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2022-2023学年四川省达州中学联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年四川省达州中学联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省达州中学联盟八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式：y−3y，5+xπ，m+nm−n，1a中，是分式的共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C为( )
A. 25° B. 35° C. 40° D. 50°
4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4 B. x2−4=(x+2)(x−2)
C. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x D. x2+4x−2=x(x+4)−2
5. 如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( )
A. 100
B. 120
C. 130
D. 150
6. 在平面直角坐标系中，线段AB是由线段CD平移得到的，点C(−1,4)的对应点为A(4,7)，点B(2,4)，则点D坐标为( )
A. (5,7) B. (−1,1) C. (−3,1) D. (7,7)
7. 已知关于x的不等式3x−m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( )
A. 4≤m<7 B. 4
A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
9. 若不等式组5x+2≤3x−5−x+5
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连结AP，EF.有下列结论：
①AE=CF；
②EF=AP；
③△EPF是等腰直角三角形；
④S四边形AEPF=12S△ABC，
其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 因式分解：4m2−36= ．
12. 已知a2+a−1=0，则a3+2a2+2019=______．
13. 若关于x的不等式(1−a)x>2可化为x<21−a，则a的取值范围是______．
14. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC//x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD=6，点P为y轴上一动点，当S△PAB=14S△AOD时，点P的坐标为______ .(注：S△ADD表示△ACD的面积)
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
先因式分解，然后计算求值：
(1)9x2+12xy+4y2，其中x=43，y=−12；
(2)(a+b2)2−(a−b2)2，其中a=−18，b=2．
17. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x+1)>x1−2x≥x+72并在数轴上表示它的解集．
18. (本小题10.0分)
如图所示的正方形网格中(每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点)，△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)以点C为旋转中心，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，画出△CA1B1；
(2)作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；
(3)设AC2与y轴交于点D，则△B1DC的面积为______ ．
19. (本小题6.0分)
已知A=2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)．
(1)化简A；
(2)若x2−6xy+9y2=0，求A的值．
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.已知AD=2cm，BC=5cm．
(1)求证：FC=AD；
(2)求AB的长．
21. (本小题10.0分)
众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地(元/辆)
B地(元/辆)
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
22. (本小题8.0分)
已知直线l1：y=x+n−2与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2)．
(1)求m，n的值；
(2)请结合图象直接写出不等式mx+n>x+n−2的解集；
(3)求直线l1、直线l2与x轴围成的三角形的面积．
23. (本小题8.0分)
如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，
(1)图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
(2)连接AM，求证：MA平分∠EMF．
24. (本小题12.0分)
上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知
识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵(x+2)2≥0，
∴当x=−2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，
∴(x+2)2+1≥1
∴当(x+2)2=0时，(x+2)2的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x= ______ 时，代数式x2−6x+12的最小值是______ ；
(2)知识运用：若y=−x2+2x−3，当x= ______ 时，y有最______ 值(填“大”或“小”)，这个值是______ ；
(3)知识拓展：若−x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值．
25. (本小题12.0分)
如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
(1)如图1，猜想∠QEP=______°；
(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
【解答】
解：y−3y，m+nm−n，1a的分母中含有字母，因此是分式；
5+xπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
由∠BAD=40°得∠B=180°−40°2=70°=∠ADB，
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C=12∠ADB=35°．
故选：B．
先根据AB=AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
根据因式分解的定义，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A=50°，CD⊥AB，
∴∠ACD=40°，
∵BE⊥AC，
∴∠CEP=90°，
∵∠BPC为△CPE的外角，
∴∠BPC=130°．
故选：C．
由∠A=50°，高线CD，即可推出∠ACD=40°，然后由∠BPC为△CPE的外角，根据外角的性质即可推出结果．
本题主要考查垂线的性质，余角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出∠ACD和∠CEP的度数．
6.【答案】C
【解析】解：∵线段AB是由线段CD平移得到的，点C(−1,4)的对应点为A(4,7)，
∴线段AB是把线段CD向右平移了4−(−1)=4+1=5个单位长度，再向上平移了7−4=3个单位长度得到的，
∴点B(2,4)的对应点D的坐标为(2−5,4−3)，即(−3,1)．
故选：C．
根据线段AB是由线段CD平移得到的，点C(−1,4)的对应点为A(4,7)，可知平移的方向和距离，再根据点B(2,4)，即可求得点B的对应点D的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−平移，得到平移的方向和距离是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【解答】
解：解不等式3x−m+1>0，得：x>m−13，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤m−13<2，
解得：4≤m<7，
故选：A．
【分析】
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得AD=6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴BM=AM，
又∵AD≤AM+MD，
∴当A、M、D三点共线时，AM+MD取得最小值，即BM+MD取得最小值，为AD的长，
又∵BD的长为定值，
∴△BDM的周长最短=AD+12BC=6+12×4=6+2=8cm．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
不等式组中两不等式整理求出解集，根据不等式组无解，确定出a的范围即可．
【解答】
解：不等式组整理得：x≤−72x>5−a，
由不等式组无解，得到5−a≥−72，即10−2a≥−7，
解得：a≤172，
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，∠APF=90°−∠APE=∠BPE，
又AP=BP，∠FAP=∠EBP=45°，
∴△FAP≌△EBP(ASA)，
∴PE=PF，不能证明EF=AP，故②错误；
∴△EPF为等腰直角三角形，故③正确；
∵△FAP≌△EBP，
∴AF=BE，
∵AC=AB，
∴AE=CF，故①正确；
∵△FAP≌△EBP，
∴S四边形AEPF=S△FAP+S△APE=S△EBP+S△APE=S△APB=12S△ABC，故④正确；
故选：C．
根据等腰直角三角形的性质得到∠APC=∠EPF=90°，∠APF=90°−∠APE=∠BPE，根据全等三角形的性质得到PE=PF，不能证明EF=AP，故②错误；推出△EPF为等腰直角三角形，故③正确；根据线段的弧长得到AE=CF，故①正确；根据全等三角形的性质得到S四边形AEPF=S△FAP+S△APE=S△EBP+S△APE=S△APB=12S△ABC，故④正确．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11.【答案】4(m+3)(m−3)
【解析】解：原式=4(m2−9)=4(m+3)(m−3)，
故答案为：4(m+3)(m−3)
原式提取4，再利用平方差公式分解即可得到结果．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】2020
【解析】解：∵a2+a−1=0
∴a2+a=1
∴a3+a2=a
又∵a3+2a2+2019=a3+a2+a2+2019=a+a2+2019=1+2019=2020
∴a3+2a2+2019=2020
由a2+a−1=0可得：a2+a=1，等式两边同时乘以a可得：a3+a2=a，将这两个等式代入问题进行代换即可解决问题．
本题考查了因式分解的应用，利用等式的性质将条件进行变形再代换问题中的式子是解题的关键．
13.【答案】a>1
【解析】
【分析】
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
依据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：∵不等式(1−a)x>2可化为x<21−a，
∴1−a<0，
解得：a>1．
故答案为a>1．
14.【答案】50°或130°
【解析】解：当为锐角时，如图
∵∠ADE=40°，∠AED=90°，
∴∠A=50°，
当为钝角时，如图
∠ADE=40°，∠DAE=50°，
∴顶角∠BAC=180°−50°=130°．
故答案为：50°或130°．
由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
15.【答案】(0,−12)或(0,92)
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，在y轴取点P，连接PB，
∵AC//x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，OA=2，
∴DE=OA=2，
∵S△ACD=6，
∴12AC⋅DE=6，
∴AC=6，
∴点C(6,2)，
∵将线段AB进行适当的平移得到线段CD，OB=1，
∴CE=OB=1，
∴点D(5,4)，
∵△PAB的面积等于14△AOD的面积，
∴12AP×1=14×12×2×5，
∴AP=52，
∵点A(0,2)，
∴P(0,−12)或P(0,92).
故答案为：(0,−12)或(0,92).
根据三角形的面积求出AC=6，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了作图−平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)当x=43，y=−12时，9x2+12xy+4y2=(3x+2y)2=[3×43+2×(−12)]2=9；
(2)当a=−18，b=2时，
原式=(a+b2+a−b2)(a+b2−a−b2)
=ab
=−18×2
=−14．
【解析】(1)先根据完全平方公式分解因式，再代入求出即可；
(2)先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
本题考查了分解因式，能根据公式正确分解因式是解此题的关键．
17.【答案】解：2(x+1)>x①1−2x≥x+72②，
解①得：x>−2，
解②得：x≤−1，
故不等式组的解集为：−2
．
【解析】此题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键．分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
18.【答案】103
【解析】解：(1)如图所示，△CA1B1 即为所求作图形；
(2)如图所示，△AB2C2 即为所求作图形；
(3)由C(4,−1)和C2(−2,1)可得直线CC2的解析式为y=−13x+13，
令x=0，则y=13，即D(0,13)，
∴△B1DC的面积为(23+2)×42−12×23×3−12×1×2=103．
故答案为：103．
(1)依据△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，即可得到△CA1B1；
(2)依据中心对称的性质，即可作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；
(3)依据待定系数法即可得到直线CC2的解析式为y=−13x+13，进而得到点D的坐标，再根据割补法进行计算，即可得出△B1DC的面积．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19.【答案】解：(1)A=2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)
=2x+y(x−y)2⋅(x−y)
=2x+yx−y；
(2)∵x2−6xy+9y2=0，
∴(x−3y)2=0，
则x−3y=0，
故x=3y，
则A=2x+yx−y=6y+y3y−y=72．
【解析】(1)直接利用分式的基本性质化简得出答案；
(2)首先得出x，y之间的关系，进而代入求出答案．
此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD//BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)
∵E是CD的中点(已知)，
∴DE=EC(中点的定义)．
∵在△ADE与△FCE中，
∠ADC=∠ECFDE=EC∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD(全等三角形的性质)；
(2)解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的对应边相等)，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF(已证)，
∴AB=BC+AD(等量代换)
=5+2=7(cm)．
【解析】(1)根据AD//BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF=BC+CF=BC+AD，将已知代入即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
21.【答案】解：(1)设大货车、小货车各有x与y辆，
由题意可知：15x+10y=260x+y=20，
解得：x=12y=8，
答：大货车有12辆，小货车有8辆；
(2)设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有(10−x)辆，
到B地的大货车有(12−x)辆，
到B地的小货车有(x−2)辆，
∴y=900x+500(10−x)+1000(12−x)+700(x−2)
=100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数．
(3)运往A地的物资共有[15x+10(10−x)]吨，
15x+10(10−x)≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，x为整数，由y=100x+15600中100>0，y随x的增大而增大，
∴当x=8时，y有最小值，此时y=100×8+15600=16400元，
答：总运费最小值为16400元．
【解析】(1)设大货车、小货车各有x与y辆，根据题意列出方程组即可求出答案．
(2)根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．
(3)先求出x的范围，然后根据y与x的函数关系式即可求出y的最小值．
本题考查一次函数，解题的关键是正确求出大货车、小货车各有12与8辆，并正确列出y与x的函数关系式
22.【答案】解：(1)把P(1,2)代入y=x+n−2得：
1+n−2=2，
解得：n=3；
把P(1,2)代入y=mx+3得：
m+3=2，
解得m=−1；
(2)不等式mx+n>x+n−2的解集为：x<1；
(3)当y=0时，0=x+1，
故OA=1，
当y=0时，y=−x+3，
解得：x=3，
则OB=3，
∴直线l1、直线l2与x轴围成的三角形的面积为：12(1+3)×2=4．
【解析】(1)直接把已知点代入函数关系式进而得出m，n的值；
(2)直接利用函数图象得出不等式mx+n>x+n−2的解集；
(3)分别得出AO，BO的长，进而得出四边形PAOB的面积．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式以及四边形的面积，正确利用函数图象分析是解题关键．
23.【答案】(1)解：结论：EC=BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
AE=AB∠EAC=∠BAFAC=AF,
∴△EAC≌△BAF(SAS)，
∴EC=BF.∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM=90°，
∴∠EMB=90°，
∴EC⊥BF．
∴EC=BF，EC⊥BF．
(2)证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，连结AM，
∵△EAC≌△BAF，
∴AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等)．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定定理、垂直的判定的运用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)先由条件可以得出∠EAC=∠BAF，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论；
(2)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q.由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF．
24.【答案】3 3 1 大 −2
【解析】解：(1)∵x2−6x+12=(x−3)2+3，
∴当x=3时，有最小值3；
故答案为：3，3．
(2)∵y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2，
∴当x=1时有最大值−2；
故答案为：1，大，−2．
(3)∵−x2+3x+y+5=0，
∴x+y=x2−2x−5=(x−1)2−6，
∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)2−6≥−6，
∴当x=1时，y+x的最小值为−6．
(1)配方后即可确定最小值；
(2)将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最大值；
(3)首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可；
本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
25.【答案】解：(1)60；
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB∠ACP=∠BCQCP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)作CH⊥AD于H，如图3，
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH= 22AC= 22×4=2 2，
在Rt△PHC中，PH= 3CH=2 6，
∴PA=PH−AH=2 6−2 2，
∴BQ=2 6−2 2．
【解析】解：(1)∠QEP=60°；
证明：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵PC=CQ，且∠PCQ=60°，
∴∠ACB−∠BCP=∠PCQ−∠BCP，
∴∠ACP=∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
QC=PC∠BCQ=∠ACPBC=AC,
∴△CQB≌△CPA(SAS)，
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案为：60；
(2)见答案；
(3)见答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
2022-2023学年四川省达州中学联盟八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列各式：y−3y，5+xπ，m+nm−n，1a中，是分式的共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C为( )
A. 25° B. 35° C. 40° D. 50°
4. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4 B. x2−4=(x+2)(x−2)
C. x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x D. x2+4x−2=x(x+4)−2
5. 如图，在锐角三角形ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是( )
A. 100
B. 120
C. 130
D. 150
6. 在平面直角坐标系中，线段AB是由线段CD平移得到的，点C(−1,4)的对应点为A(4,7)，点B(2,4)，则点D坐标为( )
A. (5,7) B. (−1,1) C. (−3,1) D. (7,7)
7. 已知关于x的不等式3x−m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( )
A. 4≤m<7 B. 4
A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
9. 若不等式组5x+2≤3x−5−x+5
10. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连结AP，EF.有下列结论：
①AE=CF；
②EF=AP；
③△EPF是等腰直角三角形；
④S四边形AEPF=12S△ABC，
其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 因式分解：4m2−36= ．
12. 已知a2+a−1=0，则a3+2a2+2019=______．
13. 若关于x的不等式(1−a)x>2可化为x<21−a，则a的取值范围是______．
14. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC//x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD=6，点P为y轴上一动点，当S△PAB=14S△AOD时，点P的坐标为______ .(注：S△ADD表示△ACD的面积)
三、解答题（本大题共10小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
先因式分解，然后计算求值：
(1)9x2+12xy+4y2，其中x=43，y=−12；
(2)(a+b2)2−(a−b2)2，其中a=−18，b=2．
17. (本小题8.0分)
解不等式组：2(x+1)>x1−2x≥x+72并在数轴上表示它的解集．
18. (本小题10.0分)
如图所示的正方形网格中(每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点)，△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)以点C为旋转中心，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，画出△CA1B1；
(2)作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；
(3)设AC2与y轴交于点D，则△B1DC的面积为______ ．
19. (本小题6.0分)
已知A=2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)．
(1)化简A；
(2)若x2−6xy+9y2=0，求A的值．
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.已知AD=2cm，BC=5cm．
(1)求证：FC=AD；
(2)求AB的长．
21. (本小题10.0分)
众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：
目的地
车型
A地(元/辆)
B地(元/辆)
大货车
900
1000
小货车
500
700
现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．
(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．
22. (本小题8.0分)
已知直线l1：y=x+n−2与直线l2：y=mx+n相交于点P(1,2)．
(1)求m，n的值；
(2)请结合图象直接写出不等式mx+n>x+n−2的解集；
(3)求直线l1、直线l2与x轴围成的三角形的面积．
23. (本小题8.0分)
如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，
(1)图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．
(2)连接AM，求证：MA平分∠EMF．
24. (本小题12.0分)
上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知
识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1
∵(x+2)2≥0，
∴当x=−2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，
∴(x+2)2+1≥1
∴当(x+2)2=0时，(x+2)2的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x= ______ 时，代数式x2−6x+12的最小值是______ ；
(2)知识运用：若y=−x2+2x−3，当x= ______ 时，y有最______ 值(填“大”或“小”)，这个值是______ ；
(3)知识拓展：若−x2+3x+y+5=0，求y+x的最小值．
25. (本小题12.0分)
如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
(1)如图1，猜想∠QEP=______°；
(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
【解答】
解：y−3y，m+nm−n，1a的分母中含有字母，因此是分式；
5+xπ的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
故分式有3个．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
由∠BAD=40°得∠B=180°−40°2=70°=∠ADB，
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC，
∴∠C=12∠ADB=35°．
故选：B．
先根据AB=AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
4.【答案】B
【解析】解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：B．
根据因式分解的定义，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠A=50°，CD⊥AB，
∴∠ACD=40°，
∵BE⊥AC，
∴∠CEP=90°，
∵∠BPC为△CPE的外角，
∴∠BPC=130°．
故选：C．
由∠A=50°，高线CD，即可推出∠ACD=40°，然后由∠BPC为△CPE的外角，根据外角的性质即可推出结果．
本题主要考查垂线的性质，余角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出∠ACD和∠CEP的度数．
6.【答案】C
【解析】解：∵线段AB是由线段CD平移得到的，点C(−1,4)的对应点为A(4,7)，
∴线段AB是把线段CD向右平移了4−(−1)=4+1=5个单位长度，再向上平移了7−4=3个单位长度得到的，
∴点B(2,4)的对应点D的坐标为(2−5,4−3)，即(−3,1)．
故选：C．
根据线段AB是由线段CD平移得到的，点C(−1,4)的对应点为A(4,7)，可知平移的方向和距离，再根据点B(2,4)，即可求得点B的对应点D的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−平移，得到平移的方向和距离是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】
【解答】
解：解不等式3x−m+1>0，得：x>m−13，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤m−13<2，
解得：4≤m<7，
故选：A．
【分析】
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，
解得AD=6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴BM=AM，
又∵AD≤AM+MD，
∴当A、M、D三点共线时，AM+MD取得最小值，即BM+MD取得最小值，为AD的长，
又∵BD的长为定值，
∴△BDM的周长最短=AD+12BC=6+12×4=6+2=8cm．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
不等式组中两不等式整理求出解集，根据不等式组无解，确定出a的范围即可．
【解答】
解：不等式组整理得：x≤−72x>5−a，
由不等式组无解，得到5−a≥−72，即10−2a≥−7，
解得：a≤172，
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，∠APF=90°−∠APE=∠BPE，
又AP=BP，∠FAP=∠EBP=45°，
∴△FAP≌△EBP(ASA)，
∴PE=PF，不能证明EF=AP，故②错误；
∴△EPF为等腰直角三角形，故③正确；
∵△FAP≌△EBP，
∴AF=BE，
∵AC=AB，
∴AE=CF，故①正确；
∵△FAP≌△EBP，
∴S四边形AEPF=S△FAP+S△APE=S△EBP+S△APE=S△APB=12S△ABC，故④正确；
故选：C．
根据等腰直角三角形的性质得到∠APC=∠EPF=90°，∠APF=90°−∠APE=∠BPE，根据全等三角形的性质得到PE=PF，不能证明EF=AP，故②错误；推出△EPF为等腰直角三角形，故③正确；根据线段的弧长得到AE=CF，故①正确；根据全等三角形的性质得到S四边形AEPF=S△FAP+S△APE=S△EBP+S△APE=S△APB=12S△ABC，故④正确．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
11.【答案】4(m+3)(m−3)
【解析】解：原式=4(m2−9)=4(m+3)(m−3)，
故答案为：4(m+3)(m−3)
原式提取4，再利用平方差公式分解即可得到结果．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.【答案】2020
【解析】解：∵a2+a−1=0
∴a2+a=1
∴a3+a2=a
又∵a3+2a2+2019=a3+a2+a2+2019=a+a2+2019=1+2019=2020
∴a3+2a2+2019=2020
由a2+a−1=0可得：a2+a=1，等式两边同时乘以a可得：a3+a2=a，将这两个等式代入问题进行代换即可解决问题．
本题考查了因式分解的应用，利用等式的性质将条件进行变形再代换问题中的式子是解题的关键．
13.【答案】a>1
【解析】
【分析】
本题主要考查的是不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
依据不等式的性质解答即可．
【解答】
解：∵不等式(1−a)x>2可化为x<21−a，
∴1−a<0，
解得：a>1．
故答案为a>1．
14.【答案】50°或130°
【解析】解：当为锐角时，如图
∵∠ADE=40°，∠AED=90°，
∴∠A=50°，
当为钝角时，如图
∠ADE=40°，∠DAE=50°，
∴顶角∠BAC=180°−50°=130°．
故答案为：50°或130°．
由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
15.【答案】(0,−12)或(0,92)
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，在y轴取点P，连接PB，
∵AC//x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，OA=2，
∴DE=OA=2，
∵S△ACD=6，
∴12AC⋅DE=6，
∴AC=6，
∴点C(6,2)，
∵将线段AB进行适当的平移得到线段CD，OB=1，
∴CE=OB=1，
∴点D(5,4)，
∵△PAB的面积等于14△AOD的面积，
∴12AP×1=14×12×2×5，
∴AP=52，
∵点A(0,2)，
∴P(0,−12)或P(0,92).
故答案为：(0,−12)或(0,92).
根据三角形的面积求出AC=6，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了作图−平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)当x=43，y=−12时，9x2+12xy+4y2=(3x+2y)2=[3×43+2×(−12)]2=9；
(2)当a=−18，b=2时，
原式=(a+b2+a−b2)(a+b2−a−b2)
=ab
=−18×2
=−14．
【解析】(1)先根据完全平方公式分解因式，再代入求出即可；
(2)先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
本题考查了分解因式，能根据公式正确分解因式是解此题的关键．
17.【答案】解：2(x+1)>x①1−2x≥x+72②，
解①得：x>−2，
解②得：x≤−1，
故不等式组的解集为：−2
．
【解析】此题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键．分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
18.【答案】103
【解析】解：(1)如图所示，△CA1B1 即为所求作图形；
(2)如图所示，△AB2C2 即为所求作图形；
(3)由C(4,−1)和C2(−2,1)可得直线CC2的解析式为y=−13x+13，
令x=0，则y=13，即D(0,13)，
∴△B1DC的面积为(23+2)×42−12×23×3−12×1×2=103．
故答案为：103．
(1)依据△ABC绕点C顺时针旋转90°得△CA1B1，即可得到△CA1B1；
(2)依据中心对称的性质，即可作出△ABC关于点A成中心对称的△AB2C2；
(3)依据待定系数法即可得到直线CC2的解析式为y=−13x+13，进而得到点D的坐标，再根据割补法进行计算，即可得出△B1DC的面积．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19.【答案】解：(1)A=2x+yx2−2xy+y2⋅(x−y)
=2x+y(x−y)2⋅(x−y)
=2x+yx−y；
(2)∵x2−6xy+9y2=0，
∴(x−3y)2=0，
则x−3y=0，
故x=3y，
则A=2x+yx−y=6y+y3y−y=72．
【解析】(1)直接利用分式的基本性质化简得出答案；
(2)首先得出x，y之间的关系，进而代入求出答案．
此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．
20.【答案】(1)证明：∵AD//BC(已知)，
∴∠ADC=∠ECF(两直线平行，内错角相等)
∵E是CD的中点(已知)，
∴DE=EC(中点的定义)．
∵在△ADE与△FCE中，
∠ADC=∠ECFDE=EC∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD(全等三角形的性质)；
(2)解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF(全等三角形的对应边相等)，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF(已证)，
∴AB=BC+AD(等量代换)
=5+2=7(cm)．
【解析】(1)根据AD//BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF=BC+CF=BC+AD，将已知代入即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
21.【答案】解：(1)设大货车、小货车各有x与y辆，
由题意可知：15x+10y=260x+y=20，
解得：x=12y=8，
答：大货车有12辆，小货车有8辆；
(2)设到A地的大货车有x辆，
则到A地的小货车有(10−x)辆，
到B地的大货车有(12−x)辆，
到B地的小货车有(x−2)辆，
∴y=900x+500(10−x)+1000(12−x)+700(x−2)
=100x+15600，
其中2≤x≤10，x为整数．
(3)运往A地的物资共有[15x+10(10−x)]吨，
15x+10(10−x)≥140，
解得：x≥8，
∴8≤x≤10，x为整数，由y=100x+15600中100>0，y随x的增大而增大，
∴当x=8时，y有最小值，此时y=100×8+15600=16400元，
答：总运费最小值为16400元．
【解析】(1)设大货车、小货车各有x与y辆，根据题意列出方程组即可求出答案．
(2)根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．
(3)先求出x的范围，然后根据y与x的函数关系式即可求出y的最小值．
本题考查一次函数，解题的关键是正确求出大货车、小货车各有12与8辆，并正确列出y与x的函数关系式
22.【答案】解：(1)把P(1,2)代入y=x+n−2得：
1+n−2=2，
解得：n=3；
把P(1,2)代入y=mx+3得：
m+3=2，
解得m=−1；
(2)不等式mx+n>x+n−2的解集为：x<1；
(3)当y=0时，0=x+1，
故OA=1，
当y=0时，y=−x+3，
解得：x=3，
则OB=3，
∴直线l1、直线l2与x轴围成的三角形的面积为：12(1+3)×2=4．
【解析】(1)直接把已知点代入函数关系式进而得出m，n的值；
(2)直接利用函数图象得出不等式mx+n>x+n−2的解集；
(3)分别得出AO，BO的长，进而得出四边形PAOB的面积．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式以及四边形的面积，正确利用函数图象分析是解题关键．
23.【答案】(1)解：结论：EC=BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
AE=AB∠EAC=∠BAFAC=AF,
∴△EAC≌△BAF(SAS)，
∴EC=BF.∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM=90°，
∴∠EMB=90°，
∴EC⊥BF．
∴EC=BF，EC⊥BF．
(2)证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，连结AM，
∵△EAC≌△BAF，
∴AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等)．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质的运用，角平分线的判定定理、垂直的判定的运用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)先由条件可以得出∠EAC=∠BAF，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论；
(2)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q.由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF．
24.【答案】3 3 1 大 −2
【解析】解：(1)∵x2−6x+12=(x−3)2+3，
∴当x=3时，有最小值3；
故答案为：3，3．
(2)∵y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2，
∴当x=1时有最大值−2；
故答案为：1，大，−2．
(3)∵−x2+3x+y+5=0，
∴x+y=x2−2x−5=(x−1)2−6，
∵(x−1)2≥0，
∴(x−1)2−6≥−6，
∴当x=1时，y+x的最小值为−6．
(1)配方后即可确定最小值；
(2)将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最大值；
(3)首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可；
本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
25.【答案】解：(1)60；
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=60°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
CA=CB∠ACP=∠BCQCP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ(SAS)，
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；
(3)作CH⊥AD于H，如图3，
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH= 22AC= 22×4=2 2，
在Rt△PHC中，PH= 3CH=2 6，
∴PA=PH−AH=2 6−2 2，
∴BQ=2 6−2 2．
【解析】解：(1)∠QEP=60°；
证明：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵PC=CQ，且∠PCQ=60°，
∴∠ACB−∠BCP=∠PCQ−∠BCP，
∴∠ACP=∠BCQ，
在△CQB和△CPA中，
QC=PC∠BCQ=∠ACPBC=AC,
∴△CQB≌△CPA(SAS)，
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案为：60；
(2)见答案；
(3)见答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
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