高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词随堂练习题

第一章1.5　全称量词与存在量词

A级 必备知识基础练

1.[2023浙江温州苍南高一月考改编]下列命题中:

(1)有些自然数是偶数;

(2)正方形是菱形;

(3)能被6整除的数也能被3整除;

(4)对于任意x∈R,总有≤1.

存在量词命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

2.(多选题)下列命题为全称量词命题的有(　　)

A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P

B.有的有理数能写成分数形式

C.线段的长度都能用正有理数表示

D.存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立

3.下列命题中是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈R,x2+2x>0

C.∃x∈R,<0 D.∃x∈R,x(x-1)=6

4.(多选题)下列命题中是真命题的是(　　)

A.∀x∈R,2x2-3x+4>0

B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0

C.∃x∈N,使≤x

D.∃x∈N*,使x为15的约数

5.命题“∃x<1,x2+2 021x+2 022<0”的否定为(　　)

A.∀x<1,x2+2 021x+2 022<0

B.∀x≥1,x2+2 021x+2 022≥0

C.∀x<1,x2+2 021x+2 022≥0

D.∃x<1,x2+2 021x+2 022≥0

6.若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,求实数a的取值范围.

7.判断下列命题的真假.

(1)有一些三角形的两个内角相等;

(2)存在实数x,使得x2+2x+4<0;

(3)∀x∈Z,2x-1是奇数.

8.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,请写出它们的否定,并判断其真假:

(1)p:对任意的x∈R,x2+x+1≠0都成立;

(2)q:存在一个x∈R,使x2+3x+5≤0.

B级 关键能力提升练

9.(多选题)下列四个命题的否定为真命题的是(　　)

A.p:所有四边形的内角和都是360°

B.q:∃x∈R,x2+2x+2≤0

C.r:∃x∈{x|x是无理数},x2是无理数

D.s:对所有实数a,都有|a|>0

10.某校开展小组合作学习模式,高一某班某组王某明同学给组内王某亮同学出题如下:若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求m的范围.王某亮略加思索,反手给了王某明一道题:若命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,求m的范围.判断两位同学出的题中m的范围是否一致.

参考答案

1.5　全称量词与存在量词

1.B　有些自然数是偶数,含有存在量词“有些”,是存在量词命题;正方形是菱形,可以写成“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;能被6整除的数也能被3整除,可以写成“所有能被6整除的数也能被3整除”,是全称量词命题;对于任意x∈R,总有≤1,含有全称量词“任意的”,是全称量词命题.所以存在量词命题有1个.故选B.

2.AC　“在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P”是全称量词命题,所以选项A符合;“有的有理数能写成分数形式”中“有的”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项B不符合;“线段的长度都能用正有理数表示”是全称量词命题,所以选项C符合;“存在一个实数x,使等式x2-3x+2=0成立”中的“存在”为存在量词,所以是存在量词命题,所以选项D不符合.故选AC.

3.D　∀x∈R,x2≥0,A假;取x=0,则x2+2x=0,B假;因为≥0,故C假;取x=-2,则x(x-1)=6,故D真.

4.ACD　对于A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有≤x成立,故C为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x为15的约数成立,所以D为真命题.

5.C　命题的否定为“∀x<1,x2+2 021x+2 022≥0”.

6.解“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.

故实数a的取值范围为{a|a>-1}.

7.解(1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题.

(2)该命题是存在量词命题.因为x2+2x+4=(x+1)2+3>0,所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0.故该命题是假命题.

(3)该命题是全称量词命题.∀x∈Z,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题.

8.解(1)由于命题中含有全称量词“任意的”,该命题是全称量词命题,所以其否定为“∃x∈R,使x2+x+1=0”.

因为Δ=-3<0,所以方程x2+x+1=0无实数解,此命题为假命题.

(2)由于命题中含有存在量词“存在一个”,该命题是存在量词命题,所以其否定为“∀x∈R,有x2+3x+5>0”.

因为Δ=-11<0,所以∀x∈R,x2+3x+5>0成立,此命题是真命题.

9.BD　A.¬p:有的四边形的内角和不是360°,是假命题.

B.¬q:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.

C.¬r:∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题.

D.¬s:存在实数a,使|a|≤0,真命题.

10.解若命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,所以该命题的否定是真命题,即命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,所以两位同学题中m的范围是一致的.