵，
，
∵，，
，
∴是直角三角形，，
四边形的面积


，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．
15. 已知一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，那么m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和一次函数的性质得，解不等式组即可．
【详解】∵一次函数的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，
∴一次函数的图象经过平面直角坐标系中的第一、三象限或一、二、三象限，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．
16. 如图，在矩形纸片中，，，边上有一点E，，将该纸片折叠，使点A与点E重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长是_______．

【答案】
【解析】
【分析】过M作于H，连接，根据矩形的性质和判定证明四边形是矩形，得到，，再根据对称性质得，，设，则，，由勾股定理求得；设，则，在中，由勾股定理得，解方程得到，则由勾股定理得．
【详解】解：过M作于H，连接，则，

∵四边形是矩形，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
由折叠性质得，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
在中，由勾股定理得，

故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，正确作出辅助线求得的长是解答的关键．
17. 若实数a使得函数随着x的增大而减少，并且使关于m的一元一次不等式组有且仅有五个整数解，则符合条件的所有整数的和为_________．
【答案】9
【解析】
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，再根据一次函数的性质确定出整数a的值，进而求出之和即可．
【详解】解：
解①得，；
解②得，，
∴，
∵不等式组有且仅有五个整数解，即4，3，2，1，0；
∴，
解得，，
∵函数随着x的增大而减少，
∴，
∴；
∴，
∴整数a为：2，3，4，
∴整数a的和为：，
故答案：9
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法、一次函数的图象与性质等知识点，掌握解不等式组再确定参数的范围是解题关键．
18. 定义：对任意一个三位数，如果满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“追全数”．将一个“追全数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为．例如：，为“追全数”，将各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为，和与111的商为，所以．根据以上定义，数是两个三位数，它们都是“追全数”，的个位数是1，的个位数字是3，．规定，当的和是13的倍数时，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设p百位数字为x，q百位数字为y，分别计算出，，根据的和是13的倍数，结合题中限制条件，，，确定x、y的值，进而求得p、q、k，比较大小可求解．
【详解】解：设p百位数字为x，q百位数字为y，
则，，
将p各个数位上的数字交换后得到新的三位数为，，，
∴，
将q各个数位上的数字交换后得到新的三位数为，，，
∴，
∴，
∵的和是13的倍数时，，
∴当时，，与x、y为整数矛盾，舍去；
当时，，
根据题意，，，，
∴当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则，
当时，与x、y为整数矛盾，舍去，
综上，k的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查数与式新定义问题，理解题中定义及运算法则，借助二元一次方程求解第（2）问是解答的关键．
三、解答题
19. 如图，在平行四边形中，．

（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴_____________．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴____________，
∴．
∴____________，
∴四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）；；；．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示：
【小问2详解】
证明：四边形为平行四边形，
∴且_________，
∵，
∴____．
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴．
∵平分，
∴______，
∴．
∴_____，
∴四边形是菱形．
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算除法，再算乘法；
（2）根据二次根式的乘法法则运算，同时利用完全平方公式计算．
【小问1详解】
解：原式

；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式乘除法法则运算，解题的关键是先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
21. 某区以创建全国文明城区和全国未成年人思想道德建设工作先进城区（简称“双创”）为抓手，坚持立德树人，以文化人，形成青少年健康成长的良好环境．某校为了解学生对“双创”的了解情况，从七、八年级各选取了20名同学，开展了“双创”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，得分在95分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名同学在C组分数为：91，92，93，93；
八年级20名同学在C组的分数为：90，92，92，92，92，92，92，93．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
91
a
95
m
八年级
91
92
b
25%

（1）填空：a＝______，b＝_________，m＝________；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“双创”知识竞赛中，哪个年级学生对“双创”的了解情况更好？请说明理由：（写出一条理由即可）
（3）该校七年级有850名学生，八年级有800名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有多少人？
【答案】（1），92，；
（2）七年级学生对“双创”的了解情况更好，理由见解析
（3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有540人
【解析】
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．根据优秀率计算公式即可得七年级的优秀率m；
（2）根据平均数，中位数，优秀率进行评价即可求解；
（3）根据优秀率的定义进行计算即可求解．
【小问1详解】
解： ∵七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10、11个数为93，92，
∴，
∵八年级中得分92的人数最多，
∴，
七年级学生的优秀率．
【小问2详解】
由七年级的中位数大于八年级的中位数92；
∴该校七年级学生对“双创”的了解情况更好．
【小问3详解】
（人）
答：这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数有540人．
【点睛】本题考查中位数、众数定义、用样本去估计总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
22. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

（1）求点A与点B之间的距离；
（2）若在点C处有一灯塔，灯塔信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
【答案】（1）海里
（2）最多能收到14次信号
【解析】
【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；
【小问1详解】
由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里；
【小问2详解】
过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．

∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到14次信号．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键．
23. 如图1，在矩形中，，点M是的中点．动点P以每秒1个单位的速度从点A出发，按的顺序在边上运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，在射线上运动．当动点P运动到点C时，动点P、Q都停止运动．在运动路径上，设点P的运动时间为t秒，的面积为，的面积为．

（1）分别求出，与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在如图2的平面直角坐标系中，画出，的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；
（3）根据图象直接写出当时，t的取值范围．
【答案】（1），
（2）当时，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大
（3）
【解析】
【分析】（1）点分两种情况：点在上运动和点在上运动，分别确定三角形的底和高求解即可；点在射线上运动，直接确定三角形的底和高求解即可；
（2），都是一次函数，只需描两个点即可画出图象，再观察的图象，可以从增减性写出函数的一条性质；
（3）先从图象上确定交点的横坐标，再利用确定 在下面的范围即可.
【小问1详解】
解：当点在上运动时，；
当点在上运动时，；
∴；
当点在射线上运动时，；；
【小问2详解】
解：画出，的函数图象如下，

函数的一条性质：当时，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：观察图象可得：当时，t的取值范围是：.
【点睛】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，正确求出函数解析式并画出图象是解题的关键.
24. 从某地运送1390箱沃柑到A、B两地销售，若用大、小货车共16辆，则恰好能一次性运完这批沃柑．已知大、小货车的载货能力分别为100箱/辆和70箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表：
目的地
车型
A地（元/辆）
B地（元/辆）
大货车
600
700
小货车
300
500

（1）这16辆车中大、小货车各多少辆？
（2）现安排其中10辆货车前往A地，其余货车前往B地．设前住A地的大货车为a辆，前往A、B两地的总费用为w元，试求出w与a的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若运往A地的沃柑不少于850箱，请你求出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．
【答案】（1）大货车有9辆，小货车有7辆
（2）
（3）安排5辆大货车，5辆小货车去A地，4辆大货车，2辆小货车去B地，最少费用为8300元
【解析】
【分析】（1）设大货车有x辆，则小货车有辆．根据大、小两种货车共16辆，运输1390箱沃柑，列方程求解；
（2）根据表格所给运费，求出y与x的函数关系式；
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【小问1详解】
设大货车有x辆，则小货车有辆．
由题意，得；
解之，得；
则（辆）；
答：大货车有9辆，小货车有7辆．
【小问2详解】

整理得，；
【小问3详解】
由题意，得：
解之，得；
∴；
∵；
∴w随a的增大而增大；
当时，w取最小值，，即安排5辆大货车，5辆小货车去A地，4辆大货车，2辆小货车去B地．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用．关键是根据题意，得出安排各地的大、小货车数与前往B村的大货车数x的关系．
25. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，点B的横坐标为．

（1）求一次函数的解析式；
（2）若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标；
（3）一次函数有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程．
【答案】（1）
（2）点的坐标为，
（3）点的坐标为，，过程见解析
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求直线解析式即可；
（2）由题意可得，求点坐标即可；
（3）先得出，分当点在轴上时，设，当点在轴上时，设，每种都需要进行分类讨论．
【小问1详解】
解：∵点B在函数上，点B的横坐标为；
∴；
∵；
∴，
由题意，得，
解之，得；
∴一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：设点C的坐标为，
∵；
∴；
则；
点的坐标为，；
【小问3详解】
解：由题意，得：点；
当点在轴上时，设；
①点的对应点为点，点的对应点为点，纵坐标都减少1，则的纵坐标为2，点在函数上，
∴；
②点的对应点为点，点的对应点为点，纵坐标都减少3，则的纵坐标为－2，点在函数上，
∴；
当点在轴上时，设；
①点的对应点为点，点的对应点为点，横坐标都增加3，则的横坐标为2，点在函数上，
∴；
②点的对应点为点，点的对应点为点，横坐标都增加1，则的横坐标为－2，点在函数上，
∴．
综上所述，点的坐标为，．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
26. 在正方形中，点是边上的中点，连接，．

（1）如图1，过点作交的延长线于点，连接，求的面积；
（2）如图2，点是延长线上的一点，连接，过点作，，连接．点是的中点，分别连接，，求证：；
（3）如图3，点是直线上的一动点，连接，过点作，，连接．点是的中点，连接，．当的值最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用证明得，从而求出，由此即可求出的面积．
（2）过点作交于点，连接，利用一线三直角模型可得（），从而可得：，再证明可得为等腰直角三角形，，进而得出结论；
（3）由已知可得：是等腰直角三角形，进而可得，，即当E点在AM上时，最小，再由三角形全都转换线段关系得到，由勾股定理求出即可解题．
【小问1详解】
解：∵；
∴；
∵四边形是正方形；
∴，；
∵点是的中点，；
∴；
∵；
∴；
∴；
∴；
∴；
【小问2详解】
证明：如解（2）图，过点作交于点，连接．

∵；
∴
∴；
∵；
∴；
∴，；
∵点是的中点，；
∴，：
∴；
∴；
∴，；
∴；
∴；
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴是等腰直角三角形，，
又∵点是的中点，
∴，
∴，
∴当E点在上时，最小，如解（3）图，过点作交的延长线于点，

同理（1）可得：；
∴；，，
∴，
又∵
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，解得：，
∴