2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为　　
A． B． C． D．
2．（5分）设函数，则和的值分别为　　
A．， B．12，12 C．0，0 D．0，12
3．（5分）函数的单调减区间是　　
A． B． C． D．
4．（5分）欧拉公式因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数（自然对数的底数，圆周率，虚数单位，自然数单位1，以及而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，，，1，，甲乙两人先后从集合中取两个不同的元素，则两个元素恰有一相同的取法共有　　
A．60种 B．70种 C．100种 D．10种
5．（5分）在的展开式中的系数是　　
A． B． C．20 D．30
6．（5分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有　　
A．192种 B．240种 C．432种 D．528种
7．（5分）已知，为的导函数，则的图象是　　
A． B．
C． D．
8．（5分）上的函数满足：，（2），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）设，为复数，则下列命题为真命题的是　　
A．若，，且，则
B．若，则
C．若，则在复平面内对应的点位于第二象限
D．非零复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，若，则△是直角三角形．
10．（5分）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是　　

A．（b）（a）（c）
B．函数在处取得极小值，在处取得极大值
C．函数在处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为（d）
11．（5分）已知二项式，则下列说法正确的是　　
A．若，则展开式中的常数项为15
B．展开式中有理项的个数为4
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中的二项式系数最大项为第3项
12．（5分）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有　　
A． B．， C． D．，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知，则　　．
14．（5分）已知复数满足，则　 　．
15．（5分）回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”．如44，585，2662等，那么用数字0，1，2，3，4，5可以组成5位“回文数”的个数为 　　．
16．（5分）已知函数，，若，其中，则的最大值为 　　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的极值．
18．（12分）如图，从左到右共有5个空格．





（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；
（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；
（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？
19．（12分）在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等，②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127，③前三项的系数绝对值和为99，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知．
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的值；
20．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在，上的最小值．
21．（12分）已知函数，，，且．
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，令，求的单调区间；
22．（10分）已知函数．
（1）若在，上单调递减，求的取值范围；
（2）若有两个零点，，求的取值范围；
（3）证明：当时，若对于任意正实数，，且，若，则．

2020-2021学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为　　
A． B． C． D．
【分析】先利用纯虚数的定义求出的值，求出复数，再利用共轭复数概念即可求解．
【解答】解：复数为纯虚数，
且，
，
，
复数的共轭复数为，
故选：．
【点评】本题主要考查了纯虚数、共轭复数的概念，是基础题．
2．（5分）设函数，则和的值分别为　　
A．， B．12，12 C．0，0 D．0，12
【分析】根据导数的公式即可得到结论．
【解答】解：，
，，
，，
故选：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，属于基础题．
3．（5分）函数的单调减区间是　　
A． B． C． D．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：函数的定义域是，
，
令，解得：，
故在递减，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．
4．（5分）欧拉公式因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数（自然对数的底数，圆周率，虚数单位，自然数单位1，以及而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合，，，1，，甲乙两人先后从集合中取两个不同的元素，则两个元素恰有一相同的取法共有　　
A．60种 B．70种 C．100种 D．10种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①从集合的5个元素中任取1个，作为甲乙相同的元素，②分析甲乙剩下的元素不相同的情况，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①从集合的5个元素中任取1个，作为甲乙相同的元素，有5种情况，
②甲乙剩下的元素不相同，有种情况，
则有种不同的取法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
5．（5分）在的展开式中的系数是　　
A． B． C．20 D．30
【分析】利用二项展开式的通项公式，求出的值，代入求解系数即可．
【解答】解：的展开式的通项公式为，
令，解得，
则在的展开式中的系数是．
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
6．（5分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块．某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有　　
A．192种 B．240种 C．432种 D．528种
【分析】分成“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间无间隔和间隔一个答题板块两种情况讨论即可．
【解答】解：依题意，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间无间隔和间隔一个答题板块两种情况，
所以两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有：，
故选：．
【点评】本题考查了计数原理，排列组合，属于基础题．分类要做到不重不漏，分布要做到步骤完整．
7．（5分）已知，为的导函数，则的图象是　　
A． B．
C． D．
【分析】先化简，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除，．再根据导函数的导函数小于0的的范围，确定导函数在，上单调递减，从而排除，即可得出正确答案．
【解答】解：由，
，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除，．
又，当时，，，
故函数在区间，上单调递减，故排除．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
8．（5分）上的函数满足：，（2），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C． D．
【分析】构造函数，利用函数的单调性即可解出不等式．
【解答】解：上的函数满足：，
，
构造函数，
，
函数在上单调递增，且（2）（2），
原不等式，可化为，即（2），
又函数在上单调递增，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了构造函数解不等式，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）设，为复数，则下列命题为真命题的是　　
A．若，，且，则
B．若，则
C．若，则在复平面内对应的点位于第二象限
D．非零复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，若，则△是直角三角形．
【分析】由虚数不能比较大小知选项错误，由知选项正确，代入化简可得，可知选项错误，设，，化简转化为向量可知选项正确．
【解答】解：由虚数不能比较大小知，选项错误；
，，，，故选项正确；
若，则，则其在复平面内对应的点位于第一象限，故选项错误；
若，，则，则，，
则，故△是直角三角形，故选项正确；
故选：．
【点评】本题考查了复数的性质及应用，同时考查了数形结合的思想与转化思想的应用，属于基础题．
10．（5分）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是　　

A．（b）（a）（c）
B．函数在处取得极小值，在处取得极大值
C．函数在处取得极大值，在处取得极小值
D．函数的最小值为（d）
【分析】利用的图象，确定的正负，从而得到的单调性，再确定的根，结合函数极值的定义，分析四个选项即可．
【解答】解：由导函数的图象可知，函数在区间，内，，则单调递增，
在区间内，，则单调递减，
所以（c）（a），故选项错误；
函数在处取得极大值，在处取得极小值，故选项错误，选项正确；
函数没有最小值，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的应用，利用导数研究函数极值的应用，解题的关键是掌握函数与图象的关系，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
11．（5分）已知二项式，则下列说法正确的是　　
A．若，则展开式中的常数项为15
B．展开式中有理项的个数为4
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中的二项式系数最大项为第3项
【分析】利用二项展开式的通项公式判断选项，，令，可得展开式中各项系数之和，求解的值即可判断选项，由展开式中共有7项，即可判断选项．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，
对于，当时，令，解得，
所以展开式中的常数项为，故选项正确；
对于，当，2，4，6时，展开式中的项为有理项，故选项正确；
对于，令，则展开式中各项系数之和为，
又展开式中各项系数之和为64，
所以，解得或，故选项错误；
对于，因为展开式中共有7项，
所以展开式中的二项式系数最大项为第4项，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，主要考查了二项展开式的系数之和，二项展开式的二项式系数之和，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
12．（5分）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件有　　
A． B．， C． D．，
【分析】求导，从而转化为在上有正有负，构造函数，转化为在上有正有负，分类讨论的正负号即可求出在上不单调的充要条件是或，再利用子集关系判断即可．
【解答】解：的定义域为，
，
在上不单调，在上有正有负，
即在上有正有负，
当时，，不成立；
当时，为二次函数，其在上单调，
故只需使（1）（3），即，
解得，或，
故在上不单调的充要条件是或，
结合选项可知，、符合条件，
故选：．
【点评】本题考查了导数的综合应用及充分必要条件的判断与应用，同时考查了转化思想与分类讨论的思想方法应用，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．（5分）已知，则　　．
【分析】利用常见函数的求导公式求解即可．
【解答】解：由常见函数的求导公式可得，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了常见函数的求导公式的应用，属于基础题．
14．（5分）已知复数满足，则　　．
【分析】由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由，
得，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
15．（5分）回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”．如44，585，2662等，那么用数字0，1，2，3，4，5可以组成5位“回文数”的个数为 　180　．
【分析】根据题意，按组成“回文数”的数学的数目分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：
①5位“回文数”的数字全部相同，有5个符合题意的“回文数”，
②5位“回文数”的有2个数字组成，有个符合题意的“回文数”，
③5位“回文数”的有3个数字组成，有个符合题意的“回文数”，
则共有个符合题意的“回文数”，
故答案为：180．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
16．（5分）已知函数，，若，其中，则的最大值为 　　．
【分析】先利用导数研究函数的性质，作出的图象，确定当时，有唯一解，从而得到，且，可得，构造函数，由导数研究其最值即可．
【解答】解：由题意可知，，
则，
因为，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又时，，当时，，
作出函数的图象如图所示，
由图可知，当时，有唯一解，
故，且，
所以，
令，则，
令，解得，
所以当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
故（e），即的最大值为．
故答案为：．

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的性质以及函数的最值问题，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于难题．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的极值．
【分析】（1）求导得，由导数的几何意义可得（1），进而可得切线的方程为（1），化简即可得出答案．
（2）求导得，分析的正负，的单调性，极值．
【解答】解：（1），
由导数的几何意义可得（1），
（1），
所以切线的方程为，即．
（2），
所以在，上，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以，
（1）．
【点评】本题考查导数的综合和应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18．（12分）如图，从左到右共有5个空格．





（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；
（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；
（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？
【分析】（1）根据题意，依次分析五位数的个位、万位和中间3位的情况，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得第一个格子有3种选法，剩下4个格子都有2种选法，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①将7个小球分为5组，②将分好的5组小球放入5个空格，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，要求为五位奇数，
则个位必须为1或3，有2种情况，万位不能为0，有3种情况，
剩下的3个数安排在中间3个数位，有种情况，
则有种情况，即有36个符合题意的五位奇数；
（2）根据题意，第一个格子有3种选法，剩下4个格子都有2种选法，
则有种不同的选法，即有48种涂色方案；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将7个小球分为5组，有种分组方法，
②将分好的5组小球放入5个空格，有种情况，
则有种不同的放法．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
19．（12分）在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等，②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127，③前三项的系数绝对值和为99，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知．
（1）求；
（2）求的值；
（3）求的值；
【分析】（1）若选①：利用二项式系数以及组合数的性质，列式求出的值；
若选②：利用二项式系数的和的结论，结合赋值法求出所有项的系数和，列式求出的值；
若选③：求出前三项系数，然后列式求出的值；
（2）利用赋值法，令和，即可得到答案；
（3）将已知的等式两边同时求导，然后利用赋值法，令求解即可．
【解答】解：（1）若选①：因为第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等，
则，则，
若选②：因为展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为127，
则，解得；
若选③：前三项的系数绝对值和为99，
则，解得；
（2）令，可得，
令，可得
所以；
（3）因为，
则，
令，则．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，主要考查了二项展开式的系数之和，二项展开式的二项式系数之和，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，其中合理运用赋值法是求解二项展开式系数和的关键，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）求函数在，上的最小值．
【分析】（1）函数的定义域为，求导得，分两种情况：当时，当时，讨论的正负，的单调性．
（2）分四种情况：当时，当时，当时，若时，讨论函数在，上的单调性，最小值．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减．
（2）由（1）知当时，在，上单调递增，
所以（1），
当时，在上单调递增，在上单调递减，
①若，即时，在，上单调递减，
所以（e），
②若，即时，在，上单调递增，
所以（1），
③若时，在上单调递减，在上单调递增，
所以．
综上所述，当时，，
当时，，
当时，（1），
当时，．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
21．（12分）已知函数，，，且．
（1）若函数在处取得极值，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，令，求的单调区间；
【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，得到关于，的方程组，求出，的值，求出函数的解析式即可；
（2）求出的导数，根据导函数的单调性求出函数的单调区间即可．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，
，
由已知可得：，
解得，，经检验：，符合题意，
故；
（2）的定义域为，
，
由于满足，
故：在上单增，
故：当时，恒成立，
故，
，，的变化如下：






0


单调递减

单调递增
故：的单调递减区间为，单调递增区间为．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的运用以及转化思想，是一道中档题．
22．（10分）已知函数．
（1）若在，上单调递减，求的取值范围；
（2）若有两个零点，，求的取值范围；
（3）证明：当时，若对于任意正实数，，且，若，则．
【分析】（1）将问题转化为对，恒成立，然后求解的最小值，即可得到答案；
（2）求出，分，两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，然后由零点的存在性定理分析求解即可；
（3）求出，结合（2）中的结论，确定的单调性，因为，构造，利用导数研究函数的单调性，得到，然后再利用的单调性，即可证明．
【解答】（1）解：函数，
因为在，上单调递减，
则对，恒成立，
则对，恒成立，
因为当，时，的最小值为1，
所以，
故的取值范围为，；
（2）解：由（1）可知，，
①当时，恒成立，则单调递减，至多一个零点，不符合题意；
②当时，令，则，令，则，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
若有两个零点，，
则，即，
又（1），则在，上有零点，
又因为，
令（a）
则（a），
所以（a）在，上单调递增，
则（a），
所以在有零点．
故有两个零点，，则的取值范围为．
（3）证明：当时，，
由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
则，
又，
令，
则，
则在上为减函数，
所以（2），
则，即，
所以，即．
【点评】本题考查了函数与不等式、函数与方程的综合应用，利用导数研究函数单调性的应用，不等式恒成立问题的求解，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力与转化化归能力，属于难题．
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日期：2021/12/1 16:08:01；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394