初中数学苏科版八年级上册5.2 平面直角坐标系精品课件ppt

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5 . 2平面直角坐标系
如何确定直线上点的位置？
数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点在数轴上的坐标． 例如点A在数轴上的坐标为－3，点B在数轴上的坐标为2. 反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个的点在数轴上的位置也就确定了.
如何确定平面上点的位置呢？
第1课时 平面直角坐标系
在中山北路西边50 m、北京西路北边30m处.
小丽能按小明的描述，找到音乐喷泉吗?
如果将南北向的中山路和东西向的北京路看成纵横两条互相垂直的数轴，十字路口为这两条数轴的公共原点(如图 5－3)，那么“中山北路西边 50 m”可用横轴上的－50 表示，
“北京西路北边30m”可用纵轴上的＋30 表示，音乐喷泉的位置可以用有序实数对(－50，30)来描述.
知识点 1 平面直角坐标系
平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系.
水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向， 铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向， 两轴的交点 O 是原点.
1. 平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直； 2. 一般情况下两条坐标轴的单位长度是相等的，在有些实际问题中，两条坐标轴的单位长度可以不相等，但在同一坐标轴上的单位长度必须相等.
下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是 ( )
辨识平面直角坐标系的“四要素”： 1. 两条数轴； 2. 共原点； 3. 单位长度一致； 4. 互相垂直.注意：一般取向上、向右为正方向.
在平面直角坐标系中，用有序实数对(a，b)描述一个点的位置如果将这点记为点 P，那么它的位置可以这样确定： 如图 5－4，过轴上表示实数 a 的点画 x 轴的垂线，过 y 轴上表示实数 b 的点画 y 轴的垂线，这两条垂线的交点即为点 P .
如果 Q 是平面直角坐标系中的一点，你能确定与它相对应的有序实数对吗?
与点Q相应的有序实数对是(m，n).
知识点 2 点的坐标
在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置：反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示. 这样的有序实数对叫做点的坐标.
例如，在图 5－4 中，点P的坐标为(a，b)，其中a称为点P的横坐标，b称为点 P 的纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.
点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如 P(a，b)、Q(m，n).
(1) 平面直角坐标系内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应.(2) 任意一个有序实数对(点的坐标)在平面直角坐标系内都有唯一的一点与它对应.
平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系
例1 在平面直角坐标系中，画出下列各点： A (4，1)， B(－1，4)， C (－4，－2)，D (3，－2)， E (0，1)，F(－4，0).
解： 如图 5－5，过轴上表示4的点画x轴的垂线，过y轴上表示 1的点画 y 轴的垂线，两条垂线的交点为 A(4，1). 同样地，可画出点 B、C、D、E和F.
在如图所示的直角坐标系中，M，N 的坐标分别为(　　)A. M(2，－ 1)，N(2，1)B. M(－ 1，2)，N(2，1)C. M(－ 1，2)，N(1，2)D. M(2，－ 1)，N(1，2)
例2 写出图中点 A、B、C 的坐标.
解： 如图，过点A画x 轴的垂线，得点 A的横坐标－4，过点 A 画y轴的垂线，得点 A的纵坐标 3，于是点 A的坐标为(－4，3).
同样地，可得点B、C的坐标分别为(－3，－2)、(1，－3).
知识点 3 象限
如图，两条坐标轴将平面分成的4 个区城称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限. 坐标轴不属于任何象限.
1. 第一象限的点的坐标有什么特点?其他象限的点呢?
第一象限的点的横坐标与纵坐标都为正数；第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限的点的横坐标与纵坐标都为负数；第四象限的点的横坐标为正数，纵坐标为负数.
2. 坐标轴上的点的坐标有什么特点?
x 轴上的点的横坐标为任意实数，纵坐标为 0；y轴上的点的横坐标为0，纵坐标为任意实数.
已知点P 的坐标为(a＋3，b－1). (1) 若点P 在x 轴上，则b＝_________； (2) 若点P 在第四象限，则a 的取值范围为 _______， b 的取值范围为 ________.
1. 分别写出图中点 A、B、 C 的坐标.
解：A (4，5)， B (－5，－3)， C (3，－4).
2. 在平面直角坐标系中画出下列各点， 并指出它们分别在第几象限. A (2，4)， B (－2.5，3)， C (－3，－2)， D (1.5，－3.5).
解：如图所示点A 在第一象限，点 B 在第二象限，点C在第三象限，点 D在第四象限.
平面直角坐标系的三要素： (1) 两条数轴； (2) 互相告直； (3) 公共原点.
2. 第一、二、三、四象限内点的坐标的符号依次 为(＋，＋)，(－，＋)，(－，－)，(＋，－)．
3．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0.
4. 建立坐标系常用的方法有： (1)以图形上的某已知点或线段的中点为原点； (2)以图形上某线段所在直线为x 轴(或y 轴)； (3)利用图形的轴对称性以对称轴为x 轴(或y 轴)．
第2课时 用坐标表示平移
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
(2) 经过平移后，对应点所连的线段 平行且相等；
(1) 平移不改变图形的形状和大小，只改变形图形的位置.
例3 如图，点B、点C在轴上，试在第一象限内画以BC 为底、面积为 10 的等腰三角形ABC，并写出点 A、点 B、点 C的坐标.
解：点 B、C的坐标分别为B(1，0)、C(5，0)，BC＝4.根据题意，可知等腰三角形 ABC的高为5，点A在 BC 的垂直平分线上，它的横坐标为 3，纵坐标为 5，即 A(3，5).所画ABC 如图.
在图中，把△ABC 沿 y 轴翻折得到△A′B′C′，再把△A′B′C′ 向下平移3个单位长度得到△A″B″C″. 你能写出△A′B′C′ 、△A″B″C″、各顶点的坐标吗?
A′ (－3，5)，B′ (－1，0)，C′ (－5，0).
A″ (－3，2)，B″ (－1，－3)，C″ (－5，－3).
1. 在图5－10 的平面直角坐标系中，依次连接以下各点(最后一点不再与其他点连接)，将得到一个怎样的图形?
(0.5，4)，(0，0)，(1，3)，(2，3)，(3，2)，(3，0)，(1，－1)，(2，－1)，(1，－3)，(0，－1)，(－1，-3)，(－2，－1)，(－1，－1)，(－3，0)，(－3，2)，(－2，3)，(－1，3)，(0，0)，(－0.5，4).
如图所示，得到的图案是一只蝴蝶.
2. 观察所画图形，填空： (1)点(1，－3)关于x 轴对称的点的坐标为_________，关于 y 轴对称的点的坐标为___________；
(2)点(－1，3)关于 x 轴对称的点的坐标为__________，关于 y 轴对称的点的坐标为___________. 一般地，点 P(a，b)关于x 轴对称的点的坐标为______，关于 y 轴对称的点的坐标为________.
3. 在图 5－11中，把线段 AB 先向右平移 7个单位长度，再向上平移 2个单位长度，得到线段 A′B′. 试分别写出点A、B、A′、B′的坐标.
A(－4，1)，B(－2，3)，A′(3，3)，B′(5，5).
(1) 你能说出点A与点A′、点 B与点 B′的坐标之间的关系吗?
点A′的横坐标比点A的横坐标大7，点A′的纵坐标比点A的纵坐标大 2；点B′的横坐标比点B 的横坐标大 7，点B′的纵坐标比点B′的纵坐标大2.
(2) 如果点C(m，n)是线段AB 上的任意一点，那么当AB 平移到A′B′后，写出与点 C 对应的点C′的坐标.
C′ (m＋7，n＋2).
如果一个点的纵坐标不变，横坐标改变，那么这个点的位置发生怎样的变化?如果一个点的横坐标不变，纵坐标改变呢?
如果一个点的纵坐标不变,横坐标改变，那么该点将向左或向右平移；如果一个点的横坐标不变，纵坐标改变，那么该点将向上或向下平移.
在平面直角坐标系中，点P(a，b)向右(或向左)平移n(n>0)个单位长度，则点P 的纵坐标不变，横坐标加上(或减去)n； 点P(a，b)向上(或向下)平移n(n＞0)个单位长度，则点P 的横坐标不变，纵坐标加上(或减去)n.
点 P(a，b) 关于 x 轴对称的点的坐标为(a，－b)，关于 y 轴对称的点的坐标为(－a，b)，关于原点对称的点的坐标为(－a，－b).
在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(1，－3)．如果把点M 先向左平移5 个单位长度，再向上平移3 个单位长度得到点M′，则M′的坐标为(　　) A. (6，0)　　　　　　　 B. (6，－ 6)　 C. (－ 4，0)　　　　　　 D. (－ 4，－ 6)
如果点 P (－2，b)和点 Q (a，－3) 关于x 轴对称，则a＋b 的值是(　　) A. －1 B . 1 C . －5 D . 5
(1) 写出图①中点A、B、M、N 的坐标；
A (2，3)，B (3，0)，M (1，1.5)，N (2.5，1.5).
(2) 指出图①经过怎样的运动可以得到图②、图③、图④，并分别写出这3 个图中与点 A、B、M、N 对应的点A′、B′、M′、N′的坐标.
图②是由图①向右平移 2 个单位长度得到的； 图②中A′(4，3)，B′(5，0)，M′(3，1.5)，N′(4.5，1.5)
图③是由图①沿x轴翻折得到的； 图中A′(2，－3)，B′(3，0)，M′(1，－1.5)，N′(2.5，－1.5)
图④是由图①以点O为中心，顺时针旋转 90°得到的. 图④中A′(3，－2)，B′(0，－3)，M′(1.5，－1)，N′(1.5，－2.5).
点的平移与点的坐标变化规律：左、右平移，横变纵不变，“右加左减”；上、下平移，纵变横不变，“上加下减”．
第3课时 用坐标表示地理位置
在茫茫的大海上，“北斗导航系统能对渔船进行准确定位. ”以便及时掌握各种情况．这个系统是怎样定位的呢，答案就在本节中．
如图 5－12，电视机厂通过由电脑控制的机械手，把各种元器件准确插入线路板上的焊孔，然后通过焊接工序将它们焊牢.
如果你是工程师，那么你怎样向机械手下达指令，使它把元器件准确插入相应的焊孔？
如果在线路板上建立平面直角坐标系，用坐标表示焊孔 A、B 的位置，那么向电脑输入点 A、B 的坐标后，机械手就会按坐标指示的“地址”将有关元器件准确插入焊孔 A、B.
例如，建立如图 5－13 的平面直角坐标系，则点 A 的坐标为(a，d)，点B的坐标为(b，c).
(1) 选择一个适当的点为原点；(2) 过原点在两个互相垂直的方向上分别作出 x 轴、y 轴；(3) 根据具体问题确定单位长度.
建立平面直角坐标系的一般步骤
(1) 坐标轴的方向通常取水平方向为x轴，竖直方向为y轴； (2)平面直角坐标系变化时，坐标平面内各点的坐标也发生变化，但各点之间的相对位置并不会发生变化.
在图5－14 中，以“中心广场”为坐标原点，以正东方向为 x 轴正方向、正北方向为 y 轴正方向，画出平面直角坐标系. 说出各旅游景点的位置 (小方格的边长为 1个长度单位).
画平面直角坐标系如图所示. O(0，0)，A(5，7)，B(－8，5)，C(－11，1)，D(－8，－3)，E(－12，－8)，F(3，－6)
例4 已知正方形 ABCD 的边长为 4，建立适当的平面直角坐标系，分别写出各顶点的坐标.
解：如图 ，以点 A 为坐标原点，分别以边 AB、AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为(0，0).
∵ AB＝AD＝4，∴ 点B的坐标为(4，0)， 点 D的坐标为(0，4).∵ DC＝AB，BC＝AD，∴ 点C的坐标为(4，4).
还能建立不同的平面直角坐标系表示例4中正方形各顶点的坐标吗?
根据实际问题的需要，建立恰当的平面直角坐标系，可以使一些点的坐标较为简明，便于研究和解决问题.
根据下面的条件画一幅示意图，并在图中标出各个景点的位置和坐标． 菊花园：从中心广场向北走150 m，再向东走150 m； 湖心亭：从中心广场向西走150 m，再向北走100 m； 松风亭：从中心广场向西走100 m，再向南走50 m； 育德泉：从中心广场向北走200 m.
1. 根据某动物园的平面示意图，以大门所在的位置为坐 标原点，以正东方向为x 轴正方向、正北方向为 y 轴 正方向，以l cm为单位长度，建立平面直角坐标系， 用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园和熊猫馆的位置。
2. 在△PAB 中，PA＝PB，AB＝2. 建立适当的平面直角 坐标系，分别写出△PAB 是等边三角形、等腰直角三 角形时各顶点的坐标.
(2)当△PAB 是等腰直角三角形时，建立如图2所示的平面直角坐标系. ∵PA＝PB， ∴∠APB＝90°，∠BOP＝90°. ∴ OA＝OB＝OP＝1， ∴ A(－1，0)，B(1，0)，P(0，1) (答案不唯一)
利用平面直角坐标系表示地理位置的方法：(1) 建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原 点，确定 x 轴、y 轴及其正方向．(2) 根据具体问题确定适当的单位长度．(3) 在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个 地点的名称．
另外表示地理位置的方法还有： 方位角和距离定位法、网格定位法、区域定位法、经纬定位法等，不管哪种定位法，都需要两个独立的条件．
如果平面直角坐标系中点的横坐标、纵坐标表示某种实际意义的量那么我们就能设计出一些有趣的坐标系，来表达自然界和人类社会中的一些现象或规律. 在图(1)的平面直角坐标系中，横坐标表示“年人口自然增长率”，纵坐标表示“预期寿命”.
你能写出图中“中国”、“英国”、“世界”、“孟加拉国”这些点的坐标吗? 你能说明这些点的坐标的实际含义吗?
某地一名中学生在完成了对自家院子里的土壤结构组成的勘测后，用图(2)的坐标系表示他勘测的结果： 空气为 22%，固体颗粒为 50%，水为28%. 你知道这个坐标系所表示的意义和规律吗?
找一找，你的周围有没有一些事物或现象是可以用坐标来表示的.
1. 在同一平面直角坐标系中画出下列各点，并分别将各 组中的点依次连接起来： (1) (2，0)，(4，0)，(6，2)，(6，6)，(5，8)，(4，6)， (2，6)，(1，8)，(0，6)，(0，2)，(2，0)； (2) (1，3)，(2，2)，(4，2)，(5，3)； (3) (1，4)，(2，4)，(2，5)，(1，5)，(1，4)； (4) (4，4)，(5，4)，(5，5)，(4，5)，(4，4)； (5) (3，3).
2. 填空： (1) 点M (4，0) 到点(－1，0)的距离是___________； (2) 点 P (－5，12)到原点的距离是__________； (3) 点 P (m，－2m) 是第二象限的点，则m的取值范 围是_________.
3. 写出图中点 A、B、C、D、E、 F、G、H 的坐标，并指出各 点所在的象限或坐标轴.
解：点A(3，9)、点H(7，6)在第一象限； 点B(－3，9)、点 C(－7，6)在第二象限； 点E(－7，－9)在第三象限； 点F(7，－9)在第四象限 点D(2，0)、点G(2，0)在x轴上.
4. 已知点 P (x，y) 在第二象限，且点 P 到 x 轴、y 轴的 距离分别为 3、5. 试写出点P的坐标.
解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为3，5. ∴ | y |＝3，| x |＝5. 又∵点P在第二象限， ∴ x＜0，y＞0. ∴ x＝－5，y＝3，即点 P的坐标为(－5，3).
5. 长方形ABCD的顶点 A、B、C 的坐标分别是 (0，0)、 (5，0)、(5，3). 试写出顶点 D 的坐标.
6. 四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A (1，－2)、B (5，－4)、C (4，－1)、D (3，－1)，把四边形ABCD向左平移3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到四边形 A′B′C′D′. 请在同一平面直角坐标系中画出这两个四边形，并写出点 A′、B′、C′、D′的坐标.
解：画图如图所示，A′(－2，2)，B′(2，0)，C′(1，3)，D′(0，3).
7. 在平面直角坐标系中，描点 A (3，－2)、B (3，1)、 C (3，4)、D (－2，3)、E (1，3)、F (4，3). (1) 点 A、B、C 在一条直线上吗? AC是否平行于一条 坐标轴? 点 A、B、C 的坐标有什么共同之处? (2) 点 D、E、F在一条直线上吗? DF是否平行于一条 坐标轴?点 D、E、F 的坐标有什么共同之处?
(1) 点 A，B，C 在一条直线上，AC//y 轴，点 A，B，C 的横坐标相同. (2) 点 D，E，F 在一条直线上，DF∥x 轴，点 D，E，F的纵坐标相同.
用方位角、距离描述物体的位置
如图(1)，在以红星镇为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向的平面直角坐标系(1 个单位长度表示的实际距离为1 km)中，王家庄的坐标为(5，5).
在日常生活中，人们常说王家庄在红星镇东北方向大约 7 km 的地方. 在数学中，把∠yOA 这样的角 (Oy 绕点 O 顺时针旋转到OA 所成的角) 称为方位角， 我们可以这样描述王家庄的位置：王家庄在红星镇的方位角为45°、距离约 7 km 的位置.
用这样的方法，也可以描述“动物园平面示意图”中各个景点的位置.
例如，在图(2)中画出射线 EN，表示正北方向，连接 EC、ED. 如果度量得∠NEC＝33°，EC＝2.6 cm，那么熊猫馆 C在大门 E 的方位角为33°、距离为 0.26 km 的位置； 如果度量得∠NED＝110°，ED＝2.7 cm，那么驼峰 D在大门E 的方位角为 110°、距离为 0.27 km 的位置.
你能用这样的方法描述动物园中其他景点的位置吗? 这种描述物体位置的方法，广泛应用于航海、航空、气象、军事等领域.
小明在一本课外读物中看到这样一段文字和一幅图：
图 5－16 是寻宝者得到的一幅藏宝地图，荒凉的海岛上没有藏宝藏的任何标志，只有 A、B 两块天然巨石. 寻宝者从其他资料上查到，岛上 A、B 两块巨石在平面直角坐标系中的坐标分别是A(2，2)和 B(8，1)，藏宝地的坐标是(6，6).
你能在上面的地图中画出藏宝地吗?