山西省阳泉市第一中学校2023届高三适应性考试数学试题（含解析）

这是一份山西省阳泉市第一中学校2023届高三适应性考试数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
山西省阳泉市第一中学校2023届高三适应性考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．2．若复数满足，则（    ）A．1 B． C． D．3．已知向量，，，且，则实数（    ）A．-1 B．0 C．1 D．任意实数4．在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上､下底面均为正方形）称为方亭.在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（    ）A． B． C． D．5．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（    ）A．60 B．66 C．72 D．806．圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ）A．8 B． C． D．7．如图，已知，分别为双曲线的左､右焦点，为坐标原点，其渐近线与圆在第二象限交于点P，若直线交双曲线右支于点Q，且，则双曲线的离心率是（    ）A． B． C． D．8．已知且且且，则（    ）A． B． C． D． 二、多选题9．黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中，例如图中所示的建筑对应的黄金三角形，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比（黄金分割比）.在顶角为的黄金中，D为BC边上的中点，则（    ）A．B．C．在上的投影向量为D．是方程的一个实根10．已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是（    ）A．是函数的一个零点 B．函数的图象关于直线对称C．方程在上有三个解 D．函数在上单调递减11．已知三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，.若点O到三棱柱的所有面的距离都相等，则（   ）A．平面B．C．平面截球O所得截面圆的周长为D．球O的表面积为12．已知函数（，，），则下列说法正确的是（    ）A．若实数是的两个不同的极值点，且满足，则或B．函数的图象过坐标原点的充要条件是C．若函数在上单调，则D．若函数的图象关于点中心对称，则 三、填空题13．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）14．若一个数列的后项与其相邻的前项的差值构成的数列为等差数列，则称此数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23，…，设此数列为，若数列满足，则数列的前n项和________．15．已知直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点且，________.16．已知函数的零点为，函数的零点为，给出以下三个结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号为________. 四、解答题17．记锐角的内角为，已知.(1)求角的最大值；(2)在锐角中，当角为角A的最大值时，求的取值范围.18．已知数列满足，．(1)证明：为等差数列；(2)设，求数列的前n项和．19．如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．20．某工厂统计了某产品的原材料投入（万元）与利润（万元）间的几组数据如下：原材料投入（万元）8284858688利润（万元）770800830850900(1)根据经验可知原材料投入（万元）与利润（万元）间具有线性相关关系，求利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程；(2)当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？附：，.21．已知过椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；（2）当直线的斜率为1时，求的面积；（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.22．已知函数，为的导函数.(1)讨论的极值；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范围.
参考答案：1．B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.2．D【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数模的计算公式计算可得.【详解】因为，所以，所以.故选：D3．B【分析】首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以， 又，且，所以，解得.故选：B.4．B【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可.【详解】如图，过作，垂足为，由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，∴（梯形的面积公式），则.由题意得：，在中，.连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形且，，则，∴，∴该方亭的体积，（棱台的体积公式）.故选：B.  5．C【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解.【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有种，故甲乙不在同一实验舱的种数有种.故选：C.6．A【分析】设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，则根据题意可得与的关系，从而可求出为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果.【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，所以，因为为锐角，所以，即，则θ为钝角，所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.故选：A.7．C【分析】根据已知求出,再求出，即得解.【详解】解：联立二、四象限的渐近线和圆的方程得得，所以.由双曲线的定义得，因为，所以所以，所以所以所以，因为直线与双曲线的右支相交，所以，所以.所以.故选：C8．D【解析】令，利用导数研究其单调性后可得的大小.【详解】因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．【点睛】思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问题，代数式变形很关键．9．ABD【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、余弦定理、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，解得，则，则，A正确.，，B正确.依题意可设，则，则由余弦定理得，过B作，垂足为E，  则在上的投影向量为，C错误.由图可知，则，设，则，整理得，D正确.故选：ABD10．ABD【分析】先由周期范围及为正整数求得，再由平移后关于原点对称求得，从而得到，对于AB，将与代入检验即可；对于C，利用换元法得到在内只有两个解，从而可以判断；对于D，利用整体法及的单调性即可判断.【详解】因为，，所以，解得，又为正整数，所以，所以，所以函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数，（点拨：函数的图象经过平移变换得到的图象时，不是平移个单位长度，而是平移个单位长度），由题意知，函数的图象关于原点对称，故，即，又，所以，，所以，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于A，令，因为，所以，显然在内只有，两个解，即方程在上只有两个解，故C错误；对于A，当时，，因为在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变，纵变A”在解题中的应用.11．AC【分析】根据球的性质可判断为直棱柱，即可判断A，由内切球的性质，结合三棱柱的特征即可判断B，由勾股定理以及等边三角形的性质可判断CD.【详解】选项A，三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱为直棱柱，所以平面，因此A正确.选项B：因为，所以.因为点O到三棱柱的所有面的距离都相等，所以三棱柱的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r，与底面以及侧面相切于,则,由于为矩形的对角线交点，所以，而三角形 为等边三角形，所以 ,所以，所以，因此B错误.  选项C：由，可知，解得（负值已舍去），则.易得的外接圆的半径，所以平面截球O所得截面圆的周长为，因此C正确.选项D：三棱柱外接球的半径，所以球O的表面积，因此D错误.故选：AC12．ABD【分析】对于A：由题意知实数是的两个不等实根，得到，，再由得，最后由可求得的取值范围；对于B：从充分性和必要性两方面分别进行证明即可；对于C：由函数在上单调，则一定有恒成立，显然C不正确；对于D：由题意知恒成立，可求得，D正确.【详解】A选项：，由题意知实数是方程的两个不等实根，（注意：极值点与导函数的零点之间的关系）所以，且，，由，得，所以，解得或，所以A正确；B选项：若函数的图象过坐标原点，则，故必要性成立；反之，若，则，故函数的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；C选项：若函数在上单调，则恒成立，所以，即，所以C不正确；D选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以D正确.故选：ABD.13．【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.【详解】解：因为，其中展开式的通项为，令得的常数项为，令，即得展开式中的系数为.所以的常数项为.故答案为：14．/【分析】累加法求出数列，再求出，然后用裂项相消法求出【详解】由题可知，数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以．所以．所以．所以．故，所以数列的前n项和．故答案为：15．2【解析】直线与抛物线方程联立，根据直线的垂直关系，利用根与系数关系直接求解即可.【详解】设，联立方程组，可得，则，，，所以，.故答案为：2【点睛】本题考查了利用根与系数关系求参数问题，考查了数学运算能力.16．①③【分析】根据函数零点的定义结合函数的单调性推出，可得.利用基本不等式可判断①；结合二次函数单调性可判断②；判断出，即可推出，从而推出，即可判断③.【详解】由题意得，则，即和为的零点；而在R上单调递增，且，在R上有且仅有一个零点，，又，①正确；又，而在上单调递增，，②错误；，，则，而，故，即，③正确.综上，所有正确结论的序号为①③，故答案为：①③【点睛】关键点睛：本题综合性较强，涉及到函数零点以及单调性以及不等式证明相关知识，解答的关键在于根据，变式为，从而推出和为的零点，再结合函数的单调性，说明，以下问题则可顺利解决.17．(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，根据余弦定理和基本不等式求的范围，再由余弦函数的性质求角的最大值；（2）根据内角和关系，结合两角差的余弦公式和两角和的正弦公式，将目标函数转化为关于角的函数，再结合余弦函数的性质求其范围.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，所以，所以角的最大值为；（2）因为，所以，因为为锐角三角形，所以,所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.18．(1)证明过程见详解(2) 【分析】（1）由题意可得，再结合等差数列的定义即可证明结论；（2）结合（1）可得的通项公式，从而得到，再利用裂项相消求和即可．【详解】（1）因为数列满足，整理得，所以，又，所以是以1为首项，为公差的等差数列．（2）结合（1）可得，所以，则，所以19．(1)(2) 【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；（2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为. 20．(1)(2)原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为万元. 【分析】（1）利用最小二乘法结论求回归方程系数，由此可得回归方程；（2）利用回归方程求预测值.【详解】（1）设利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程为，由已知，，，，所以，，所以利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程为；（2）由（1）当时，，所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为万元.21．（1）2；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根据题中所给的方程，求得的值，代入菱形面积公式得到答案；（2）右焦点，直线的方程为，设，，由题设条件知，，由此可求出的面积；（3）假设在线段上是否存在点，设直线的方程为，由题意知，将中点坐标用表示，利用，建立关于方程，再由方程有解，即可求出的范围.【详解】（1）由椭圆方程得，则，所以椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积； （2）右焦点，直线的方程为，设，，由得，解得，所以； （3）假设在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形，因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，由，可得，所以，设中点为，则， ，即，，整理得，关于的方程有解，所以，.所以满足条件的点存在，且的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，利用根与系数关系设而不求是解决相交点坐标常用的方法，考查计算求解能力，属于中档题.22．(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求得，设，求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值的定义，即可求解；（2）根据题意转化为存在，使得，构造函数，求得，分、和，结合函数的单调性和极值、最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得函数的定义域为，且，设，则，①当时，可得，所以在上单调递增，所以没有极值；②当时，若，则，在上单调递减，若，则，在上单调递增，所以在处取得极小值，且极小值为，在上没有极大值，综上，当时，没有极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）由题意知，存在，使得，即存在，使得，构造函数，则，当，即时，在上恒成立，单调递增，所以，可得，与矛盾，不满足题意；当，即时，若，则，单调递减，若，则，单调递增，此时，由，可得，所以，因为，所以不等式不成立；当，即时，在上恒成立，单调递减，所以，可得，满足题意.综上，实数a的取值范围为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．