北京高考数学模拟试卷-(文+理)

这是一份北京高考数学模拟试卷-(文+理)，共9页。
北京高考数学模拟试卷（文史类）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，那么( )
（A） （B）] （C）[ （D）
2. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是( )
（A） （B） （C） （D）
3. 某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：

则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是( )
（A）14，9.5 （B）9，9 （C）9，10 （D）14，9
4. 圆的圆心到直线的距离为( )
（A） （B） （C） （D）
5. 执行如图所示的程序框图，若输出的为4，则输入的值为( )
（A） （B） （C）或 （D）或

6. 已知向量，，则的夹角为( )
（A） （B） （C） （D）
7. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则最长侧棱（不包括底面的棱）的长度为( )
（A） （B） （C） （D）
8. 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )
（A）首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
（B）每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
（C）每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
（D）首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 双曲线的焦点坐标为 ．
10. 已知复数，则 ．
11. 在中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，则角A的大小为 .
12. 若实数，满足约束条件且的最大值为4，则实数的值为 ．
13. 已知函数下列四个命题：①；②，；③的
极大值点为；④，其中正确的有 ．（写出所有正确命题的序号）
14. 在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆的交点N为点M的“中心投影点”.
（1）点M的“中心投影点”为________；（2）曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15. （13分）已知等比数列的公比，前3项和是7，等差数列满足，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.






16.（13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的单调递增区间．


17.（14分）如图，四棱锥中，平面，//，，，分别为
线段，的中点.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）写出三棱锥与三棱锥的体积之比.（结论不要求证明）







18.（13分）某校为研究学生语言学科的学习情况，现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析. 将200名学生编号为001，002，…，200，采用系统抽样的方法等距抽取10名学生，将10名学生的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：（Ⅰ）若第一段抽取的学生编号是006，写出第五段抽取的学生编号；
（Ⅱ）在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈，求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率；
（Ⅲ）根据折线图，比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩，写出你的结论和理由.











19.（14分）已知椭圆C：，点P，过右焦点F作与y轴不垂直的直线l交椭圆C于A，B两点.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切.

















20.（13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：总存在，使得当，恒有.





















北京高考数学模拟试卷（理工类）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知集合，那么( )
（A） （B）] （C）[ （D）
2. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是( )
（A） （B） （C） （D）
3. 在极坐标系中，点到直线的距离等于( )
（A） （B） （C） （D）2
4. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是( )
（A） （B） （C） （D）
5. 已知向量，，则的夹角为( )
（A） （B） （C） （D）
6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为( )
（A） （B） （C） （D）2

7. 表示集合中所有元素的和，且，若能被3整除，则符合条件的非空集合的个数是( )
（A）10 （B）11 （C）12 （D）13
8. 血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是( )
①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 在复平面内，复数对应的点的坐标为 ．
10. 执行右图所示的程序框图，若输入的值为6，则输出的x值为 ．
11. 点从出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点，若点的坐标是,
记,则= ．
12. 若x，y满足且的最大值为10，则 ．
13. 已知函数f (x)的定义域为R . 当时，；当时，；当时，，则 ．
14. 已知为的外心，且.
①若，则 ；②若，则的最大值为 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（13分）在锐角中，.（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求的最大值.





16.（13分）某社区超市购进了A,B,C,D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：
















A
1


1



1


1


1

B

1

1

1

1
1

1

1

1
C
1


1
1


1

1

1


1
D

1

1

1
1


1


1



（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；
（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）










17.（14分）如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，∥，，，四边形为正方形，平面平面.（Ⅰ）若点是棱的中点，求证：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.






18.（13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对于，在区间上有极小值，且极小值大于0.









19.（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合，点M在椭圆E上.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设，直线与椭圆E交于A,B两点，若直线PA,PB均与圆相切，求的值.

















20.（13分）若无穷数列满足：，对于，都有（其中为常数），则称具有性质“”.（Ⅰ）若具有性质“”，且，，，求；（Ⅱ）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质“”，并说明理由；（Ⅲ）设既具有性质“”，又具有性质“”，其中，，互质，求证：具有性质“”.









（文科）参考答案

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
C
D
B
C
D
9． 10． 11． 12． 13．①②③④ 14．；
15．（13分）解 ：（Ⅰ）由已知，得，且等比数列的公比，
所以，解得， ……………………1分
所以数列的通项公式为。 ……………………2分
由此解得，， ……………………4分
则， ……………………5分
又，则等差数列的公差， ……………………6分
所以。 ……………………7分
（Ⅱ）因为， ……………………9分
所以， ……………………11分
，
故数列的前项和。 ……………………13分
16. （13分）解：（Ⅰ） ……………………2分 ……………………3分
……………………5分
的最小正周期为 。 ……………………7分
（Ⅱ）由求得， ……………………9分
， ………………12分
所以的单调递增区间为 …………………13分
17.（14分）证明：（Ⅰ）因为//， ，
为线段的中点，
所以//且，
所以四边形为平行四边形，
……………………2分
所以//， ……………………3分
又有平面，平面，
所以//平面． ……………………5分
（Ⅱ）因为，分别为线段，中点，所以//， ……………………6分
又因为平面，平面，
所以，；
所以， ……………………8分
又//，所以 ……………………9分因为，
所以平面． ……………………11分
（III）结论：． ……………………14分
18．（13分）解：（Ⅰ）第五段抽取的编号是086号； ……………………3分
（Ⅱ）记：“2人成绩均是语文成绩高于英语成绩”为事件A，
这两科成绩差超过20分的学生共5人，其中语文成绩高于英语成绩的共3人，记为a，b，c，另2人记为1，2.
在5人中随机取2人共有：（a，b）（a，c）（a，1）（a，2）（b，c）（b，1）（b，2）
（c，1）（c，2）（1，2）10种取法；其中2人成绩均是语文成绩高于英语成绩共3种.
由古典概型公式得：
所以2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率为； ……………………9分
（III）根据折线图可以估计该校高二年级语文成绩平均分高，语文成绩相对更稳定.
其他结论合理即可得分． ……………………13分
19．（14分）解：（Ⅰ）由椭圆C：得：
，，
所以， 椭圆C的离心率为 .……………………4分
（Ⅱ）因为，所以点F（1,0），
当直线l斜率不存在时，直线l的方程：，A，B两点关于x轴对称，
点P（4,0）在x轴上，所以直线PA与直线PB关于x轴对称，
所以， 点O到直线PA与直线的距离PB相等，
所以，以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切…………………6分
当直线l斜率存在时，设直线l的方程：，，
由得：
， .……………………8分
， .……………………10分

.……………………12分
所以，，于是点O到直线PA与直线的距离PB相等，
故以坐标原点O为圆心与PA相切的圆，必与直线PB相切.……………………14分
（也可以用点O到直线PA与直线的距离PB的距离相等来证明）
20．（13分）解：的定义域为． ………………………1分
（Ⅰ）当时，，， ………………………2分
，， ………………………3分
所以，所求切线方程为． ………………………4分
（Ⅱ）因为，所以..Û， ………………………5分
令，则， ………………………6分
由得，，
所以，，，，， ………………………7分
所以的单调增区间是，单调减区间是， ………………………8分
所以，所以. ………………………9分
（III）Û， ………………………10分
令，，
所以，，，，，
所以的单调增区间是，单调减区间是， ………………………11分
因为，所以，
当时，存在，使得当，恒有，即， …………12分
当时，由（Ⅱ）知，，即，
所以，
由得，，所以.
，存在，使得当，恒有，即.
综合上所述，总存在，使得当，恒有． ……………………13分

















（理科）参考答案

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
B
C
B
A
9． 10． 11． 12． 13． 14． ；
15.（13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得， ………………2分
因为，所以，从而， ..………………3分
所以 .
因为锐角，
所以. ………6分
（Ⅱ）因为 ..………………7分
..………………9分
..………………11分当时，有最大值2，
与锐角矛盾，故无最大值 ..………………13分
16.（13分）解：（Ⅰ）（件）， .………………3分
答：产品A的月销售量约为3000件. .………………4分
（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为. .………………5分
X可取0，2，4，6 ， .………………6分
， ，
， ，
所以X的分布列为：
X
0
2
4
6
P




.………………8分
所以. ..……………10分
（Ⅲ）产品D . ……………13分
17.（14分）（Ⅰ）证明：由已知得//，且.
因为为等腰梯形，所以有//.
因为是棱的中点，所以．
所以//，且，
故四边形为平行四边形,
所以//. ………………2分
因为平面，平面，
所以//平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………4分
解：（Ⅱ）因为四边形为正方形，所以.
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面.
在△中，因为，，
所以由余弦定理，得，
所以． ………………5分
在等腰梯形中，可得.
如图,以为原点，以所在直线分别为轴，
建立空间坐标系， ………………6分
则，， ，， ，
所以，，.
设平面的法向量为，由 ………………7分
所以，取，则，得． ………………8分
设直线与平面所成的角为，
则 ………9分
所以与平面所成的角的正弦值为.　　　　　　　　　　　 ………………10分
（Ⅲ）线段上不存在点，使平面平面．证明如下： ………………11分
假设线段上存在点，设，
则．
设平面的法向量为，由 所以，
取，则，得． ………………12分
要使平面平面，只需， ………………13分
即， 此方程无解．
所以线段上不存在点，使平面平面． 　　　　　 ………………14分
18.（13分）解：（Ⅰ） 的定义域为， …………………1分
因为，所以，所以. …………………2分
因为，， …………………3分
所以曲线在点处的切线方程为. …………………4分
（Ⅱ） 因为,所以在区间上是单调递增函数. …………………5分
因为，， …………………6分
所以,使得. …………………7分
所以，；，， …………………8分
故在上单调递减，在上单调递增， …………………9分
所以有极小值. …………………10分
因为,
所以. …………………11分
设，，
则， ………………12分
所以，
即在上单调递减，所以，
即，所以函数的极小值大于0． ………………13分
19.（14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线的焦点坐标为,所以, ..………………1分
所以， ..………………3分
即.因为，
所以椭圆E的方程为. ..………………5分
（Ⅱ）设，
因为直线PA, PB与圆相切，所以， ..………………7分
即，通分得，
所以，
整理，得. ① ..………………9分
联立得，
所以， ..………………11分
代入①，得 . ..………………14分
20.（13分）解 ：（Ⅰ）因为具有性质“”，所以，.
由，得，由，得. ..………………2分
因为，所以，即. ..………………4分
（Ⅱ）不具有性质“”. ..………………5分
设等差数列的公差为，由 ，，
得，所以，故. ..………………6分
设等比数列的公比为，由 ，，
得，又，所以，故， ..………………7分
所以.
若具有性质“”，则，.
因为，，所以，
故不具有性质“”. ..………………8分
（Ⅲ）因为具有性质“”，所以，.①
因为具有性质“”，所以，.②
因为，，互质，
所以由①得；由②，得， ..………………9分
所以，即. ..………………10分
②-①，得，， ..………………11分
所以，， ..………………12分
所以具有性质“”. ..………………13分