高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 7.1.1 条件概率（含解析）

这是一份高中数学新教材同步课时精品讲练选择性必修第三册 第7章 7.1.1 条件概率（含解析），共11页。
§7.1　条件概率与全概率公式7.1.1　条件概率学习目标　1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一　条件概率的概念一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．思考　P(A|B)，P(B)，P(AB)间存在怎样的等量关系？答案　P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，其中P(B)>0.知识点二　概率乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．知识点三　条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1.(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．(3)设eq \x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．1．在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(A|B)．(　×　)2．对事件A，B，有P(B|A)＝P(A|B)．(　×　)3．若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立．(　√　)4．P(B|A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率．(　√　)一、条件概率的定义及计算命题角度1　利用定义求条件概率例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝Aeq \o\al(2,6)＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,5)＝20，所以P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3).(2)因为n(AB)＝Aeq \o\al(2,4)＝12，所以P(AB)＝eq \f(nAB,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5).(3)方法一　由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5).方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5).反思感悟　利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)．(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．跟踪训练1　从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．解　设A＝“抽到的两张都是假钞”，B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)．∵P(AB)＝P(A)＝eq \f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,20))，P(B)＝eq \f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15),C\o\al(2,20))，∴P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,5)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,15))＝eq \f(10,85)＝eq \f(2,17).命题角度2　缩小样本空间求条件概率例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).延伸探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解　在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).反思感悟　利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB.(2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件．(3)算：利用P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)求得结果．跟踪训练2　抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．解　n(A)＝6×2＝12.由3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8知n(B)＝10，其中n(AB)＝6.所以(1)P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2).(2)P(A|B)＝eq \f(nAB,nB)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).二、概率的乘法公式例3　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次．求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解　设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”，则eq \x\to(A)＝“第一次取得黑球”，由题意得：(1)P(A)＝eq \f(6,10)＝0.6.(2)P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(6,10)×eq \f(5,9)＝eq \f(1,3).(3)P(eq \x\to(A)B)＝P(eq \x\to(A))P(B|eq \x\to(A))＝eq \f(4,10)×eq \f(6,9)＝eq \f(4,15).反思感悟　概率的乘法公式(1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想．(2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.跟踪训练3　已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．解　设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.三、条件概率的性质及应用例4　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解　记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20))＋eq \f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20))＋eq \f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,10),C\o\al(6,20))＝eq \f(12 180,C\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝eq \f(PA,PD)＋eq \f(PB,PD)＝eq \f(\f(C\o\al(6,10),C\o\al(6,20)),\f(12 180,C\o\al(6,20)))＋eq \f(\f(C\o\al(5,10)C\o\al(1,10),C\o\al(6,20)),\f(12 180,C\o\al(6,20)))＝eq \f(13,58).故获得优秀成绩的概率为eq \f(13,58).反思感悟　条件概率的性质及应用(1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．(2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．跟踪训练4　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．答案　eq \f(6,7)解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥．又P(A)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(7,10)，P(AB)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),C\o\al(2,5))＝eq \f(1,5)，P(AC)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq \f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(PAB,PA)＋eq \f(PAC,PA)＝eq \f(6,7).1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,3)，则P(B|A)等于(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,9) C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9)答案　A解析　P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq \f(1,2).2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)A．0.665 B．0.564 C．0.245 D．0.285答案　A解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45答案　A解析　根据条件概率公式P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)，得所求概率为eq \f(0.6,0.75)＝0.8.4．投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于6的概率为________．答案　eq \f(2,5)解析　设A＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，B＝“两颗骰子点数之和小于等于6”，则P(A)＝eq \f(30,36)＝eq \f(5,6)，P(AB)＝eq \f(1,3)，∴P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(2,5).5．某气象台统计，该地区下雨的概率为eq \f(4,15)，既刮四级以上的风又下雨的概率为eq \f(1,10).设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝________.答案　eq \f(3,8)解析　由题意知P(A)＝eq \f(4,15)，P(AB)＝eq \f(1,10)，故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq \f(3,8).1．知识清单：(1)条件概率：P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(nAB,nA).(2)概率乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)·P(A|B)．(3)条件概率的性质．2．方法归纳：转化化归、对立统一．3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”．1．已知P(B|A)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,5)，则P(AB)等于(　　)A.eq \f(5,6) B.eq \f(9,10) C.eq \f(2,15) D.eq \f(1,15)答案　C解析　P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(2,15)，故选C.2．(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝eq \f(1,2)，P(A)＝eq \f(1,3)，则(　　)A．P(AB)＝eq \f(1,6) B．P(AB)＝eq \f(5,6)C．P(B)＝eq \f(1,3) D．P(B)＝eq \f(1,12)答案　AC解析　P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，由P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，得P(B)＝eq \f(PAB,PA|B)＝eq \f(1,6)×2＝eq \f(1,3).3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　)A.eq \f(1,10) B.eq \f(2,10) C.eq \f(8,10) D.eq \f(9,10)答案　A解析　记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝eq \f(9,10)，P(B|A)＝eq \f(1,9)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝eq \f(1,10).4．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6答案　A解析　记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.03,0.15)＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.5．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝“两个点数互不相同”，B＝“出现一个5点”，则P(B|A)等于(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(5,18) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,4)答案　A解析　出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝eq \f(10,30)＝eq \f(1,3).6．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________，两次都取到白球的概率是________．答案　eq \f(1,2)　eq \f(3,10)解析　第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，故第二次取到白球的概率P＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，两次都取到白球的概率P＝eq \f(3×2,5×4)＝eq \f(3,10).7．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率 0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．答案　0.5解析　设该动物活到20岁为事件A，活到25岁为事件B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，又P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(PB,PA)＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5.8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．答案　0.72解析　“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.9．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解　设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，得P(A)＝eq \f(10,40)＝eq \f(1,4).(2)方法一　要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝eq \f(4,15).方法二　P(B)＝eq \f(15,40)＝eq \f(3,8)，P(AB)＝eq \f(4,40)＝eq \f(1,10)，∴P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(4,15).10．设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数．(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率．解　(1)方程有实根，Δ＝b2－4c≥0，∴b2≥4c，又b，c∈{1,2,3,4,5,6}，∴当b＝2时，c＝1，当b＝3时，c＝1,2，当b＝4时，c＝1,2,3,4，当b＝5时，c＝1,2,3,4,5,6，当b＝6时，c＝1,2,3,4,5,6，共19种情况．故所求的概率为eq \f(19,6×6)＝eq \f(19,36).(2)把“出现5点”记为事件A，“方程有实根”记为事件B，满足b2≥4c的有序数对记为(b，c)，则事件A包含的事件有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，事件AB包含的有(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种，故所求的概率为eq \f(7,11).11．7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是(　　)A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,5) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,7)答案　C解析　记“甲站在中间”为事件A，“乙站在最右端”为事件B，则n(A)＝Aeq \o\al(6,6)，n(AB)＝Aeq \o\al(5,5)，所以P(B|A)＝eq \f(A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq \f(1,6).12．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为(　　)A．75% B．96% C．72% D．78.125%答案　C解析　记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P(eq \x\to(A))＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B，由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%，故P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96%×75%＝72%.13．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为(　　)A.eq \f(2,3) B.eq \f(5,12) C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)答案　C解析　记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)．由题意可知，要求的概率为P(A2|A1)．因为P(A1)＝eq \f(3,5)，P(A1A2)＝eq \f(6×5,10×9)＝eq \f(1,3)，所以P(A2|A1)＝eq \f(PA1A2,PA1)＝eq \f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq \f(5,9).14．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________．答案　0.4解析　记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.15．从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．答案　eq \f(33,50)解析　设事件C为“取出的数不大于50”，事件A为“取出的数是2的倍数”，事件B是“取出的数是3的倍数”，则P(C)＝eq \f(1,2)，且所求概率为P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)－P(AB|C)＝eq \f(PAC,PC)＋eq \f(PBC,PC)－eq \f(PABC,PC)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,100)＋\f(16,100)－\f(8,100)))＝eq \f(33,50).16．如图，三行三列的方阵有9个数aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取三个数，已知取到a22的条件下，求至少有两个数位于同行或同列的概率．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11　a12　a13,a21　a22　a23,a31　a32　a33))解　设事件A＝“任取的三个数中有a22”，事件B＝“三个数至少有两个数位于同行或同列”，则eq \x\to(B)＝“三个数互不同行且不同列”，依题意得n(A)＝Ceq \o\al(2,8)＝28，n(Aeq \x\to(B))＝2，故P(eq \x\to(B)|A)＝eq \f(nA\x\to(B),nA)＝eq \f(2,28)＝eq \f(1,14)，则P(B|A)＝1－P(eq \x\to(B)|A)＝1－eq \f(1,14)＝eq \f(13,14).即已知取到a22的条件下，至少有两个数位于同行或同列的概率为eq \f(13,14).