2022-2023学年湖南省衡阳市衡山县福田二中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省衡阳市衡山县福田二中七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中：；；；；；；；属于二元一次方程的个数有(    )

A. 一个 B. 二个 C. 三个 D. 四个

2.  通过移项，将下列方程变形，错误的是(    )

A. 由，得
B. ，得一
C. ，得
D. 由，得

3.  在数轴上与原点的距离小于的点对应的满足(    )

A.  B. 或 C.  D.

4.  解方程组下列四种方法中，最简便的是(    )

A. 代入消元法 B. ，先消去
C. ，先消去 D. ，两方程相加

5.  某种商品的进价为元，出售时标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最低可打(    )

A. 折 B. 折 C. 折 D. 折

6.  下列说法中，错误的是(    )

A. 不等式的整数解有无数多个 B. 不等式的负整数解集有限个
C. 不等式的解集是 D. 是不等式的一个解

7.  某工厂有技术工人，平均每天每人可加工甲种零件个或乙种零件个，个甲种零件和个乙种零件可以配成一套，设安排个技术工生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则下面列出方程中正确的有个．(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  下列说法中，正确的个数是(    )
三角形的中线、角平分线、高都是线段；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；直角三角形只有一条高；三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．

A.  B.  C.  D.

9.  如图于点，那么图中以为高的三角形有个(    )

A.  B.  C.  D.

10.  能够铺满地面的正多边形组合是(    )

A. 正六边形和正方形 B. 正五边形和正八边形
C. 正方形和正八边形 D. 正三角形和正十边形

11.  具备下列条件的三角形中，不为直角三角形的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  若边为、、，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  对于方程，用含的代数式表示，则可以表示为______ ．

14.  已知与互为相反数，则 ______ ．

15.  等腰三角形中有两条边长分别是和，则这个三角形的周长是______ 。

16.  任何一个多边形的内角中，最多可以有______ 个是锐角．

17.  如图，已知，，，则的度数是______ ．

18.  若过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，边形有条对角线，正边形的内角和与外角和相等，则代数式 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解方程组
；
．

20.  本小题分
解不等式组
；
．

21.  本小题分
在中，已知，试判断的形状．

22.  本小题分
关于的不等式的正整数解为、、，则的取值范围是多少？

23.  本小题分
某商店购买件商品和件商品共用了元，购买件商品和件商品共用了元．
、两种商品的单价分别是多少元？
已知该商店购买商品的件数比购买商品的件数的倍少件，如果需要购买、两种商品的总件数不少于件，且该商店购买的、两种商品的总费用不超过元，那么该商店有哪几种购买方案？

24.  本小题分
如图，中，与的平分线交于点，根据下列条件，求的度数．
若，，则 ______ ；
若，则 ______ ；
若，则 ______ ；
若则 ______ ；
从上述计算中，我们能发现已知，求的公式是： ______ ；
如图，若，分别是与的外角平分线，交于点，若已知，则求的公式是： ______ ．

 

25.  本小题分
以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法：
试根据所给的方法，将图中的七边形分割成______ 个三角形；
按这种方法，凸边形可以分割成______ 个三角形；
请根据上述方法，以三角形的内角和定理为依据，推导凸边形的内角和公式：凸边形的内角和；
利用中的公式解答下面的问题：
凸边形的内角和再加上某个外角等于，求这个多边形的边数以及这个外角的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，是二元一次方程；  ，是二元二次方程； ，是二元一次方程； ，是二元二次方程；是代数式，不是方程；  ，是分式方程；  ，是三元一次方程； ，是二元一次方程．
故选：．
根据二元一次方程满足的条件：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程进行判断即可．
本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有个未知数，未知数的项的次数是的整式方程．
 

2.【答案】 

【解析】解：、由，得，错误；
B、由，得，正确；
C、由，得，正确；
D、由，得，正确，
故选：．
各项方程移项合并得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为，求出解．
 

3.【答案】 

【解析】解：依题意得：

故选：．
根据到原点的距离小于，即绝对值小于显然是介于和之间．
本题考查的是数轴的对称性，在数轴上以原点为中心，两边关于原点对称．
 

4.【答案】 

【解析】解：解方程组，
最简便的是，两方程相加得：，
整理得：，即，
把代入得：，即，
解得：，
把代入得：，
则方程组的解为．
故选：．
方程组两方程相加求出的值，用表示出，代入第一个方程求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

5.【答案】 

【解析】解：设打了折，
由题意得，
解得：．
答：最低可打折．
故选：．
设打了折，用售价折扣进价得出利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于，列不等式求解．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
解答此题的关键是要会解不等式，明白不等式解集的意义．注意解不等式时，不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变．
正确解出不等式的解集，就可以进行判断．
【解答】
解：、正确；
B、不等式的负整数解集有，，，．
C、不等式的解集是
D、不等式的解集是包括，故正确；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设安排个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件，根据个甲种零件和个乙种零件可以配成一套，即可得出关于的一元一次方程，变形后即可得出结论．
【解答】
解：设安排个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件，
依题意，得：，
所以通过变形可以得到：，．
所以方程正确．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断即可．
【解答】
解：三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；

钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有个．
故选A．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
由于于，图中共有个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数．
【解答】
解：于，
而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有个，
以为高的三角形有个．  

10.【答案】 

【解析】解：、正六边形的每个内角是，正方形的每个内角是，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满；
B、正五边形每个内角是，正八边形每个内角为度，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满；
C、正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，两个正八边形和一个正方形刚好能铺满地面；
D、正三角形每个内角为度，正十边形每个内角为度，，显然取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满．
故选C．
能够铺满地面的图形，即是能够凑成的图形组合．
掌握好平铺的条件，算出每个图形内角和即可．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据三角形内角和定理，．
A、成立，则；
B、，则；
C、，即所以；
D、，那么，一定不是直角三角形．
故选：．
根据三角形内角和为，直接进行解答．
本题考查三角形内角和定理以及直角的判定条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：、、是的三边，
，，


，
故选：．
根据三角形的三边关系得到，，根据绝对值的性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的三边关系、绝对值的性质，熟记三角形的两边之和大于第三边是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：方程，
解得：．
故答案为：．
把看做已知数，用表示出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

14.【答案】 

【解析】解：与互为相反数，
，
，
得：，
则原式．
故答案为：．
利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到的值，代入原式计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论。分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可。
【解答】
解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
此时不能组成三角形；
是底边长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
所以，周长，
综上所述，这个等腰三角形的周长是。
故答案为：。  

16.【答案】 

【解析】解：一个多边形的外角和度，
外角最多可以有个钝角，
又多边形的内角与外角互为邻补角，
一个多边形中，它的内角最多可以有个锐角．
故答案为：．
一个多边形的外角和度，多边形的内角与外角互为邻补角，在这些外角中如果钝角的个数超过三个，外角和就超过度，但如果有个钝角，再有一个或几个锐角，外角和可以是度．因而一个多边形中，它的外角最多可以有个钝角．即可求得内角最多有几个．
考查了多边形内角与外角，考虑多边形的内角的问题，由于内角和不确定，而外角和是一个定值，因而转化为考虑外角和的问题比较简单．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长，
则，
，
所以，．
故答案为：．
连接并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：边形从一个顶点发出的对角线有条，
，，，；
则．
若过边形的一个顶点有条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而代入解析式就可以求出代数式的值．
边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
 

19.【答案】解：，
由得：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
故原方程组的解为；

，
得：，
得：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
将，代入得：，
解得：，
故原方程组的解为． 

【解析】根据解二元一次方程组的步骤解方程即可；
根据解三元一次方程组的步骤解方程即可．
本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

20.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得；
，
解式得：，
解式得：，
． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解集；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，
设，则，，
，
，解得，
，
是直角三角形． 

【解析】设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可判断出的形状．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
 

22.【答案】解：解不等式，得：，
不等式的正整数解为，，，
，
解得：，
故的取值范围是． 

【解析】将看作已知数求出不等式的解集，根据不等式的正整数解为，，，确定出的取值即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 

23.【答案】解：设种商品的单价为元、种商品的单价为元，
由题意得：，
解得．
答：种商品的单价为元、种商品的单价为元．
设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，
由题意得：，
解得：，
是整数，
或，
故有如下两种方案：
方案：，，即购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件；
方案：，，即购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件． 

【解析】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．
设种商品的单价为元、种商品的单价为元，根据等量关系：购买件商品的钱数件商品的钱数元，购买件商品的钱数件商品的钱数元分别列出方程，联立求解即可．
设购买商品的件数为件，则购买商品的件数为件，根据不等关系：购买、两种商品的总件数不少于件，购买的、两种商品的总费用不超过元可分别列出不等式，联立求解可得出的取值范围，进而讨论各方案即可．
 

24.【答案】           

【解析】解：是的平分线，

是的平分线，

在中

；

是的平分线，是的平分线
，

在中

；

在中
，

是的平分线，是的平分线
，

在中

；

在中
，

是的平分线，是的平分线
，

在中

；

在中


是的平分线，是的平分线
，

在中

；

，是的外角
，

，分别是与的外角平分线
，

在中

．
根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求解即可．
考查三角形的内角和定理，角平分线与外角性质等知识．
 

25.【答案】   

【解析】解：图是四边形，分割成个三角形；
图是五边形，分割成个三角形；
图是六边形，分割成个三角形；
图是七边形，分割成个三角形；

以此类推，凸边形可以分割成个三角形．
故答案为：．
由可得：凸边形可以分割成个三角形．
故答案为：．
由得：凸边形可以分割成个三角形．
个三角形的内角的和为．
凸边形的内角和为．
设加上的某个外角的度数为．
由题意得：．
．
，
．
．
．
这个多边形的边数为，这个外角的度数为．
根据图进行推导．
根据特殊到一般的数学思想解决本题．
由个三角形的内角的和为，得凸边形的内角和为．
设加上的某个外角的度数为，由题意得，从而解决此题．
本题主要考查多边形的内角和、三角形内角和定理、多边形的对角线，熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键．