2022-2023学年福建省泉州市永春县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省泉州市永春县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年福建省泉州市永春县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程3x=2x+1的解是(    )
A. x=−1 B. x=1 C. x=15 D. x=−15
2. 不等式x−1<0的解集在数轴上表示正确的是(    )
A. B.
C. D.
3. 下列标志中，是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
4. 一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数为(    )
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
5. 若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是(    )
A. ∠C=∠A+∠B B. ∠C=∠A−∠B
C. ∠A：∠B：∠C=1：4：3 D. ∠A=2∠B=3∠C
6. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．若设牧童有x人，根据题意可列方程为(    )
A. 6x+14=8x B. 6(x+14)=8x C. 8x+14=6x D. 8(x−14)=6x
7. 能铺满地面的正多边形的组合是(    )
A. 正五边形和正方形 B. 正六边形和正方形 C. 正八边形和正方形 D. 正十边形和正方形
8. 如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF.根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有(    )


A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
9. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2+∠3的度数为(    )
A. 90°
B. 105°
C. 120°
D. 135°
10. 已知关于x，y的方程组x+2y=k2x+3y=3k−1.以下结论中正确的个数是(    )
①不论k取何值，x+3y的值始终不变；
②存在有理数k，使得x+y=0；
③若2 ④当k=0，方程组的解也是方程x−2y=−4的解．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若a>b，则3a ______ 3b(填“>”、“=”或“<”)
12. 已知二元一次方程2x+y=5，用含有x的代数式表示y，得y= ______ ．
13. 腰长为7的等腰三角形的周长等于20，则它的底边长等于______ ．
14. 如图，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′/​/AB，若∠CAB=70°，则∠BAB′= ______ ．


15. 如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，点D在AC边上，若∠CDE=25°，则∠CBD的度数为______ ．


16. 如图，∠AOB=45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN=3，△OMN的面积为6，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，当点P在直线MN上运动时，△OP1P2的面积最小值为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：5x−8=2(x+5)．
18. (本小题8.0分)
解不等式组：5x<2(x+1)−83x+12−1≤0，并把它的解集在数轴上表示出来．


19. (本小题8.0分)
已知关于x、y的方程组x−y=5a+1x+y=3a+9的解满足3x−2y=21，求a的值．
20. (本小题8.0分)
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点．
(1)画出△ABC向左平移3个单位后的图形△A1B1C1；
(2)在直线B1C1上标出点P，使得PB+PC的值最小．

21. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC相交于点F．
(1)若AE=2，BC=3，求线段DE的长；
(2)若∠D=35°，∠C=50°，求∠AFD的度数．

22. (本小题10.0分)
我们规定：对于有理数a，符号{a}表示大于a的最小整数．
例如：{4.7}=5，{3}=4，{−3.2}=−3，{−0.4}=0．
(1)计算：{−2.1}+{3.14}；
(2)若{4x−1}=−12，求x的取值范围．
23. (本小题10.0分)
在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点(不与点D重合)，过点E作EF/​/BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与直线CD交于点G(不与点C重合)．
(1)如图，点E在线段AD上运动，若∠B=50°，∠ACB=30°，求∠EGC的度数；
(2)若点E在线段DB的延长线上时，设∠A=α，求∠EGC的度数(答案可用含α的代数式表示)．


24. (本小题13.0分)
某水果店从农场购进甲、乙两种水果进行销售，两种水果的进价和售价如下表：
品种
进价(元/千克)
售价(元/千克)
甲
a
11
乙
b
12
已知乙种水果的进价比甲种水果高2元/千克，水果店购进甲、乙两种水果各100千克共花费2000元．
(1)求表格中a、b的值；
(2)某天该水果店购进甲、乙两种水果共300千克，其中甲种水果x千克(80≤x≤120)，在当天的促销活动中，店家将甲种水果降价m元/千克(0 (3)某天顾客李阿姨到该水果店购买甲、乙、丙三种水果(丙种水果售价定为13元/千克)，共花费153元，若李阿姨所购买这三种水果的重量均为正整数，直接写出李阿姨所有购买方案．
25. (本小题13.0分)
在等腰△ABC中，CA=CB，点N在直线BC上，在直线AB上找一点M，使得CM=CN，连接CM、MN．
(1)如图1，当点N在BC边上，点M在AB边上，若∠ACB=60°，∠MCN=20°，求出∠BMN的度数；
(2)如图2，当点N在线段CB的延长线上，点M在线段AB的延长线上时，请写出∠BMN与∠ACM的数量关系，并加以证明；
(3)若点N在直线BC上，点M在射线BA上，∠ACM=24°，请画出草图，并直接写出∠BMN的度数．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：3x=2x+1，
3x−2x=1，
x=1，
故选：B．
移项、合并同类项即可求解．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．

2.【答案】D 
【解析】解：x−1<0，
x<1，
故选：D．
原不等式移项可得x<1，据此可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

3.【答案】B 
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
根据中心对称图形的定义即可解答．
本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．

4.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【解答】
解：360°÷36°=10，
则这个多边形的边数为10，
故选B．  
5.【答案】D 
【解析】
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，根据选项中的条件求出三角形的最大角的度数，再判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．

【解答】
解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，
∴∠C=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A−∠B，
∴∠A=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=1：4：3
∴∠B=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
D、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B=3∠C，
∴∠A≈98°，即三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选D．

  
6.【答案】A 
【解析】解：设有牧童x人，
若设牧童有x人，根据题意可列方程为：6x+14=8x．
故选：A．
设有牧童x人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个多边形每个内角的度数，然后根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角判断即可．
【解答】
解：A.正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°，正方形的每个内角是90°，108m+90n=360，n=4−65m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满，故A错误；
B.正方形的每个内角是90°，正六边形的每个内角是120°.90m+120n=360，m=4−43n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故B错误；
C.正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角为：180°−360°÷8=135°，
∵90°+2×135°=360°，
∴正八边形和正方形能铺满，故C正确；
D.正十边形的每个内角度数是180°−360°÷10=144°，正方形的每个内角是90°，144m+90n=360，n=4−85m，显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满，故D错误．
故选：C．  
8.【答案】A 
【解析】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；

②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；

③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．

综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：A．
根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．
根据全等可得∠1+∠3=90°，根据正方形的性质得∠2=45°，即得答案．
【解答】
解：观察图形可知，∠1所在的三角形与∠3所在的三角形全等，
∴∠1+∠3=90°，
又∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=135°，
故选：D．  
10.【答案】D 
【解析】解：①方程组x+2y=k①2x+3y=3k−1②，
①×3−②得：x+3y=1，
则不论k取何值，x+3y的值始终不变，本选项正确；
②方程组x+2y=k①2x+3y=3k−1②，
②−①得：x+y=2k−1，
令x+y=0，得到2k−1=0，
解得：k=12，本选项正确；
③方程组x+2y=k①2x+3y=3k−1②，
①×2−②得：y=1−k，
把y=1−k代入①得：x=3k−2，
∴x−y=3k−2−1+k=4k−3，
∵2 ∴5<4k−3<13，本选项正确；
④把k=0代入方程组得：x+2y=02x+3y=−1，
解得：x=−2y=1，
把x=−2y=1代入方程x−2y=−4得：左边=−2−2=−4，右边=−4，
∴方程组的解也是方程x−2y=−4的解，本选项正确．
故选：D．
①方程组整理后，表示出x+3y，即可作出判断；
②方程组两方程相减表示出x+y，使其值为0确定出k的值，即可作出判断；
③方程组整理后，表示出x−y，根据k的范围确定出x−y的范围即可；
④把k=0代入方程组求出解，即可作出判断．
此题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．

11.【答案】> 
【解析】解：a>b，则3a>3b，
故答案为：>．
根据不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向改变，可得答案．
本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键．

12.【答案】−2x+5 
【解析】解：方程2x+y=5，
解得：y=−2x+5．
故答案为：−2x+5．
将x看作已知数求出y即可．
本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．

13.【答案】6 
【解析】解：∵腰长为7的等腰三角形的周长等于20，
∴底边=20−7−7=6，
故答案为：6．
周长减去两个腰长即可得出底边长．
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系．

14.【答案】40° 
【解析】解：由题意得：
AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C；
∵CC′//AB，
∴∠ACC′=∠AC′C=∠BAC=70°，
∴∠CAC′=180°−2×70°=40°；
∵∠CAB=∠C′AB′，
∴∠BAB′=∠CAC′=40°，
故答案为：40°．
由AC=AC′，先证∠ACC′=∠AC′C，然后由CC′/​/AB，得到∠ACC′=∠CAB=70°，再由三角形的内角和定理求出∠CAC′=40°即可解决问题．
此题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质，得出AC=AC′，∠BAC=∠ACC′=70°是解题关键．

15.【答案】35° 
【解析】解：∵△ABC与△BDE均为等边三角形，
∴∠A=∠BDE=60°，
∵∠CDE=25°，
∴∠ADB=180°−∠BDE−∠CDE=95°，
∴∠ABD=180°−∠A−∠ADB=25°，
∴∠CBD=∠ABC−∠ABD=35°，
故答案为：35°．
根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

16.【答案】8 
【解析】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，

∵S△OMN=12MN⋅OH=6，且MN=3，
∴OH=4，
∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，
∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=90°，
∴△OP1P2的面积为12OP1⋅OP2=12OP22，
由垂线段最短可知，当点P与点H重合时，OP取得最小值，最小值为OH=4，
∴△OP1P2的面积的最小值为12×42=8，
故答案为：8．
连接OP，过点O作OH⊥MN交NM的延长线于H，先利用三角形的面积公式求出OH，再根据轴对称的性质可得∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，从而可得∠P1OP2=90°，然后利用三角形的面积公式可得△OP1P2的面积为12OP2，根据垂线段最短可得当点P与点H重合时，OP取得最小值，△OP1P2的面积最小，由此即可得．
本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．

17.【答案】解：去括号得，5x−8=2x+10，
移项得，5x−2x=10+8，
合并同类项得，3x=18，
系数化为1得，x=6． 
【解析】按照解一元一次方程的步骤求解即可．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

18.【答案】解：5x<2(x+1)−8⋯①3x+12−1≤0⋯②，
解①得x<−2，
解②得x≤13，

则不等式组的解集是x<−2． 
【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组组的解集．
本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

19.【答案】解：解此方程组得，
x=4a+5y=−a+4，
∵3x−2y=21，
∴3(4a+5)−2(−a+4)=21，
解得a=1． 
【解析】先求得此方程组的解为x=4a+5y=−a+4，再代入3x−2y=21求解a的值．
此题考查了解二元一次方程组的应用能力，关键是能用合适的方法准确求解．

20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，点P即为所求． 
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
(3)作点C关于直线B1C1的对称点N，连接BN交直线B1C1于点P，点P即为所求．
本题考查作图−平移变换，轴对称−最短路径问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．

21.【答案】解：(1)∵△ABC≌△DEB，
∴BE=BC=3，DE=AB，
∵AB=AE+BE=2+3，
∴DE=5；
(2)∵△ABC≌△DEB，
∴∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=50°，
∵∠AFD=∠A+∠AEF，∠AEF=∠D+∠EBD，
∴∠AFD=∠A+∠D+∠EBD=35°+35°+50°=120°． 
【解析】(1)由△ABC≌△DEB，得到BE=BC=3，DE=AB，而AB=AE+BE=2+3，即可得到DE=5；
(2)由△ABC≌△DEB，得到∠A=∠D=35°，∠DBE=∠C=50°，由三角形外角的性质得到∠AFD=∠A+∠D+∠EBD=35°+35°+50°=120°．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等．

22.【答案】解：(1)原式=−2+4=2；

(2)由题意可得4x−1≥−134x−1<−12，
解得：−3≤x<−114． 
【解析】(1)根据规定，利用有理数的加法法则进行计算即可；
(2)根据规定列得不等式组，解不等式组即可．
本题考查有理数的大小比较及运算，解一元一次不等式组，(2)中由题意列得不等式组是解题的关键．

23.【答案】解：(1)EF//BC，
∴∠B=∠FEB=50°，∠EFD=∠BCD，
∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，
∴∠FEG=∠DEG=12∠FED=25°，∠BCD=∠ACD=12∠ACB=∠EFD=15°，
∴∠EGC=∠FEG+∠EFG=45°，
(2)当点E在射线DB上时，如图，
∵∠EGD=∠FEG+∠EFG
=12(∠FED+∠ACB)
=12(∠ACB+∠B)
=12(180°−∠A)
=90°−12α，
∴∠EGC=180°−∠EGD
=180°−90°+12∠α
=90°+12∠α．
 
【解析】(1)由角平分线的性质及平行线的性质可得：∠FEG=∠DEG=12∠FED=25°，∠BCD=∠ACD=12∠ACB=∠EFD=15°，再利用三角形的外角可得结果；
(2)先求得∠EGD=90°−12α，再由平角可得∠EGC．
本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．

24.【答案】解：(1)根据题意得：b=a+2100a+100b=2000，
解得a=9b=11，
∴a的值为9，b的值为11；
(2)根据题意得：(11−9−m)x+(12−11)(300−x)=336，
解得x=361−m，
∵80≤x≤120，
∴80≤361−m≤120，
解得0.55≤m≤0.7；
∴m的取值范围是0.55≤m≤0.7；
(3)设购买甲种水果x千克，乙种水果y千克，丙种水果z千克，
∵共花费153元，
∴9x+11y+13z=153，
∵x，y，z都是正整数，
∴x=10y=1z=4或x=9y=3z=3或x=8y=5z=2或x=7y=7z=1或x=3y=2z=8或x=2y=4z=7或x=1y=6z=6，
∴购买甲种水果10千克，乙种水果1千克，丙种水果4千克或购买甲种水果9千克，乙种水果3千克，丙种水果3千克或购买甲种水果8千克，乙种水果5千克，丙种水果2千克或购买甲种水果7千克，乙种水果7千克，丙种水果1千克或购买甲种水果3千克，乙种水果2千克，丙种水果8千克或购买甲种水果2千克，乙种水果4千克，丙种水果7千克或购买甲种水果1千克，乙种水果6千克，丙种水果6千克． 
【解析】(1)根据题意得：b=a+2100a+100b=2000，可解得a的值为9，b的值为11；
(2)根据恰好获利336元得：(11−9−m)x+(12−11)(300−x)=336，x=361−m，故80≤361−m≤120，可得m的取值范围是0.55≤m≤0.7；
(3)设购买甲种水果x千克，乙种水果y千克，丙种水果z千克，有9x+11y+13z=153，x，y，z都是正整数，即可求出答案．
本题考查二元一次方程组，三元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．

25.【答案】解：(1)∵CA=CB，∠ACB=60°，
∴△ACB为等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠MCN=20°，
∴∠ACM=∠ACB−∠MCN=60°−20°=40°，
∴∠BMC=∠ACM+∠A=40°+60°=100°，
∵CM=CN，∠MCN=20°，
∴∠CMN=12(180°−∠MCN)=12(180°−20°)=80°，
∴∠BMN=∠BMC−∠CMN=100°−80°=20°．
(2)∠BMN与∠ACM的数量关系是：∠BMN=12∠ACM．
证明如下：
设∠MCN=α，∠ACB=β，则∠ACM=∠MCN+∠ACB=α+β
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC=12(180°−β)，
∴∠MBN=∠ABC=12(180°−β))，
∵CM=CN，
∴∠CNM=12(180°−α)，
∴∠BMN=180°−∠MBN−∠CNM
即：∠BMN=180°−12(180°−β)−12(180°−α)=12(α+β)=12∠ACM．
(3)∠BMN的度数为12°或78°．
理由如下：
①当点N在CB的延长线上时，

设∠BMN=α，∠CMB=β，则∠CMN=∠BMN+∠CMB=α+β，
∵∠ACM=24°，
∴∠CAB=∠CMB+∠ACM=β+24°，
∵CA=CB，
∴∠CBA=∠CAB=β+24°，
∵CM=CN，
∴∠CNM=∠CMN=α+β，
∵∠CBA=∠BMN+∠CNM，
∴β+24°=α+α+β，
∴α=12°，
即∠BMN=α=12°；
②当点N在BC的延长线上时，

设∠AMC=α，∠CMN=β，则∠BMN=∠AMC+∠CMN=α+β，
∵∠ACM=24°，
∴∠CAB=∠AMC+∠ACM=α+24°，
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB=α+24°，
∵CM=CN，
∴∠CNM=∠CMN=β，
∴∠BCM=∠CNM+∠CMN=2β，
∴∠ACB=∠BCM−∠ACM=2β−24°，
∵∠ACB+∠B+∠CAB=180°，
∴2β−24°+α+24°+α+24°=180°，
∴α+β=78°，
即：∠BMN=α+β=78°．
综上所述：∠BMN的度数为12°或78°． 
【解析】(1)先求出∠A=60°，则∠ACM=40°，进而得∠BMC=100°，然后根据CM=CN，∠MCN=20°可求出∠CMN=80°，据此可求出∠BMN的度数；
(2)设∠MCN=α，∠ACB=β，则∠ACM=α+β，由CA=CB得∠A=∠ABC=∠MBN=1/2(180°−β)，再由CM=CN得∠CNM=1/2(180°−α)，然后根据∠BMN=180°−∠MBN−∠CNM可得出结论；
(3)分两种情况进行讨论：①当点N在CB的延长线上时，设∠BMN=α，∠CMB=β，则∠CMN=α+β，∠CAB=β+24°，由CA=CB得∠CBA=∠CAB=β+24°，由CM=CN，得∠CNM=∠CMN=α+β，然后根据∠CBA=∠BMN+∠CNM可求出α的度数；
②当点N在BC的延长线上时，设∠AMC=α，∠CMN=β，则∠BMN=α+β，∠CAB=α+24°，由CA=CB，得∠B=∠CAB=α+24°，由CM=CN，得∠CNM=∠CMN=β，进而可得∠BCM=2β，∠ACB=2β−24°，然后∠ACB+∠B+∠CAB=180°可求出α+β的度数．
此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，外角定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．