八年级上学期期中数学试卷

这是一份八年级上学期期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．﹣7 B． C．﹣5π D．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．a12÷a3＝a4
C．（a5）2＝a10 D．（﹣2a）2＝﹣4a2
4．（4分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．全等三角形对应边上的中线相等
5．（4分）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣9＝（a﹣3）（a+3）
B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x
D．x2+3x+1＝x（x+3+）
6．（4分）如图，直线EF经过AC中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列哪个条件不能使△AOE≌△COF（　　）

A．∠A＝∠C B．AB∥CD C．AE＝CF D．OE＝OF
7．（4分）估计+1的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
8．（4分）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是（　　）

A．28° B．38° C．45° D．48°
10．（4分）下列说法：①9的平方根是±3；②整式乘法与因式分解过程互逆；③2是的算术平方根；④“周长相等的两个三角形全等”是假命题；⑤两角分别相等且一组边对应相等不一定能判定两个三角形全等．其中正确说法的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（4分）如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（　　）
A．5 B．6 C．9 D．10

12．（4分）在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果…，那么…”的形式为　 　．
14．（4分）比较大小：　 　|﹣|．（填“＞”或“＜”）
15．（4分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝7cm，EF＝9cm，则圆形容器的壁厚是 　 　cm．

16．（4分）一个正数的两个平方根分别是a+4和﹣7﹣b，且ab＝﹣，则a2+b2的值是 　 　．
17．（4分）若（x﹣3）（x2+2mx﹣n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m+n的值为 　 　．
18．（4分）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝　 　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．

三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：×9+（﹣）2﹣|5﹣|；
（2）求x的值：﹣（x﹣3）3＝1．
20．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE相交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝55°，∠F＝100°，求∠CHE的度数．

21．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）m4﹣1；
（2）3a（a﹣1）2﹣18a（a﹣1）+27a．
22．（10分）先化简，再求值：
（1）2y（y2）3﹣（2y3）3÷2y2，其中y＝1；
（2）[（x﹣y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣2（2x2+xy）]÷（﹣x），其中x＝﹣，y＝4．
23．（12分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？

24．（12分）【阅读】代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如图1，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，可以先计算大长方形面积为（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab，则分别需要A类、B类、C类卡片2张、2张、5张，拼成的图形如图2所示．

【探究】（1）若要拼成一个长为a+3b、宽为a+b的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片各多少张？并画出示意图．
【应用】（2）①由图3可得等式：　 　；
②已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，利用①中所得结论，求a2+b2+c2的值．
25．（14分）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
（3）当∠MBN绕B点继续旋转到图3位置时，AE＝10，CF＝2．求EF的长度．


八年级上学期期中数学试卷
答案与解析版
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：B．
2．（4分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．﹣7 B． C．﹣5π D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A．﹣7是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．﹣5π是无理数，故本选项符合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a3＝2a3 B．a12÷a3＝a4
C．（a5）2＝a10 D．（﹣2a）2＝﹣4a2
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a3•a3＝a6，故A不符合题意；
B、a12÷a3＝a9，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C符合题意；
D、（﹣2a）2＝4a2，故D不符合题意；
故选：C．
4．（4分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．全等三角形对应边上的中线相等
【分析】根据平行线的性质、有理数、三角形外角性质及全等三角形的性质进行判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、实数和数轴上的点一一对应，原命题是假命题，不符合题意；
C、三角形的一个外角不一定大于任何一个内角，原命题是假命题，不符合题意；
D、全等三角形对应边上的中线相等，是真命题，符合题意；
故选：D．
5．（4分）下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A．a2﹣9＝（a﹣3）（a+3）
B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x2﹣4+4x＝（x+2）（x﹣2）+4x
D．x2+3x+1＝x（x+3+）
【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【解答】解：A、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．（4分）如图，直线EF经过AC中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列哪个条件不能使△AOE≌△COF（　　）

A．∠A＝∠C B．AB∥CD C．AE＝CF D．OE＝OF
【分析】根据题意和各个选项中的条件，可以判断是否使得△AOE≌△COF，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
AO＝CO，∠AOE＝∠COF，
当添加条件∠A＝∠C时，△AOE≌△COF（ASA），故选项A不符合题意；
当添加条件AB∥CD时，则∠A＝∠C，△AOE≌△COF（ASA），故选项B不符合题意；
当添加条件AE＝CF时，无法判断△AOE≌△COF，故选项C符合题意；
当添加条件OE＝OF时，△AOE≌△COF（SAS），故选项D不符合题意；
故选：C．
7．（4分）估计+1的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】先求出的范围，即可得出选项．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
即+1在3和4之间，
故选：B．
8．（4分）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（　　）
A． B． C． D．
【分析】这里首末两项是±2x和±这两个数的平方，那么中间一项为减去±2x和±积的2倍，故m＝±．
【解答】解：∵（2x﹣）2＝4x2﹣x+，或[2x﹣（﹣）]2＝4x2+x+，
∴m＝﹣或．
故选：A．
9．（4分）如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是（　　）

A．28° B．38° C．45° D．48°
【分析】根据全等三角形的性质得到AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，根据三角形的外角性质求出∠D，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，
∴AC＝AE，∠DAE＝∠BAC＝28°，∠B＝∠D，
∴∠AEC＝∠ACE＝×（180°﹣28°）＝76°，
∵∠AEC是△ADE的一个外角，
∴∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，
∴∠B＝∠D＝48°，
故选：D．
10．（4分）下列说法：①9的平方根是±3；②整式乘法与因式分解过程互逆；③2是的算术平方根；④“周长相等的两个三角形全等”是假命题；⑤两角分别相等且一组边对应相等不一定能判定两个三角形全等．其中正确说法的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据全等三角形的判定、整式乘法与因式分解、算术平方根定义分别判断各项说法，即可得解．
【解答】解：①9的平方根是±3，说法正确；
②整式乘法与因式分解过程互逆，说法正确；
③2是4的算术平方根，说法错误；
④“周长相等的两个三角形全等”是假命题，说法正确；
⑤两角分别相等且一组边对应相等不一定能判定两个三角形全等，说法错误．
故选：C．
11．（4分）如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（　　）

A．5 B．6 C．9 D．10
【分析】可设小长方形的长为x，宽为y，根据②③分别列出相应的式子，再进行运算即可．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得：
（x+y）2﹣3xy＝22，（3x+y）（x+3y）﹣7xy＝96，
整理得：x2+y2﹣xy＝22①，
x2+y2+xy＝32②，
②﹣①得：2xy＝10，
解得：xy＝5．
故小长方形的面积为5．
故选：A．
12．（4分）在如图所示的6×6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是（　　）

A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：如图所示：一共有7个符合题意的点．
故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果…，那么…”的形式为　如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余　．
【分析】首先找出原命题中的条件及结论，然后写成“如果…，那么…”的形式即可．
【解答】解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．
14．（4分）比较大小：　＜　|﹣|．（填“＞”或“＜”）
【分析】先算出绝对值，再把两个数分别六次方比较即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，
而（）6＝27，（）6＝9，9＜27，
故答案为：＜．
15．（4分）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝7cm，EF＝9cm，则圆形容器的壁厚是 　1　cm．

【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB＝CD＝7cm，
∵EF＝9cm，
∴圆柱形容器的壁厚是×（9﹣7）＝1（cm），
故答案为：1．
16．（4分）一个正数的两个平方根分别是a+4和﹣7﹣b，且ab＝﹣，则a2+b2的值是 　8　．
【分析】由题意可得a﹣b＝3，再由完全平方公式a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，将已知代入即可求解．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+4和﹣7﹣b，
∴a+4﹣7﹣b＝0，
∴a﹣b＝3，
∵ab＝﹣，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9﹣1＝8，
故答案为：8．
17．（4分）若（x﹣3）（x2+2mx﹣n）的乘积展开式中不含x2和x项，则m+n的值为 　﹣　．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后令结果中含x2和x项的系数之和为0，分别列出方程求解．
【解答】解：原式＝x3+2mx2﹣nx﹣3x2﹣6mx+3n
＝x3+（2m﹣3）x2﹣（n+6m）x+3n，
∵展开式中不含x2和x项，
∴2m﹣3＝0，n+6m＝0，
解得：m＝，n＝﹣9，
∴m+n＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（4分）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝6cm，BC＝8cm，设运动时间为t，则当t＝　1或或12　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．

【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE＝CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论．
【解答】解：当E在BC上，D在AC上时，即，
CE＝（8﹣3t）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
∴CD＝CE，
∴8﹣3t＝6﹣t，
∴t＝1s，
当E在AC上，D在AC上时，即，
CE＝（3t﹣8）cm，CD＝（6﹣t）cm，
∴3t﹣8＝6﹣t，
∴t＝s，
当E到达A，D在BC上时，即，
CE＝6cm，CD＝（t﹣6）cm，
∴6＝t﹣6，
∴t＝12s，
故答案为：1或或12．



三、解答题（本大题共7小题，共78分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：×9+（﹣）2﹣|5﹣|；
（2）求x的值：﹣（x﹣3）3＝1．
【分析】（1）先进行立方根，绝对值，平方运算，再求和即可；
（2）将方程化为（x﹣3）3＝﹣64，再求解即可．
【解答】解：（1）×9+（﹣）2﹣|5﹣|
＝×9+4﹣5+
＝3+4﹣5+
＝2+；
（2）﹣（x﹣3）3＝1，
方程两边同时乘以﹣64得，（x﹣3）3＝﹣64，
则有x﹣3＝﹣4，
解得x＝﹣1．
20．（10分）如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE相交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠B＝55°，∠F＝100°，求∠CHE的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）解：由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠F＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，
∵AB∥DE，
∴∠EHC＝∠A＝25°．
21．（8分）把下列多项式分解因式：
（1）m4﹣1；
（2）3a（a﹣1）2﹣18a（a﹣1）+27a．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）m4﹣1＝（m2﹣1）（m2+1）
＝（m﹣1）（m+1）（m2+1）；

（2）原式＝3a[（a﹣1）2﹣6（a﹣1）+9]
＝3a（a﹣1﹣3）2
＝3a（a﹣4）2．
22．（10分）先化简，再求值：
（1）2y（y2）3﹣（2y3）3÷2y2，其中y＝1；
（2）[（x﹣y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣2（2x2+xy）]÷（﹣x），其中x＝﹣，y＝4．
【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘除运算法则分别化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案；
（2）直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而利用整式的除法运算法则计算，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（1）2y（y2）3﹣（2y3）3÷2y2，
＝2y•y6﹣8y9÷2y2
＝2y7﹣4y7
＝﹣2y7，
当y＝1时，
原式＝﹣2×17
＝﹣2；

（2）[（x﹣y）2+（2x﹣y）（2x+y）﹣2（2x2+xy）]÷（﹣x）
＝[x2﹣2xy+y2+4x2﹣y2﹣（4x2+2xy）]÷（﹣x）
＝（x2﹣2xy+y2+4x2﹣y2﹣4x2﹣2xy）÷（﹣x）
＝（x2﹣4xy）÷（﹣x）
＝x2÷（﹣x）﹣4xy÷（﹣x）
＝﹣x+4y，
当x＝﹣＝﹣3，y＝4时，
原式＝﹣1×（﹣3）+4×4
＝3+16
＝19．
23．（12分）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？

【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；
（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等．
理由如下：
由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS）；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.6m和2m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），
∵AD＝1.2m，
∴AE＝AD+DE＝1.6（m），
答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．
24．（12分）【阅读】代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如图1，现有正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+2b的大长方形，可以先计算大长方形面积为（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab，则分别需要A类、B类、C类卡片2张、2张、5张，拼成的图形如图2所示．

【探究】（1）若要拼成一个长为a+3b、宽为a+b的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片各多少张？并画出示意图．
【应用】（2）①由图3可得等式：　（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac　；
②已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，利用①中所得结论，求a2+b2+c2的值．
【分析】（1）根据（a+3b）（a+b）的画图．
（2）根据等面积法推导．
（3）通过图3面积，找到a+b+c与ab+bc+ac值的关系求解．
【解答】（1）∵（a+3b）（a+b）＝a²+3b²+4ab．
∴需要A类卡片1张，B类卡片3张，C类卡片4张．
如下图：

（2）①图3中大正方形的面积＝（a+b+c）²，还可以表示为：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．
∴（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．
故答案为：（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．
②由①知：（a+b+c）²＝a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．
∴a²+b²+c²＝（a+b+c）²﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝11²﹣2×38＝45．
25．（14分）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF；
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
（3）当∠MBN绕B点继续旋转到图3位置时，AE＝10，CF＝2．求EF的长度．

【分析】（1）根据AE＝CF可以求得BF＝BE，易求得∠CBF＝30°，可得BF＝2CF，即可解题；
（2）将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG＝CG+CF＝AE+CF，易证∠GBF＝∠EBF＝60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG＝EF，即可解题；
（3）将Rt△ABE顺时针旋转120°，可得FG＝CG﹣CF＝AE﹣CF，易证∠GBF＝∠EBF＝60°，即可求证△GBF≌△EBF，可得FG＝EF，即可解题．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABE和Rt△CBF中，AB＝BC，CF＝AE，
∴tan∠CBF＝tan∠ABE，BF＝BE，
∴∠CBF＝∠ABE，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠CBF＝30°，△BEF是等边三角形，
∴BF＝2CF，BF＝EF，
∴EF＝2CF＝AE+CF；
（2）如图2，将Rt△ABE顺时针旋转120°，

∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴A点与C点重合，
∴BG＝BE，FG＝CG+CF＝AE+CF，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，
∴∠GBF＝60°，
在△GBF和△EBF中，
，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG＝EF，
∴EF＝AE+CF；
（3）如图3，将RT△ABE顺时针旋转120°，

∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴A点与C点重合，∠ABE＝∠CBG，
∴BG＝BE，FG＝CG﹣CF＝AE﹣CF，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠GBF＝60°，
在△BFG和△BFE中，
，
∴△BFG≌△BFE，（SAS）
∴GF＝EF，
∴EF＝AE﹣CF＝10﹣2＝8．